III.2. Divizori Comuni

Pasul 1: Determinarea divizorilor numărului 24

Căutăm toate numerele naturale care îl divid pe 24 fără rest. Putem face acest lucru găsind perechile de numere al căror produs este 24: \( 1 \cdot 24 \), \( 2 \cdot 12 \), \( 3 \cdot 8 \) și \( 4 \cdot 6 \). \[ \mathcal{D}_{24} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\} \]

Pasul 2: Determinarea divizorilor numărului 32

Procedăm la fel pentru numărul 32. Perechile de factori sunt: \( 1 \cdot 32 \), \( 2 \cdot 16 \) și \( 4 \cdot 8 \). \[ \mathcal{D}_{32} = \{1, 2, 4, 8, 16, 32\} \]

Pasul 3: Determinarea divizorilor numărului 80

Găsim divizorii numărului 80: \( 1 \cdot 80 \), \( 2 \cdot 40 \), \( 4 \cdot 20 \), \( 5 \cdot 16 \), \( 8 \cdot 10 \). \[ \mathcal{D}_{80} = \{1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80\} \]

Pasul 4: Identificarea divizorilor comuni

Divizorii comuni sunt numerele care se regăsesc în toate cele trei mulțimi de divizori determinate anterior. Comparăm mulțimile: - Numărul **1** este prezent în toate mulțimile. - Numărul **2** este prezent în toate mulțimile. - Numărul **4** este prezent în toate mulțimile. - Numărul **8** este prezent în toate mulțimile. Observăm că alte numere (precum 3, 5, 6 sau 16) nu apar în toate cele trei liste simultan. Prin urmare, mulțimea divizorilor comuni este: \[ \mathcal{D}_{24} \cap \mathcal{D}_{32} \cap \mathcal{D}_{80} = \{1, 2, 4, 8\} \] Analizând opțiunile date în problemă, observăm că varianta C corespunde rezultatului nostru.

\[ \mathcal{D}_{24} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\} \] \[ \mathcal{D}_{32} = \{1, 2, 4, 8, 16, 32\} \] \[ \mathcal{D}_{80} = \{1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80\} \] \[ \text{Divizori comuni: } \{1, 2, 4, 8\} \implies \text{Răspuns C} \]