Testul 2

Cele mai importante aspecte ale lecției

Fracția ordinară $\frac{a}{b}$ reprezintă o parte dintr-un întreg ($b \neq 0$).
Clasificare: Subunitară ($a < b$), Echiunitară ($a = b$), Supraunitară ($a > b$).
Fracții echivalente: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c$.
Modificarea fracțiilor:

Amplificare: înmulțirea ambilor termeni cu $n \neq 0$.
Simplificare: împărțirea ambilor termeni la un divizor comun. Când nu se mai poate simplifica, obținem o fracție ireductibilă.

Numere mixte: Scoaterea întregilor ($\frac{11}{3} = 3\frac{2}{3}$) și introducerea întregilor ($3\frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{11}{3}$).
Comparare: Cu același numitor: mai mare e cea cu numărătorul mai mare ($\frac{5}{7} > \frac{3}{7}$). Cu același numărător: mai mare e cea cu numitorul mai mic ($\frac{4}{5} > \frac{4}{9}$).

O parte dintr-un întreg împărțit în părți egale se numește unitate fracționară. Una sau mai multe unități fracționare reprezintă o fracție ordinară.

Forma generală a unei fracții ordinare este $\frac{a}{b}$, unde $a$ și $b$ sunt numere naturale, cu $b \neq 0$.

$a$ (numărătorul): ne arată câte părți egale se iau în considerare.
$\text{—}$ (linia de fracție): semnifică o operație de împărțire.
$b$ (numitorul): ne arată în câte părți egale s-a împărțit întregul.

Orice număr natural $n$ se poate scrie sub formă de fracție ordinară ca $\frac{n}{1}$. Pentru orice număr natural nenul $n$, avem $\frac{0}{n} = 0$.

$\frac{1}{2}$ reprezintă „o doime” sau „o jumătate”.
$\frac{1}{4}$ reprezintă „o pătrime” sau „un sfert”.
$\frac{3}{8}$ reprezintă „trei optimi” (trei unități fracționare de tipul $\frac{1}{8}$).

Scrieți sub formă de fracție ordinară numerele naturale 5 și 1, folosind numitorul 3.

Numărul natural $5$ se poate scrie ca $\frac{15}{3}$ deoarece $15 : 3 = 5$.
Numărul natural $1$ se poate scrie ca $\frac{3}{3}$ deoarece $3 : 3 = 1$.

În funcție de relația dintre numărătorul $a$ și numitorul $b$, fracțiile ordinare se clasifică în:

Fracție subunitară: dacă numărătorul este mai mic decât numitorul ($a < b$). Valoarea fracției este mai mică decât 1 ($\frac{a}{b} < 1$).
Exemple: $\frac{2}{5}, \frac{11}{15}, \frac{n+1}{n+3}$ (pentru orice număr natural $n$).
Fracție echiunitară: dacă numărătorul este egal cu numitorul ($a = b$). Valoarea fracției este egală cu 1 ($\frac{a}{b} = 1$).
Exemple: $\frac{4}{4}, \frac{102}{102}, \frac{2n+3}{2n+3}$.
Fracție supraunitară: dacă numărătorul este mai mare decât numitorul ($a > b$). Valoarea fracției este mai mare decât 1 ($\frac{a}{b} > 1$).
Exemple: $\frac{7}{3}, \frac{15}{8}, \frac{n+5}{n+2}$.

Determinați numărul natural $x$ pentru care fracția $\frac{205}{20x + 5}$ este echiunitară.

O fracție este echiunitară dacă numărătorul este egal cu numitorul: \[ 205 = 20x + 5 \] \[ 20x = 205 - 5 \] \[ 20x = 200 \implies x = 10 \] Răspuns: $x = 10$.

O fracție care are numitorul egal cu 100 se numește procent.

Fracția $\frac{p}{100}$ se notează $p\%$ și se citește „$p$ la sută” sau „$p$ procente”.

\[ \frac{5}{100} = 5\%; \quad \frac{50}{100} = 50\% \text{ (reprezintă jumătate dintr-un întreg)}; \quad \frac{100}{100} = 100\% \text{ (reprezintă întregul)}. \]

Două fracții care reprezintă aceeași parte dintr-un întreg se numesc fracții echivalente (sau egale).

Fracțiile $\frac{a}{b}$ și $\frac{c}{d}$ ($b, d \neq 0$) sunt echivalente dacă și numai dacă produsul mezilor este egal cu produsul extremilor: \[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c \]

Fracțiile $\frac{3}{4}$ și $\frac{9}{12}$ sunt echivalente deoarece $3 \cdot 12 = 4 \cdot 9 = 36$. Scriem $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$.

Determinați numărul natural $x$ astfel încât fracțiile $\frac{3x - 4}{x}$ și $\frac{5}{2}$ să fie echivalente.

Pentru ca fracțiile să fie echivalente, trebuie să avem: \[ 2(3x - 4) = 5x \] \[ 6x - 8 = 5x \] \[ 6x - 5x = 8 \implies x = 8 \] Răspuns: $x = 8$.

1. Amplificarea fracțiilor

A amplifica o fracție cu un număr natural nenul $n$ înseamnă a înmulți atât numărătorul, cât și numitorul cu acel număr.

\[ \overset{n)}{\frac{a}{b}} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n}, \quad n \neq 0 \] Prin amplificare se obține o fracție echivalentă cu cea inițială.

\[ \overset{4)}{\frac{2}{3}} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12} \]

2. Simplificarea fracțiilor

A simplifica o fracție cu un număr natural nenul $n$ înseamnă a împărți atât numărătorul, cât și numitorul la $n$. Numărul $n$ trebuie să fie un divizor comun al celor doi termeni ai fracției.

\[ \frac{a^{(n}}{b} = \frac{a : n}{b : n}, \quad n \neq 0 \] Prin simplificare se obține o fracție echivalentă cu cea inițială.

\[ \frac{15^{(5}}{20} = \frac{15 : 5}{20 : 5} = \frac{3}{4} \]

3. Fracții ireductibile

O fracție care nu se mai poate simplifica se numește fracție ireductibilă.

O fracție $\frac{a}{b}$ este ireductibilă dacă cel mai mare divizor comun al numerelor $a$ și $b$ este 1 (numerele sunt prime între ele). În caz contrar, fracția se numește reductibilă.

Pentru a transforma o fracție în una ireductibilă, o putem simplifica succesiv: \[ \frac{120^{(2}}{180} = \frac{60^{(5}}{90} = \frac{12^{(3}}{18} = \frac{4^{(2}}{6} = \frac{2}{3} \quad (\text{fracție ireductibilă}) \]

1. Scoaterea întregilor din fracție

O fracție supraunitară $\frac{m}{n}$ se poate scrie sub forma unui număr mixt $c\frac{r}{n}$, unde $c$ este câtul și $r$ este restul împărțirii lui $m$ la $n$.

\[ \frac{m}{n} = c\frac{r}{n} \]

Pentru a scoate întregii din fracția $\frac{55}{4}$, împărțim 55 la 4: \[ 55 : 4 = 13 \text{ rest } 3 \implies \frac{55}{4} = 13\frac{3}{4} \]

Pentru a încadra o fracție supraunitară între două numere naturale consecutive, se scot întregii din fracție: \[ 13 < 13\frac{3}{4} < 14 \implies 13 < \frac{55}{4} < 14 \]

2. Introducerea întregilor în fracție

Pentru a transforma un număr mixt în fracție ordinară, folosim relația: \[ n\frac{a}{b} = \frac{n \cdot b + a}{b} \]

\[ 3\frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{17}{5} \]

Fracții cu același numitor: Dintre două fracții cu același numitor, este mai mare fracția cu numărătorul mai mare. \[ \text{Dacă } a < b, \text{ atunci } \frac{a}{m} < \frac{b}{m} \quad (m \neq 0) \]

\[ \frac{5}{12} < \frac{9}{12} \quad \text{deoarece } 5 < 9 \]

Fracții cu același numărător: Dintre două fracții cu același numărător, este mai mare fracția cu numitorul mai mic. \[ \text{Dacă } m < n, \text{ atunci } \frac{a}{m} > \frac{a}{n} \quad (m, n \neq 0) \]

\[ \frac{5}{6} > \frac{5}{12} \quad \text{deoarece } 6 < 12 \]

Dacă fracțiile au și numărătorii și numitorii diferiți, mai întâi le aducem la același numitor prin amplificare, apoi le comparăm numărătorii.

Axa numerelor este o dreaptă pe care s-au fixat o origine (punctul $O$, corespunzător numărului 0), un sens pozitiv (indicat de o săgeată) și o unitate de măsură (un segment de lungime aleasă).

Pentru a reprezenta o fracție $\frac{a}{b}$ pe axă, împărțim fiecare unitate de măsură în atâtea segmente egale câte indică numitorul $b$.

Începând de la origine ($O$), numărăm spre dreapta atâtea segmente mici câte indică numărătorul $a$ și marcăm punctul respectiv.

$O axă orizontală a numerelor cu originea O(0) în stânga și săgeata de sens în dreapta. Segmentul unitate de la 0 la 1 este împărțit în 3 părți egale. Al doilea punct de diviziune este marcat cu litera A, reprezentând fracția 2/3.$

Dintre două fracții reprezentate pe axă, cea situată mai la dreapta este mai mare.

Practice problems

Problemă 1 (Ușoară): Aduceți fracția $\frac{48}{72}$ la o formă ireductibilă folosind simplificări succesive.

Putem simplifica succesiv, observând divizorii comuni:
1. Simplificăm cu 2: \[ \frac{48^{(2}}{72} = \frac{24}{36} \]
2. Simplificăm cu 6: \[ \frac{24^{(6}}{36} = \frac{4}{6} \]
3. Simplificăm cu 2: \[ \frac{4^{(2}}{6} = \frac{2}{3} \]
Fracția $\frac{2}{3}$ este ireductibilă deoarece cel mai mare divizor comun al lui 2 și 3 este 1.
Observație: Puteam simplifica direct prin cel mai mare divizor comun, care este 24: $\frac{48^{(24}}{72} = \frac{2}{3}$.

Problemă 2 (Medie): Determinați valorile numărului natural $n$ pentru care fracția $\frac{n+2}{6}$ este mai mică decât fracția $\frac{5}{6}$.

Fracțiile au același numitor, deci comparăm numărătorii: \[ \frac{n + 2}{6} < \frac{5}{6} \implies n + 2 < 5 \] Scăzând 2 din ambele părți ale inegalității, obținem: \[ n < 3 \] Deoarece $n$ este număr natural, valorile posibile pentru $n$ sunt: \[ n \in \{0, 1, 2\} \]

Problemă 3 (Medie): Scoateți întregii din fracția $\frac{29}{6}$ și încadrați numărul obținut între două numere naturale consecutive.

1. Împărțim numărătorul la numitor pentru a scoate întregii: \[ 29 : 6 = 4 \text{ rest } 5 \] Deci: \[ \frac{29}{6} = 4\frac{5}{6} \]
2. Deoarece fracția mixtă are 4 întregi și o parte subunitară ($\frac{5}{6}$), valoarea ei se află între 4 și următorul număr natural, 5.
Scriem relația de încadrare: \[ 4 < \frac{29}{6} < 5 \]

Problemă 4 (Dificilă): Determinați numerele naturale $x$ pentru care fracția $\frac{3x + 2}{14}$ este subunitară.

O fracție este subunitară dacă numărătorul este mai mic decât numitorul: \[ 3x + 2 < 14 \] Rezolvăm inecuația: \[ 3x < 14 - 2 \] \[ 3x < 12 \] \[ x < 4 \] Cum $x$ este număr natural, valorile posibile sunt în mulțimea: \[ x \in \{0, 1, 2, 3\} \]

IV.6.3. Testul 2

Lecția IV.6.3 conține următoarele grupuri de exerciții:

Alege rezolvarea exercițiului:

Pasul 1: Planificarea desenului și găsirea numitorului comun

Pasul 2: Amplificarea fracțiilor

Pasul 3: Reprezentarea pe axa numerelor

Rezolvare pe scurt: