Cele mai importante aspecte ale lecției
- Divizibilitate: Dacă \( a = b \cdot q \), atunci \( a \vdots b \) (\( a \) este divizibil cu \( b \)) și \( b \mid a \) (\( b \) divide pe \( a \)).
- Descompunerea în factori primi: Exprimarea unui număr ca produs de puteri de numere prime. (ex: \( 12 = 2^2 \cdot 3 \)).
- Testul de primalitate: Un număr este prim dacă, împărțindu-l la numere prime succesive, obținem un cât mai mic decât împărțitorul, fără a obține vreodată restul zero.
- c.m.m.d.c.: Se obține din înmulțirea factorilor primi comuni, la puterea cea mai mică.
Oricare ar fi numărul natural \( a \) și oricare ar fi numărul natural nenul \( b \), există numerele naturale \( q \) (câtul) și \( r \) (restul), unic determinate, astfel încât:
\[ a = b \cdot q + r \quad \text{unde} \quad r < b \]
Dacă restul este zero (\( r = 0 \)), atunci \( a = b \cdot q \). În acest caz, împărțirea este exactă.
Când \( a = b \cdot q \), folosim următoarea terminologie și notații:
- \( a \) este un multiplu al lui \( b \)
- \( a \) este divizibil cu \( b \) și se scrie: \( a \vdots b \)
- \( b \) este un divizor al lui \( a \)
- \( b \) divide pe \( a \) și se scrie: \( b \mid a \)
Împărțind \( 315 \) la \( 7 \) rezultă câtul \( 45 \) și restul \( 0 \).
Avem \( 315 = 7 \cdot 45 \).
Prin urmare: \( 315 \vdots 7 \) (315 este divizibil cu 7) și \( 7 \mid 315 \) (7 divide 315).
Prin urmare: \( 315 \vdots 7 \) (315 este divizibil cu 7) și \( 7 \mid 315 \) (7 divide 315).
Orice număr natural compus poate fi scris ca un produs de puteri de numere prime. Acest procedeu se numește descompunerea în factori primi.
Algoritmul de descompunere: Se împarte succesiv numărul la numere prime (începând cu cel mai mic număr prim la care este divizibil: 2, 3, 5, 7 etc.), până când câtul devine 1.
Descompunerea numărului 252:
Rezultatul se scrie ca produs de puteri: \( 252 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7 \).
| 252 | 2 |
| 126 | 2 |
| 63 | 3 |
| 21 | 3 |
| 7 | 7 |
| 1 |
Descompuneți în factori primi numărul 60.
\( 60 : 2 = 30 \)
\( 30 : 2 = 15 \)
\( 15 : 3 = 5 \)
\( 5 : 5 = 1 \)
Rezultat: \( 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \).
\( 30 : 2 = 15 \)
\( 15 : 3 = 5 \)
\( 5 : 5 = 1 \)
Rezultat: \( 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \).
Pentru a arăta că un număr este prim, verificăm dacă are divizori proprii împărțindu-l succesiv la numerele prime (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...).
Dacă obținem un rest egal cu zero, algoritmul se oprește, iar numărul nu este prim (este compus).
Dacă obținem un cât strict mai mic decât împărțitorul, iar toate resturile anterioare au fost diferite de zero, algoritmul se oprește, iar numărul este prim.
Verificăm dacă 311 este prim. (Știm deja că nu se divide cu 2, 3, 5 din criteriile de divizibilitate).
\( 311 : 7 = 44 \), rest 3 (\( 44 > 7 \))
\( 311 : 11 = 28 \), rest 3 (\( 28 > 11 \))
\( 311 : 13 = 23 \), rest 12 (\( 23 > 13 \))
\( 311 : 17 = 18 \), rest 5 (\( 18 > 17 \))
\( 311 : 19 = 16 \), rest 7 (\( 16 < 19 \))
La împărțirea cu 19, câtul (16) a devenit mai mic decât împărțitorul (19), deci ne oprim. Numărul 311 este prim.
\( 311 : 7 = 44 \), rest 3 (\( 44 > 7 \))
\( 311 : 11 = 28 \), rest 3 (\( 28 > 11 \))
\( 311 : 13 = 23 \), rest 12 (\( 23 > 13 \))
\( 311 : 17 = 18 \), rest 5 (\( 18 > 17 \))
\( 311 : 19 = 16 \), rest 7 (\( 16 < 19 \))
La împărțirea cu 19, câtul (16) a devenit mai mic decât împărțitorul (19), deci ne oprim. Numărul 311 este prim.
Cel mai mare divizor comun reprezintă cel mai mare număr natural la care se împart exact două sau mai multe numere date.
Regulă pentru calculul c.m.m.d.c.:
- Se descompun numerele în factori primi.
- Se înmulțesc toți factorii primi comuni, luați o singură dată, la puterea cea mai mică.
Calculați c.m.m.d.c. pentru numerele 72 și 240.
1. Descompunerea: \( 72 = 2^3 \cdot 3^2 \) și \( 240 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5 \)
2. Factorii comuni sunt 2 și 3. Puterile cele mai mici la care apar sunt \( 2^3 \) și \( 3^1 \).
\( \text{c.m.m.d.c.}(72, 240) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24 \).
1. Descompunerea: \( 72 = 2^3 \cdot 3^2 \) și \( 240 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5 \)
2. Factorii comuni sunt 2 și 3. Puterile cele mai mici la care apar sunt \( 2^3 \) și \( 3^1 \).
\( \text{c.m.m.d.c.}(72, 240) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24 \).
Numerele prietene sunt perechi de numere pentru care suma divizorilor unuia (incluzând 1, dar excluzând numărul însuși) este egală cu celălalt număr.
Perechea (220, 284) este o pereche de numere prietene.
Suma divizorilor lui 220 (fără 220) = 284.
Suma divizorilor lui 284 (fără 284) = 220.
Suma divizorilor lui 220 (fără 220) = 284.
Suma divizorilor lui 284 (fără 284) = 220.
Probleme de exersare
Nivel ușor: Descompuneți în factori primi numărul \( 180 \).
Împărțim succesiv la numere prime:
\( 180 : 2 = 90 \)
\( 90 : 2 = 45 \)
\( 45 : 3 = 15 \)
\( 15 : 3 = 5 \)
\( 5 : 5 = 1 \)
Răspuns: \( 180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \)
\( 180 : 2 = 90 \)
\( 90 : 2 = 45 \)
\( 45 : 3 = 15 \)
\( 15 : 3 = 5 \)
\( 5 : 5 = 1 \)
Răspuns: \( 180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \)
Nivel mediu: Calculați cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) pentru numerele \( 48 \) și \( 180 \).
1. Descompunem numerele în factori primi:
\( 48 = 2^4 \cdot 3 \)
\( 180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \)
2. Alegem factorii comuni la puterea cea mai mică: \( 2^2 \) și \( 3^1 \).
\( \text{c.m.m.d.c.}(48, 180) = 2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12 \)
Răspuns: 12
\( 48 = 2^4 \cdot 3 \)
\( 180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \)
2. Alegem factorii comuni la puterea cea mai mică: \( 2^2 \) și \( 3^1 \).
\( \text{c.m.m.d.c.}(48, 180) = 2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12 \)
Răspuns: 12
Nivel dificil: Demonstrați dacă numărul \( 167 \) este prim sau compus.
Împărțim pe 167 la numerele prime în ordine crescătoare:
\( 167 : 2 \rightarrow \) rest 1
\( 167 : 3 \rightarrow \) rest 2 (\( 1+6+7=14 \), nu se divide cu 3)
\( 167 : 5 \rightarrow \) rest 2
\( 167 : 7 = 23 \), rest 6 (\( 23 > 7 \))
\( 167 : 11 = 15 \), rest 2 (\( 15 > 11 \))
\( 167 : 13 = 12 \), rest 11 (\( 12 < 13 \))
Deoarece am ajuns la o împărțire în care câtul (12) este mai mic decât împărțitorul (13), iar restul nu a fost niciodată zero, algoritmul se oprește.
Răspuns: Numărul \( 167 \) este prim.
\( 167 : 2 \rightarrow \) rest 1
\( 167 : 3 \rightarrow \) rest 2 (\( 1+6+7=14 \), nu se divide cu 3)
\( 167 : 5 \rightarrow \) rest 2
\( 167 : 7 = 23 \), rest 6 (\( 23 > 7 \))
\( 167 : 11 = 15 \), rest 2 (\( 15 > 11 \))
\( 167 : 13 = 12 \), rest 11 (\( 12 < 13 \))
Deoarece am ajuns la o împărțire în care câtul (12) este mai mic decât împărțitorul (13), iar restul nu a fost niciodată zero, algoritmul se oprește.
Răspuns: Numărul \( 167 \) este prim.
