II.9.2. Subiectul Al Ii-Lea

Pentru a împărți numărul \( 2024 \) în părți invers proporționale, vom folosi proprietățile rapoartelor și ale șirului de rapoarte egale.

Pasul 1: Notarea necunoscutelor și stabilirea relației de proporționalitate

Notăm cele trei părți cu \( a, b \) și \( c \). Conform enunțului, suma acestora este \( a + b + c = 2024 \). Deoarece părțile sunt invers proporționale cu \( \frac{1}{5}, \frac{1}{8} \) și \( \frac{1}{9} \), produsul dintre fiecare parte și numărul corespunzător este constant. Notăm acest produs (coeficientul de proporționalitate) cu \( k \): \[ a \cdot \frac{1}{5} = b \cdot \frac{1}{8} = c \cdot \frac{1}{9} = k \]

Pasul 2: Exprimarea mărimilor în funcție de coeficientul \( k \)

Din relațiile de mai sus, determinăm valorile lui \( a, b \) și \( c \) în funcție de \( k \): \[ \frac{a}{5} = k \implies a = 5 \cdot k \] \[ \frac{b}{8} = k \implies b = 8 \cdot k \] \[ \frac{c}{9} = k \implies c = 9 \cdot k \]

Pasul 3: Utilizarea sumei pentru a găsi coeficientul \( k \)

Știm că suma părților este \( 2024 \). Înlocuim expresiile găsite la pasul anterior în această sumă: \[ a + b + c = 2024 \] \[ 5k + 8k + 9k = 2024 \] Efectuăm suma coeficienților lui \( k \): \[ (5 + 8 + 9) \cdot k = 2024 \] \[ 22 \cdot k = 2024 \] Acum, calculăm valoarea lui \( k \) prin împărțire: \[ k = 2024 : 22 \] \[ k = 92 \]

Pasul 4: Calcularea valorilor finale pentru cele trei părți

Folosind valoarea \( k = 92 \), aflăm fiecare parte a numărului \( 2024 \): \[ a = 5 \cdot 92 = 460 \] \[ b = 8 \cdot 92 = 736 \] \[ c = 9 \cdot 92 = 828 \] Putem verifica rezultatul făcând suma: \( 460 + 736 + 828 = 1196 + 828 = 2024 \). Calculul este corect.

\( a, b, c \) i.p. \( \frac{1}{5}, \frac{1}{8}, \frac{1}{9} \implies \frac{a}{5} = \frac{b}{8} = \frac{c}{9} = k \) \( a=5k, b=8k, c=9k \implies 5k+8k+9k=2024 \implies 22k=2024 \implies k=92 \) \( a = 5 \cdot 92 = 460; b = 8 \cdot 92 = 736; c = 9 \cdot 92 = 828 \)