Cele mai importante aspecte ale lecției
- Puterea \( a^n \) înseamnă înmulțirea bazei \( a \) cu ea însăși de \( n \) ori. Atenție: \( a^0 = 1 \).
- Semnul: Un număr negativ la putere pară devine pozitiv \( (-a)^{\text{par}} = a^{\text{par}} \). Un număr negativ la putere impară rămâne negativ \( (-a)^{\text{impar}} = -a^{\text{impar}} \).
- Reguli de calcul: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \), \( a^m : a^n = a^{m-n} \), \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \), \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \), \( (a:b)^n = a^n : b^n \).
- Ordinea operațiilor: 1. Puteri; 2. Înmulțiri / Împărțiri; 3. Adunări / Scăderi. Se respectă ordinea parantezelor: rotunde ( ), drepte [ ], acolade { }.
Pentru orice număr întreg nenul \( a \) și orice număr natural \( n \ge 2 \), puterea a \( n \)-a a numărului întreg \( a \) reprezintă produsul a \( n \) factori, toți egali cu \( a \).
\[ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{\text{de } n \text{ ori}} \]
unde \( a \) este baza puterii, iar \( n \) este exponentul puterii.
Convenții importante:
- \( a^0 = 1 \) (orice număr nenul la puterea zero este 1)
- \( a^1 = a \) (orice număr la puterea întâia este el însuși)
Expresia \( 0^0 \) nu se definește.
\( (+3)^2 = (+3) \cdot (+3) = 9 \)
\( (-5)^3 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = -125 \)
\( (-5)^3 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = -125 \)
Regulile de calcul învățate la numere naturale se aplică identic și la numerele întregi nenule. Fie \( a, b \in \mathbb{Z}^* \) și \( m, n \in \mathbb{N} \):
| Operația | Regula (Formula) | Explicație |
|---|---|---|
| Înmulțirea (aceeași bază) | \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) | Se scrie baza și se adună exponenții. |
| Împărțirea (aceeași bază) | \( a^m : a^n = a^{m-n} \), \( (m > n) \) | Se scrie baza și se scad exponenții. |
| Puterea unei puteri | \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) | Se scrie baza și se înmulțesc exponenții. |
| Puterea unui produs | \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \) | Se ridică fiecare factor la puterea respectivă. |
| Puterea unui cât | \( (a : b)^n = a^n : b^n \) | Se ridică fiecare factor al câtului la putere. |
Scrieți sub forma unei singure puteri expresia: \( [(-3)^4]^5 : (-3)^2 \).
Aplicăm mai întâi regula puterii unei puteri, apoi regula împărțirii:
\( [(-3)^4]^5 = (-3)^{4 \cdot 5} = (-3)^{20} \)
\( (-3)^{20} : (-3)^2 = (-3)^{20-2} = (-3)^{18} \).
\( [(-3)^4]^5 = (-3)^{4 \cdot 5} = (-3)^{20} \)
\( (-3)^{20} : (-3)^2 = (-3)^{20-2} = (-3)^{18} \).
Proprietățile semnului puterii pentru un număr întreg negativ \( (-a) \):
- Dacă exponentul \( n \) este par, rezultatul este pozitiv: \( (-a)^n = a^n \)
- Dacă exponentul \( n \) este impar, rezultatul rămâne negativ: \( (-a)^n = -a^n \)
Fie \( a \) și \( b \) două numere întregi și \( n \) număr natural nenul:
- Dacă \( n \) este impar și \( a < b \), atunci \( a^n < b^n \).
- Dacă \( n \) este par și \( a < b < 0 \) (numere negative), ordinea se inversează: \( a^n > b^n \).
- Dacă \( n \) este par și \( 0 < a < b \) (numere pozitive), ordinea se păstrează: \( a^n < b^n \).
Deoarece \( 4 \) este număr par: \( (-3)^4 = 3^4 = 81 \).
Deoarece \( 3 \) este număr impar: \( (-2)^3 = -2^3 = -8 \).
Comparație: \( -4 < -2 < 0 \Rightarrow (-4)^2 > (-2)^2 \) (adică \( 16 > 4 \)).
Deoarece \( 3 \) este număr impar: \( (-2)^3 = -2^3 = -8 \).
Comparație: \( -4 < -2 < 0 \Rightarrow (-4)^2 > (-2)^2 \) (adică \( 16 > 4 \)).
Într-o expresie numerică, operațiile nu se efectuează la întâmplare, ci respectând o prioritate strictă, la fel ca în mulțimea numerelor naturale.
Ridicarea la putere. Se calculează toate puterile prezente în expresie.
Înmulțirea și împărțirea. Se efectuează în ordinea în care sunt scrise (de la stânga la dreapta).
Adunarea și scăderea. Se efectuează la final, în ordinea în care sunt scrise.
Dacă expresia conține paranteze, se efectuează mai întâi calculele din parantezele rotunde ( ), apoi cele din parantezele drepte [ ], și la final cele din acolade { }.
Atenție: În mulțimea numerelor întregi, parantezele rotunde sunt folosite frecvent și doar pentru a pune în evidență semnul numărului (ex: \( (-5) \)).
Atenție: În mulțimea numerelor întregi, parantezele rotunde sunt folosite frecvent și doar pentru a pune în evidență semnul numărului (ex: \( (-5) \)).
Calculați: \( (-2)^2 \cdot (+3) - (-10) : (+2) \)
1. Puterea: \( (+4) \cdot (+3) - (-10) : (+2) \)
2. Înmulțirea și împărțirea: \( (+12) - (-5) \)
3. Scăderea: \( (+12) + (+5) = +17 \)
1. Puterea: \( (+4) \cdot (+3) - (-10) : (+2) \)
2. Înmulțirea și împărțirea: \( (+12) - (-5) \)
3. Scăderea: \( (+12) + (+5) = +17 \)
Exerciții
Ușoară: Calculați valoarea expresiilor: \( A = (-2)^4 \) și \( B = (-3)^3 \). Apoi comparați rezultatele.
Deoarece 4 este exponent par, \( A = (-2)^4 = 2^4 = 16 \).
Deoarece 3 este exponent impar, \( B = (-3)^3 = -3^3 = -27 \).
Comparație: \( 16 > -27 \Rightarrow A > B \).
Deoarece 3 este exponent impar, \( B = (-3)^3 = -3^3 = -27 \).
Comparație: \( 16 > -27 \Rightarrow A > B \).
Medie: Folosind regulile de calcul cu puteri, aduceți expresia la o formă mai simplă și calculați rezultatul final:
\[ E = [(-5)^2]^3 : (-5)^4 \]
Aplicăm regula puterii unei puteri: \( [(-5)^2]^3 = (-5)^{2 \cdot 3} = (-5)^6 \).
Expresia devine: \( E = (-5)^6 : (-5)^4 \).
Aplicăm regula împărțirii puterilor cu aceeași bază: \( E = (-5)^{6-4} = (-5)^2 \).
Calculăm puterea: \( (-5)^2 = 25 \).
Expresia devine: \( E = (-5)^6 : (-5)^4 \).
Aplicăm regula împărțirii puterilor cu aceeași bază: \( E = (-5)^{6-4} = (-5)^2 \).
Calculăm puterea: \( (-5)^2 = 25 \).
Dificilă: Respectând ordinea efectuării operațiilor, calculați valoarea expresiei:
\[ E = 10 - [(-3)^3 : 9 + (-2) \cdot (-4)] \]
Calculăm mai întâi puterea din paranteza dreaptă: \( (-3)^3 = -27 \).
\( E = 10 - [-27 : 9 + (-2) \cdot (-4)] \)
Efectuăm împărțirea și înmulțirea din paranteză:
\( -27 : 9 = -3 \)
\( (-2) \cdot (-4) = +8 \)
Înlocuim în expresie:
\( E = 10 - [-3 + 8] \)
Efectuăm adunarea din paranteză: \( -3 + 8 = 5 \).
Calculul final: \( E = 10 - 5 = 5 \).
\( E = 10 - [-27 : 9 + (-2) \cdot (-4)] \)
Efectuăm împărțirea și înmulțirea din paranteză:
\( -27 : 9 = -3 \)
\( (-2) \cdot (-4) = +8 \)
Înlocuim în expresie:
\( E = 10 - [-3 + 8] \)
Efectuăm adunarea din paranteză: \( -3 + 8 = 5 \).
Calculul final: \( E = 10 - 5 = 5 \).
