III.8. Aplic

Pentru a verifica dacă soluția unei ecuații aparține unei mulțimi date fără a rezolva complet ecuația, vom analiza semnele numerelor și proprietățile operațiilor cu numere întregi.

a) \( (-5) \cdot x = 10, x \in \mathbb{Z}, A = \mathbb{Z}_{+} \)

Pasul 1: Analiza semnelor

Avem un produs de două numere care este egal cu un număr pozitiv (\( 10 > 0 \)). Conform regulii semnelor la înmulțire, produsul este pozitiv dacă factorii au același semn. Deoarece primul factor este negativ (\( -5 \)), rezultă că și al doilea factor, \( x \), trebuie să fie negativ.

Pasul 2: Concluzie

Dacă \( x \) este negativ, atunci \( x \in \mathbb{Z}_{-} \). Mulțimea \( A = \mathbb{Z}_{+} \) conține doar numere întregi pozitive. Prin urmare, soluția nu aparține mulțimii \( A \). Răspuns: Nu

b) \( 6 + x = 4, x \in \mathbb{Z}, A = \mathbb{Z}_{-} \)

Pasul 1: Compararea termenilor

În ecuația \( 6 + x = 4 \), suma este mai mică decât primul termen (\( 4 < 6 \)). Acest lucru este posibil în mulțimea numerelor întregi doar dacă termenul adunat, \( x \), este un număr negativ.

Pasul 2: Concluzie

Deoarece \( x \) trebuie să fie negativ, acesta aparține mulțimii numerelor întregi negative \( \mathbb{Z}_{-} \). Răspuns: Da

c) \( (-5) : x = 1, x \in \mathbb{Z}, A = \mathbb{Z}_{-} \)

Pasul 1: Analiza câtului

Câtul împărțirii este \( 1 \), care este un număr pozitiv. Pentru ca rezultatul unei împărțiri să fie pozitiv, deîmpărțitul și împărțitorul trebuie să aibă același semn. Deîmpărțitul este \( -5 \) (negativ), deci \( x \) trebuie să fie tot negativ.

Pasul 2: Concluzie

Fiind negativ, \( x \in \mathbb{Z}_{-} \), deci soluția aparține mulțimii \( A \). Răspuns: Da

d) \( 9 - x = 1, x \in \mathbb{Z}, A = \mathbb{N} \)

Pasul 1: Estimarea valorii

Pentru a obține \( 1 \) din \( 9 \), trebuie să scădem un număr mai mic decât \( 9 \). Deoarece \( 9 - 8 = 1 \), observăm că \( x \) este \( 8 \).

Pasul 2: Verificarea apartenenței

Numărul \( 8 \) este un număr natural, deci \( x \in \mathbb{N} \). Răspuns: Da

e) \( (-5) - x = 0, x \in \mathbb{Z}, A = \{-5, 5\} \)

Pasul 1: Proprietatea scăderii

Diferența a două numere este \( 0 \) dacă și numai dacă numerele sunt egale. Deci, trebuie să avem \( x = -5 \).

Pasul 2: Verificarea în mulțime

Valoarea \( -5 \) se regăsește în mulțimea \( A = \{-5, 5\} \). Răspuns: Da

f) \( x - 4 = 1, x \in \mathbb{Z}, A = \{-5, -4, -3\} \)

Pasul 1: Estimarea valorii

Pentru ca scăzând \( 4 \) dintr-un număr să obținem \( 1 \), acel număr trebuie să fie \( 5 \) (\( 5 - 4 = 1 \)).

Pasul 2: Verificarea în mulțime

Numărul \( 5 \) este pozitiv, în timp ce mulțimea \( A = \{-5, -4, -3\} \) conține doar numere negative. Deci \( 5 \notin A \). Răspuns: Nu

a) \( (-5) \cdot x = 10 \implies x = -2 \notin \mathbb{Z}_{+} \implies \) Nu b) \( 6 + x = 4 \implies x = -2 \in \mathbb{Z}_{-} \implies \) Da c) \( (-5) : x = 1 \implies x = -5 \in \mathbb{Z}_{-} \implies \) Da d) \( 9 - x = 1 \implies x = 8 \in \mathbb{N} \implies \) Da e) \( -5 - x = 0 \implies x = -5 \in \{-5, 5\} \implies \) Da f) \( x - 4 = 1 \implies x = 5 \notin \{-5, -4, -3\} \implies \) Nu