III.9. Aplic

Pentru a determina valoarea de adevăr a fiecărei propoziții, vom analiza fiecare inecuație în parte, efectuând calculele necesare în mulțimea numerelor întregi (\( \mathbb{Z} \)).

a) Numărul întreg 9 este soluție a inecuației \( 18 : x < -2, x \in \mathbb{Z} \)

Pasul 1: Înlocuirea necunoscutei

Pentru a verifica dacă un număr este soluție, înlocuim variabila \( x \) cu valoarea dată, în acest caz \( x = 9 \). \[ 18 : 9 < -2 \]

Pasul 2: Efectuarea calculului

Calculăm membrul stâng al inegalității: \[ 18 : 9 = 2 \] Obținem inegalitatea: \[ 2 < -2 \]

Pasul 3: Evaluarea rezultatului

Deoarece \( 2 \) este un număr pozitiv, acesta este mai mare decât orice număr negativ. Prin urmare, propoziția \( 2 < -2 \) este falsă. Răspuns: F

b) Mulțimea soluțiilor inecuației \( -x > 0, x \in \mathbb{Z} \) este \( A = \{..., -3, -2, -1\} \)

Pasul 1: Rezolvarea inecuației

Avem inecuația \( -x > 0 \). Pentru a-l izola pe \( x \), înmulțim sau împărțim întreaga inegalitate cu \(-1\). Conform regulilor de calcul cu inecuații, la înmulțirea cu un număr negativ, sensul inegalității se schimbă: \[ -x > 0 \quad | \cdot (-1) \] \[ x < 0 \cdot (-1) \] \[ x < 0 \]

Pasul 2: Scrierea mulțimii soluțiilor

Numerele întregi strict mai mici decât \( 0 \) sunt numerele întregi negative: \[ S = \{-1, -2, -3, -4, \dots\} \] Aceasta corespunde cu mulțimea \( A \) din enunț. Răspuns: A

c) Mulțimea soluțiilor inecuației \( (-2) \cdot x \ge 4, x \in \mathbb{Z} \) este \( A = \{..., -5, -4, -3\} \)

Pasul 1: Rezolvarea inecuației

Avem inecuația \( (-2) \cdot x \ge 4 \). Împărțim ambii membri la \(-2\). Fiind un număr negativ, schimbăm sensul inegalității de la \( \ge \) la \( \le \): \[ x \le 4 : (-2) \] \[ x \le -2 \]

Pasul 2: Determinarea elementelor mulțimii

Soluțiile sunt numerele întregi mai mici sau egale cu \(-2\): \[ S = \{\dots, -5, -4, -3, -2\} \] Comparând cu mulțimea dată în enunț \( A = \{..., -5, -4, -3\} \), observăm că din mulțimea \( A \) lipsește numărul \(-2\), care este o soluție validă (deoarece avem semnul \( \le \)). Prin urmare, mulțimea \( A \) nu reprezintă întreaga mulțime a soluțiilor. Răspuns: F

a) \( 18:9 = 2 \); \( 2 < -2 \) (F). b) \( -x > 0 \implies x < 0 \implies S = \{\dots, -2, -1\} \) (A). c) \( -2x \ge 4 \implies x \le -2 \implies S = \{\dots, -3, -2\} \neq A \) (F).