Lecția IV.5 conține următoarele grupuri de exerciții:
Alege rezolvarea exercițiului:
Exercițiul 1 (gratuit)
Rezolvare scurtă
a)
\( \left(-\frac{2}{3}\right)^x = \left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = \left(-\frac{2}{3}\right)^3 \)
\( x = 3 \)
b)
\( \left(-\frac{1}{2}\right)^2 : \left(-\frac{1}{2}\right)^3 = \left(-\frac{1}{2}\right)^{2-3} = \left(-\frac{1}{2}\right)^{-1} = -2 \)
c)
\( \left[\left(\frac{1}{5}\right)^a\right]^2 = \left(\frac{1}{5}\right)^{2a} = 1 = \left(\frac{1}{5}\right)^0 \)
\( 2a = 0 \implies a = 0 \)
d)
\( b = \left(\frac{\cancel{8}^4}{\cancel{14}_7}\right)^2 = \left(\frac{4}{7}\right)^2 \)
\( a \cdot b = \left(-\frac{7}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{4}{7}\right)^2 = \left(-\frac{\cancel{7}^1}{2} \cdot \frac{4}{\cancel{7}_1}\right)^2 \)
\( a \cdot b = \left(-\frac{\cancel{4}^2}{\cancel{2}_1}\right)^2 = (-2)^2 = 4 \)
Rezolvare detaliată
Pentru a rezolva aceste exerciții, vom folosi definiția puterii unui număr rațional și regulile de calcul cu puteri (înmulțirea, împărțirea și puterea unei puteri).
a) Dacă \( \left(-\frac{2}{3}\right)^x = \left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) \), atunci \( x \) este egal cu ...
Pasul 1: Aplicarea definiției puterii
Puterea \( a^n \) a unui număr rațional \( a \) este produsul a \( n \) factori egali cu \( a \). În membrul drept al egalității, avem fracția \( -\frac{2}{3} \) care apare ca factor de 3 ori. \[ \left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = \left(-\frac{2}{3}\right)^3 \]Pasul 2: Identificarea exponentului
Comparând cele două expresii, \( \left(-\frac{2}{3}\right)^x = \left(-\frac{2}{3}\right)^3 \), obținem: \[ x = 3 \]b) Rezultatul calculului \( \left(-\frac{1}{2}\right)^2 : \left(-\frac{1}{2}\right)^3 \) este egal cu ...
Pasul 1: Aplicarea regulii de împărțire a puterilor cu aceeași bază
Pentru a împărți două puteri cu aceeași bază, păstrăm baza și scădem exponenții: \( a^m : a^n = a^{m-n} \). \[ \left(-\frac{1}{2}\right)^2 : \left(-\frac{1}{2}\right)^3 = \left(-\frac{1}{2}\right)^{2-3} = \left(-\frac{1}{2}\right)^{-1} \]Pasul 2: Calcularea puterii cu exponent negativ
Conform regulii \( a^{-n} = \left(\frac{1}{a}\right)^n \), exponentul \(-1\) inversează fracția. \[ \left(-\frac{1}{2}\right)^{-1} = \left(-\frac{2}{1}\right)^1 = -2 \]c) Dacă \( \left[\left(\frac{1}{5}\right)^a\right]^2 = 1 \), atunci \( a \) este egal cu ...
Pasul 1: Aplicarea regulii puterii unei puteri
Regula este \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \). \[ \left[\left(\frac{1}{5}\right)^a\right]^2 = \left(\frac{1}{5}\right)^{2a} \]Pasul 2: Determinarea lui \( a \)
Orice număr rațional nenul ridicat la puterea \( 0 \) este egal cu \( 1 \). \[ \left(\frac{1}{5}\right)^{2a} = \left(\frac{1}{5}\right)^0 \implies 2a = 0 \implies a = 0 \]d) Dacă \( a = \left(-\frac{7}{2}\right)^2 \) și \( b = \left(\frac{8}{14}\right)^2 \), atunci \( a \cdot b \) este egal cu ...
Pasul 1: Simplificarea bazei lui \( b \)
Simplificăm fracția \( \frac{8}{14} \) prin \( 2 \): \[ \frac{8}{14} = \frac{\cancel{8}^4}{\cancel{14}_7} = \frac{4}{7} \] Deci \( b = \left(\frac{4}{7}\right)^2 \).Pasul 2: Aplicarea regulii de înmulțire a puterilor cu același exponent
Regula este \( a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \). \[ a \cdot b = \left(-\frac{7}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{4}{7}\right)^2 = \left(-\frac{7}{2} \cdot \frac{4}{7}\right)^2 \]Pasul 3: Calculul final
Simplificăm în interiorul parantezei: \[ \left(-\frac{\cancel{7}^1}{2} \cdot \frac{4}{\cancel{7}_1}\right)^2 = \left(-\frac{4}{2}\right)^2 = (-2)^2 = 4 \]Rezolvare scurtă:
a) \( x=3 \);
b) \( (-1/2)^{2-3} = (-1/2)^{-1} = -2 \);
c) \( (1/5)^{2a} = 1 \implies 2a=0 \implies a=0 \);
d) \( a \cdot b = (-7/2 \cdot 4/7)^2 = (-2)^2 = 4 \).
