Cele mai importante aspecte ale lecției
Pentru a rezolva ecuații în \( \mathbb{Q} \), mutăm termenii dintr-un membru în altul schimbându-le semnul, apoi reducem termenii și împărțim prin coeficientul necunoscutei.
Rezolvarea problemelor practice cu ajutorul ecuațiilor necesită întotdeauna 4 pași: 1. Notarea necunoscutei (\( x \)); 2. Crearea ecuației din datele problemei; 3. Calculul matematic; 4. Interpretarea răspunsului în lumea reală.
Rezolvarea problemelor practice cu ajutorul ecuațiilor necesită întotdeauna 4 pași: 1. Notarea necunoscutei (\( x \)); 2. Crearea ecuației din datele problemei; 3. Calculul matematic; 4. Interpretarea răspunsului în lumea reală.
Etapele de rezolvare a unei ecuații în mulțimea numerelor raționale sunt aceleași ca în cazul numerelor întregi, folosind regulile de calcul cu fracții și zecimale.
Separarea termenilor: Trecem termenii cu necunoscută (de obicei \( x \)) într-un membru al ecuației și termenii liberi (numerele) în celălalt membru. Regulă fundamentală: La trecerea dintr-un membru în altul, termenului i se schimbă semnul!
Efectuarea calculelor (reducerea termenilor asemenea) în ambii membri.
Împărțirea ambilor membri la coeficientul necunoscutei pentru a afla valoarea lui \( x \).
Notarea soluției sub forma \( S = \{ ... \} \).
Rezolvarea ecuației \( \frac{3}{2}x + 10 = \frac{1}{4} - x \):
1. Mutăm \( -x \) în stânga (devine \( +x \)) și \( +10 \) în dreapta (devine \( -10 \)): \[ \frac{3}{2}x + x = \frac{1}{4} - 10 \]
2. Aducem la același numitor și calculăm: \[ \frac{5}{2}x = \frac{1 - 40}{4} \Rightarrow \frac{5}{2}x = -\frac{39}{4} \]
3. Împărțim prin coeficientul lui \( x \): \[ x = \left(-\frac{39}{4}\right) : \frac{5}{2} = -\frac{39}{4} \cdot \frac{2}{5} = -\frac{39}{10} = -3,9 \]
4. Soluția: \( S = \{-3,9\} \)
1. Mutăm \( -x \) în stânga (devine \( +x \)) și \( +10 \) în dreapta (devine \( -10 \)): \[ \frac{3}{2}x + x = \frac{1}{4} - 10 \]
2. Aducem la același numitor și calculăm: \[ \frac{5}{2}x = \frac{1 - 40}{4} \Rightarrow \frac{5}{2}x = -\frac{39}{4} \]
3. Împărțim prin coeficientul lui \( x \): \[ x = \left(-\frac{39}{4}\right) : \frac{5}{2} = -\frac{39}{4} \cdot \frac{2}{5} = -\frac{39}{10} = -3,9 \]
4. Soluția: \( S = \{-3,9\} \)
Rezolvați ecuația \( 2x - 3,5 = x + 1,5 \) în mulțimea \( \mathbb{Q} \).
Mutăm termenii:
\[ 2x - x = 1,5 + 3,5 \]
Efectuăm calculele:
\[ x = 5 \]
Soluția este \( S = \{5\} \).
Rezolvarea unei ecuații mai complexe conduce întotdeauna la una dintre formele simple de mai jos, a căror rezolvare este imediată:
| Forma ecuației | Mulțimea soluțiilor (\( S \)) |
|---|---|
| \( x + a = b \) | \( S = \{b - a\} \) |
| \( x \cdot a = b \quad (a \neq 0) \) | \( S = \{b : a\} \) |
| \( x : a = b \quad (a \neq 0) \) | \( S = \{b \cdot a\} \) |
| \( a \cdot x + b = c \quad (a \neq 0) \) | \( S = \{(c - b) : a\} \) |
Scrieți sub formă simplă și rezolvați ecuația \( \frac{2}{3} \cdot x + \frac{1}{3} = 1 \).
Acesta este cazul \( a \cdot x + b = c \).
\[ \frac{2}{3} \cdot x = 1 - \frac{1}{3} \]
\[ \frac{2}{3} \cdot x = \frac{2}{3} \]
\[ x = \frac{2}{3} : \frac{2}{3} = 1 \]
\( S = \{1\} \).
Multe probleme din viața practică sau din fizică se rezolvă prin „traducerea” lor în limbaj matematic sub forma unor ecuații. Aceasta presupune respectarea strictă a patru etape.
Stabilirea necunoscutei (sau a necunoscutelor). Notăm mărimea cerută cu \( x \) (sau altă literă).
Obținerea ecuației (modelarea matematică). Exprimăm relațiile din problemă sub forma unei egalități.
Rezolvarea ecuației respectând regulile de calcul.
Interpretarea rezultatelor. Verificăm dacă soluția matematică are sens în contextul problemei reale (de exemplu, un număr de bucăți nu poate fi negativ sau fracționar dacă problema nu permite).
Exemplu (Aplicație în fizică):
Se cunoaște legea pârghiei: \( F_1 \cdot b_1 = F_2 \cdot b_2 \). Dacă lungimea totală a barei este \( 4,5 \) m, distanța \( b_1 = 3 \) m și forța \( F_1 = 1 \) N, vrem să aflăm forța \( F_2 \) pentru a obține echilibrul.
Pas 1: Necunoscuta este \( F_2 \).
Pas 2: Aflăm distanța \( b_2 \): \( b_2 = 4,5 - 3 = 1,5 \) m. Ecuația devine: \( 1 \cdot 3 = F_2 \cdot 1,5 \).
Pas 3: \( F_2 = 3 : 1,5 = 2 \).
Pas 4: Pentru ca bara să fie în echilibru, forța \( F_2 \) trebuie să fie de \( 2 \) N.
Pas 1: Necunoscuta este \( F_2 \).
Pas 2: Aflăm distanța \( b_2 \): \( b_2 = 4,5 - 3 = 1,5 \) m. Ecuația devine: \( 1 \cdot 3 = F_2 \cdot 1,5 \).
Pas 3: \( F_2 = 3 : 1,5 = 2 \).
Pas 4: Pentru ca bara să fie în echilibru, forța \( F_2 \) trebuie să fie de \( 2 \) N.
Exerciții și probleme
Ușoară: Rezolvați ecuația în mulțimea numerelor raționale: \( x - \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \).
Trecem \( -\frac{1}{2} \) în membrul drept cu semn schimbat:
\[ x = \frac{5}{2} + \frac{1}{2} \]
\[ x = \frac{6}{2} \]
\[ x = 3 \]
\( S = \{3\} \)
Medie: Rezolvați ecuația în mulțimea numerelor raționale: \( \frac{x}{2} - 1 = \frac{x}{3} + 1 \).
Separăm termenii (mutăm necunoscutele în stânga și numerele în dreapta):
\[ \frac{x}{2} - \frac{x}{3} = 1 + 1 \]
Aducem fracțiile la același numitor (numitorul comun este 6):
\[ \frac{3x}{6} - \frac{2x}{6} = 2 \]
\[ \frac{x}{6} = 2 \]
Înmulțim cu 6 (sau aplicăm regula ecuațiilor simple):
\[ x = 2 \cdot 6 \Rightarrow x = 12 \]
\( S = \{12\} \)
Dificilă: Un turist a parcurs două cincimi din lungimea unui traseu. Dacă lungimea parcursă este cu 30 km mai mică decât lungimea totală a traseului, aflați lungimea traseului (folosind o ecuație).
1. Stabilirea necunoscutei: Notăm cu \( x \) lungimea totală a traseului.
2. Obținerea ecuației: Distanța parcursă este \( \frac{2}{5} \cdot x \). Aceasta este egală cu distanța totală minus 30 km. \[ \frac{2}{5} \cdot x = x - 30 \]
3. Rezolvarea ecuației: Mutăm necunoscutele: \[ 30 = x - \frac{2}{5}x \] Aducem la același numitor în membrul drept: \[ 30 = \frac{5x}{5} - \frac{2x}{5} \] \[ 30 = \frac{3x}{5} \] \[ 3x = 30 \cdot 5 \] \[ 3x = 150 \Rightarrow x = 50 \]
4. Interpretarea rezultatului: Traseul are lungimea de 50 km. (Verificare: două cincimi din 50 înseamnă 20 km. 20 este cu 30 mai mic decât 50, deci corect).
2. Obținerea ecuației: Distanța parcursă este \( \frac{2}{5} \cdot x \). Aceasta este egală cu distanța totală minus 30 km. \[ \frac{2}{5} \cdot x = x - 30 \]
3. Rezolvarea ecuației: Mutăm necunoscutele: \[ 30 = x - \frac{2}{5}x \] Aducem la același numitor în membrul drept: \[ 30 = \frac{5x}{5} - \frac{2x}{5} \] \[ 30 = \frac{3x}{5} \] \[ 3x = 30 \cdot 5 \] \[ 3x = 150 \Rightarrow x = 50 \]
4. Interpretarea rezultatului: Traseul are lungimea de 50 km. (Verificare: două cincimi din 50 înseamnă 20 km. 20 este cu 30 mai mic decât 50, deci corect).
