II.2. Proporții. Proprietatea fundamentală a proporțiilor. Determinarea unui termen necunoscut dintr-o proporție

Pentru a verifica dacă o egalitate de două rapoarte \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) formează o proporție, folosim proprietatea fundamentală a proporțiilor: produsul extremilor trebuie să fie egal cu produsul mezilor (\( a \cdot d = b \cdot c \)). Alternativ, putem simplifica rapoartele sau verifica dacă unul se obține din celălalt prin amplificare.

a) \( \frac{7}{3} = \frac{28}{12} \)

Verificare

Observăm că dacă amplificăm prima fracție cu \( 4 \), obținem: \[ \overset{4)}{\frac{7}{3}} = \frac{7 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{28}{12} \] Egalitatea este corectă. Afirmația este adevărată (A).

b) \( \frac{21}{5} = \frac{80}{20} \)

Verificare

Verificăm produsele în cruce: \[ 21 \cdot 20 = 420 \] \[ 5 \cdot 80 = 400 \] Deoarece \( 420 \neq 400 \), rapoartele nu sunt egale. Afirmația este falsă (F).

c) \( \frac{17}{32} = \frac{34}{64} \)

Verificare

Amplificăm prima fracție cu \( 2 \): \[ \overset{2)}{\frac{17}{32}} = \frac{17 \cdot 2}{32 \cdot 2} = \frac{34}{64} \] Egalitatea este corectă. Afirmația este adevărată (A).

d) \( \frac{2,5}{7} = \frac{1,25}{3,5} \)

Verificare

Simplificăm al doilea raport prin împărțire la \( 0,5 \) sau observăm că \( 1,25 \cdot 2 = 2,5 \) și \( 3,5 \cdot 2 = 7 \). Invers, dacă simplificăm primul raport cu \( 2 \): \[ \frac{2,5 : 2}{7 : 2} = \frac{1,25}{3,5} \] Egalitatea este corectă. Afirmația este adevărată (A).

e) \( \frac{25}{35} = \frac{6,25}{8,75} \)

Verificare

Simplificăm primul raport cu \( 5 \): \( \frac{25^{(5}}{35} = \frac{5}{7} \). Simplificăm al doilea raport prin mutarea virgulei (înmulțire cu \( 100 \)): \( \frac{625}{875} \). Simplificăm \( \frac{625}{875} \) cu \( 125 \): \[ \frac{625 : 125}{875 : 125} = \frac{5}{7} \] Ambele rapoarte sunt egale cu \( \frac{5}{7} \). Afirmația este adevărată (A).

f) \( \frac{1,02}{3,42} = \frac{8,16}{27,36} \)

Verificare

Verificăm dacă al doilea raport se obține prin amplificarea primului cu \( 8 \): \[ 1,02 \cdot 8 = 8,16 \] \[ 3,42 \cdot 8 = 27,36 \] Egalitatea este corectă. Afirmația este adevărată (A).

g) \( \frac{\frac{1}{3}}{5} = \frac{\frac{7}{15}}{7} \)

Verificare

Calculăm valoarea fiecărui raport: Stânga: \( \frac{1}{3} : 5 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{15} \) Dreapta: \( \frac{7}{15} : 7 = \frac{\cancel{7}^1}{15} \cdot \frac{1}{\cancel{7}_1} = \frac{1}{15} \) Valorile sunt egale. Afirmația este adevărată (A).

h) \( \frac{10^{10}}{3} = \frac{0^{101}}{3} \)

Verificare

Calculăm numărătorii: \( 10^{10} \) este un număr foarte mare (1 urmat de 10 zerouri). \( 0^{101} = 0 \). Deoarece \( 10^{10} \neq 0 \), rapoartele sunt diferite. Afirmația este falsă (F).

i) \( \frac{3^{102}}{6^{50}} = \frac{6^{52}}{2^{102}} \)

Verificare

Verificăm produsul extremilor și al mezilor: Extremi: \( 3^{102} \cdot 2^{102} = (3 \cdot 2)^{102} = 6^{102} \) Mezi: \( 6^{50} \cdot 6^{52} = 6^{50+52} = 6^{102} \) Produsele sunt egale. Afirmația este adevărată (A).

a) \( \frac{7 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{28}{12} \implies A \) b) \( 21 \cdot 20 = 420 \neq 400 = 5 \cdot 80 \implies F \) c) \( \frac{17 \cdot 2}{32 \cdot 2} = \frac{34}{64} \implies A \) d) \( 2,5 \cdot 3,5 = 8,75 = 7 \cdot 1,25 \implies A \) e) \( \frac{25}{35} = \frac{5}{7} \); \( \frac{6,25}{8,75} = \frac{625}{875} = \frac{5}{7} \implies A \) f) \( 1,02 \cdot 8 = 8,16 \); \( 3,42 \cdot 8 = 27,36 \implies A \) g) \( \frac{1}{15} = \frac{7}{15 \cdot 7} = \frac{1}{15} \implies A \) h) \( 10^{10} \neq 0 \implies F \) i) \( 3^{102} \cdot 2^{102} = 6^{102} = 6^{50} \cdot 6^{52} \implies A \)