Cele mai importante aspecte ale lecției
Concepte de reținut:
- Mutarea unui termen dintr-o parte în alta a egalului/inegalității se face mereu cu schimbarea semnului (din \(+\) în \(-\) și invers).
- La inecuații, dacă înmulțim sau împărțim toți termenii cu un număr negativ, sensul inegalității se întoarce (ex: \( -2x < 10 \implies x > -5 \)).
- Etapele generale de rezolvare a problemelor implică găsirea necunoscutei, formarea ecuației/inecuației din text, rezolvarea ei prin calcule algebrice și verificarea soluției.
Ecuația este o egalitate matematică ce conține un element necunoscut (notat de regulă cu \(x, y, z\)).
Soluția este valoarea necunoscutei care face ca egalitatea să fie adevărată. A rezolva o ecuație înseamnă a-i găsi toate soluțiile în mulțimea dată (ex: \(\mathbb{Z}\)).
Două ecuații se numesc echivalente (simbolizate prin \(\Leftrightarrow\)) dacă au exact aceleași soluții.
Reguli de bază pentru rezolvare:
- Termenii pot fi mutați dintr-un membru în celălalt, dar li se schimbă semnul la trecerea peste „=”.
- Ambii membri ai ecuației pot fi înmulțiți sau împărțiți cu același număr nenul.
Forma generală obținută după calcule:
\[ a \cdot x = b \implies x = b : a \]
Ecuația are soluție în \(\mathbb{Z}\) doar dacă \(b\) este divizibil cu \(a\).
Ecuații cu modul:
\[ |x| = a \implies x = a \text{ sau } x = -a \text{ (unde } a \ge 0) \]
Separarea termenilor (necunoscutele într-o parte, termenii liberi în cealaltă).
Efectuarea calculelor în fiecare membru.
Împărțirea la coeficientul necunoscutei pentru a afla soluția.
Rezolvați ecuația în mulțimea numerelor întregi: \( 5x - 8 = 2x + 7 \)
1. Mutăm termenii cu \(x\) în stânga și termenii liberi în dreapta, schimbând semnele:
\[ 5x - 2x = 7 + 8 \]
2. Efectuăm calculele:
\[ 3x = 15 \]
3. Împărțim la 3:
\[ x = 15 : 3 \implies x = 5 \]
Răspuns: Soluția este \(S = \{5\}\).
Inecuația se obține prin înlocuirea semnului „=” dintr-o ecuație cu unul dintre semnele de inegalitate: \( <, >, \le, \ge \).
Etapele de rezolvare și proprietățile inecuațiilor sunt identice cu cele ale ecuațiilor, cu o singură și foarte importantă excepție.
Când înmulțim sau împărțim ambii membri ai unei inecuații cu un număr negativ, sensul inegalității se schimbă (ex. „\(<\)” devine „\(>\)”).
Exemplu de schimbare a sensului:
\[ -a \cdot x \le b \implies x \ge \frac{b}{-a} \text{ (pentru } a > 0) \]
Rezolvați inecuația: \( -3x + 4 \ge 13 \), unde \(x \in \mathbb{Z}\).
1. Mutăm termenul liber cu semn schimbat:
\[ -3x \ge 13 - 4 \]
\[ -3x \ge 9 \]
2. Împărțim la numărul negativ \(-3\), așadar schimbăm sensul inegalității:
\[ x \le 9 : (-3) \]
\[ x \le -3 \]
Răspuns: Mulțimea soluțiilor este \(S = \{\dots, -5, -4, -3\}\).
Pentru a rezolva matematic o problemă din viața reală, transpunem textul într-un limbaj algebric, creând un model matematic (o ecuație sau inecuație).
Stabilirea necunoscutei: Notăm cu \(x\) (sau altă literă) mărimea pe care trebuie să o aflăm. Exprimăm celelalte date în funcție de \(x\).
Obținerea modelului matematic: Scriem ecuația sau inecuația pe baza relațiilor din enunț.
Rezolvarea: Aplicăm regulile de calcul pentru a afla valoarea lui \(x\).
Interpretarea: Verificăm dacă rezultatul are sens în contextul problemei și respectă mulțimea dată.
- Numere consecutive: se notează cu \(x, x+1, x+2, \dots\)
- Cunoscând suma (\(S\)) și diferența (\(D\)): \( a + b = S \) și \( a - b = D \)
Probleme practice
Ușoară: De opt ori un număr întreg adunat cu 12 este egal cu -20. Aflați numărul.
Notăm numărul cu \(x\).
Modelul matematic: \( 8x + 12 = -20 \)
\( 8x = -20 - 12 \)
\( 8x = -32 \)
\( x = -32 : 8 \implies x = -4 \)
Răspuns: Numărul este -4.
Modelul matematic: \( 8x + 12 = -20 \)
\( 8x = -20 - 12 \)
\( 8x = -32 \)
\( x = -32 : 8 \implies x = -4 \)
Răspuns: Numărul este -4.
Medie: Suma a trei numere întregi consecutive este -12. Care sunt aceste numere?
Fie numerele consecutive: \(x, x+1, x+2\).
Ecuația: \( x + (x + 1) + (x + 2) = -12 \)
\( 3x + 3 = -12 \)
\( 3x = -12 - 3 \)
\( 3x = -15 \implies x = -5 \)
Primul număr este -5. Următoarele sunt \(-5+1 = -4\) și \(-5+2 = -3\).
Răspuns: Numerele sunt -5, -4 și -3.
Ecuația: \( x + (x + 1) + (x + 2) = -12 \)
\( 3x + 3 = -12 \)
\( 3x = -12 - 3 \)
\( 3x = -15 \implies x = -5 \)
Primul număr este -5. Următoarele sunt \(-5+1 = -4\) și \(-5+2 = -3\).
Răspuns: Numerele sunt -5, -4 și -3.
Dificilă: Un elev are un abonament de telefonie cu un cost fix de 30 de lei pe lună și 2 lei pentru fiecare gigabyte (GB) de internet suplimentar consumat. Dacă dorește ca factura lunară să fie de cel mult 50 de lei, care este numărul maxim de GB suplimentari pe care îi poate consuma?
Notăm cu \(x\) numărul de GB suplimentari (\(x \ge 0, x \in \mathbb{Z}\)).
Costul facturii este: \( 30 + 2 \cdot x \).
Condiția problemei impune o inecuație (cel mult înseamnă \(\le\)): \[ 30 + 2x \le 50 \] \[ 2x \le 50 - 30 \] \[ 2x \le 20 \] \[ x \le 10 \]
Răspuns: Elevul poate consuma cel mult 10 GB suplimentari.
Costul facturii este: \( 30 + 2 \cdot x \).
Condiția problemei impune o inecuație (cel mult înseamnă \(\le\)): \[ 30 + 2x \le 50 \] \[ 2x \le 50 - 30 \] \[ 2x \le 20 \] \[ x \le 10 \]
Răspuns: Elevul poate consuma cel mult 10 GB suplimentari.
