Cele mai importante aspecte ale lecției
Rezolvarea problemelor cu ajutorul matematicii presupune traducerea unui text din limbaj curent în limbaj matematic (ecuație sau inecuație), parcurgând 4 pași: alegerea necunoscutei, modelarea matematică (scrierea relației), rezolvarea calculului și verificarea soluției. Cuvinte precum „egale” sau „același” conduc la ecuații (\(=\)), în timp ce expresii ca „mai ieftin”, „mai mult”, „cel puțin” conduc la inecuații (\(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\)).
Pentru a rezolva probleme matematice sau din viața cotidiană folosind ecuații sau inecuații, se urmează un algoritm strict format din 4 pași.
Stabilirea necunoscutei (sau a necunoscutelor) - se alege mărimea care trebuie aflată și se notează, de regulă, cu \( x \).
Obținerea ecuației sau a inecuației - se transpun datele și relațiile din textul problemei în limbaj matematic.
Rezolvarea ecuației sau a inecuației - se efectuează calculele algebrice necesare pentru a determina valoarea sau intervalul de valori pentru \( x \).
Interpretarea și verificarea rezultatelor - se formulează răspunsul final conform contextului problemei și se face proba.
Se folosește atunci când problema descrie o stare de echilibru sau o egalitate între două mărimi.
Problemă: În două lăzi sunt în total 96 kg de mere. Dacă se mută 6 kg din prima ladă în a doua, cantitățile devin egale. Câte kilograme erau la început în prima ladă?
Aplicarea pașilor:
1. Notăm cu \( x \) cantitatea inițială de mere din prima ladă. A doua ladă va avea \( 96 - x \) kg.
2. După mutarea a 6 kg, în prima ladă rămân \( x - 6 \) kg, iar în a doua se fac \( (96 - x) + 6 \) kg. Deoarece devin egale, ecuația este: \[ x - 6 = 96 - x + 6 \] 3. Rezolvare: \( x + x = 96 + 6 + 6 \Rightarrow 2x = 108 \Rightarrow x = 54 \).
4. Verificare: La început prima ladă avea 54 kg, a doua \( 96 - 54 = 42 \) kg. Dacă mutăm 6 kg din prima în a doua obținem \( 54 - 6 = 48 \) și \( 42 + 6 = 48 \). Rezultatul este corect.
Aplicarea pașilor:
1. Notăm cu \( x \) cantitatea inițială de mere din prima ladă. A doua ladă va avea \( 96 - x \) kg.
2. După mutarea a 6 kg, în prima ladă rămân \( x - 6 \) kg, iar în a doua se fac \( (96 - x) + 6 \) kg. Deoarece devin egale, ecuația este: \[ x - 6 = 96 - x + 6 \] 3. Rezolvare: \( x + x = 96 + 6 + 6 \Rightarrow 2x = 108 \Rightarrow x = 54 \).
4. Verificare: La început prima ladă avea 54 kg, a doua \( 96 - 54 = 42 \) kg. Dacă mutăm 6 kg din prima în a doua obținem \( 54 - 6 = 48 \) și \( 42 + 6 = 48 \). Rezultatul este corect.
Se folosește atunci când problema impune o condiție de tipul „mai ieftin”, „mai mare”, „cel puțin” sau „cel mult”, necesitând aflarea unui interval de valori.
Problemă: Aprovizionarea cu marfă din localitatea A costă \( 2500 + 8 \cdot (200 - x) \) lei, unde \( x \) este distanța în kilometri față de localitatea B. Aprovizionarea din localitatea B costă \( 2564 + 8 \cdot x \) lei. Pentru ce distanțe \( x \) este mai ieftină aprovizionarea din B?
Aplicarea pașilor:
Punem condiția ca prețul total din B să fie strict mai mic decât prețul total din A: \[ 2564 + 8 \cdot x < 2500 + 8 \cdot (200 - x) \] Rezolvăm inecuația desfacând parantezele: \[ 2564 + 8x < 2500 + 1600 - 8x \] Mutăm termenii cu \( x \) în stânga și numerele în dreapta: \[ 8x + 8x < 4100 - 2564 \] \[ 16x < 1536 \Rightarrow x < 96 \] Așadar, aprovizionarea din localitatea B este mai ieftină doar dacă distanța \( x \) este strict mai mică de 96 km.
Aplicarea pașilor:
Punem condiția ca prețul total din B să fie strict mai mic decât prețul total din A: \[ 2564 + 8 \cdot x < 2500 + 8 \cdot (200 - x) \] Rezolvăm inecuația desfacând parantezele: \[ 2564 + 8x < 2500 + 1600 - 8x \] Mutăm termenii cu \( x \) în stânga și numerele în dreapta: \[ 8x + 8x < 4100 - 2564 \] \[ 16x < 1536 \Rightarrow x < 96 \] Așadar, aprovizionarea din localitatea B este mai ieftină doar dacă distanța \( x \) este strict mai mică de 96 km.
Probleme de antrenament
Nivel ușor: Dacă la triplul unui număr întreg adunăm 75, se obține 30. Calculați numărul.
Notăm numărul cu \( x \).
Ecuația este: \( 3x + 75 = 30 \)
\( 3x = 30 - 75 \)
\( 3x = -45 \)
\( x = -45 : 3 \Rightarrow x = -15 \)
Răspuns: Numărul este -15.
Ecuația este: \( 3x + 75 = 30 \)
\( 3x = 30 - 75 \)
\( 3x = -45 \)
\( x = -45 : 3 \Rightarrow x = -15 \)
Răspuns: Numărul este -15.
Nivel mediu: Dacă din dublul unui număr scădem \(-24\), se obține \(-30\). Calculați numărul.
Notăm numărul cu \( x \).
Ecuația este: \( 2x - (-24) = -30 \)
\( 2x + 24 = -30 \)
\( 2x = -30 - 24 \)
\( 2x = -54 \)
\( x = -54 : 2 \Rightarrow x = -27 \)
Răspuns: Numărul este -27.
Ecuația este: \( 2x - (-24) = -30 \)
\( 2x + 24 = -30 \)
\( 2x = -30 - 24 \)
\( 2x = -54 \)
\( x = -54 : 2 \Rightarrow x = -27 \)
Răspuns: Numărul este -27.
Nivel dificil: La o serbare școlară s-au vândut 415 bilete, unele la prețul de 4 lei, iar altele la prețul de 6 lei, încasându-se în total 2160 de lei. Calculați câte bilete de 4 lei au fost vândute.
Notăm cu \( x \) numărul biletelor de 4 lei.
Deoarece în total s-au vândut 415 bilete, numărul biletelor de 6 lei este \( 415 - x \).
Suma totală obținută se scrie sub forma ecuației: \[ 4 \cdot x + 6 \cdot (415 - x) = 2160 \] Desfacem paranteza: \[ 4x + 2490 - 6x = 2160 \] Separăm termenii: \[ 4x - 6x = 2160 - 2490 \] \[ -2x = -330 \] \[ x = (-330) : (-2) \Rightarrow x = 165 \]
Răspuns: S-au vândut 165 de bilete la prețul de 4 lei.
Deoarece în total s-au vândut 415 bilete, numărul biletelor de 6 lei este \( 415 - x \).
Suma totală obținută se scrie sub forma ecuației: \[ 4 \cdot x + 6 \cdot (415 - x) = 2160 \] Desfacem paranteza: \[ 4x + 2490 - 6x = 2160 \] Separăm termenii: \[ 4x - 6x = 2160 - 2490 \] \[ -2x = -330 \] \[ x = (-330) : (-2) \Rightarrow x = 165 \]
Răspuns: S-au vândut 165 de bilete la prețul de 4 lei.
