Cele mai importante aspecte ale lecției
- Adiacente: Au vârf comun, 1 latură comună, laturi necomune de o parte și de alta (interioare fără puncte comune).
- Adiacente complementare: Suma lor este \(90^{\circ}\).
- Adiacente suplementare: Suma lor este \(180^{\circ}\) (laturile necomune sunt semidrepte opuse / coliniare).
- În jurul unui punct: Adiacente două câte două, cu suma totală de \(360^{\circ}\).
- Unghiul nul și cel alungit nu pot forma unghiuri adiacente.
Două unghiuri se numesc unghiuri adiacente dacă îndeplinesc simultan trei condiții:
- au vârful comun;
- au o latură comună;
- cele două laturi necomune sunt situate de o parte și de alta a laturii comune.
Condiția ca laturile necomune să fie „de o parte și de alta a laturii comune” înseamnă că cele două unghiuri nu au puncte interioare comune (interioarele lor sunt mulțimi disjuncte).
Unghiurile improprii (unghiul nul de \(0^{\circ}\) și unghiul alungit de \(180^{\circ}\)) nu pot fi adiacente cu niciun alt unghi.
Fie unghiul \(\measuredangle AOB = 60^{\circ}\) și semidreapta \(OC\) situată în interiorul acestuia, astfel încât \(\measuredangle AOC = 20^{\circ}\). Sunt unghiurile \(\measuredangle AOB\) și \(\measuredangle AOC\) adiacente?
Nu sunt adiacente. Deși au vârful comun (\(O\)) și o latură comună (\(OA\)), interioarele lor se suprapun (au puncte interioare comune). Laturile lor necomune (\(OB\) și \(OC\)) se află de aceeași parte a laturii comune \(OA\), încălcând astfel definiția.
Dacă suma măsurilor a două unghiuri adiacente este de \(90^{\circ}\), atunci ele se numesc unghiuri adiacente complementare. Laturile lor necomune formează un unghi drept.
Dacă suma măsurilor a două unghiuri adiacente este de \(180^{\circ}\), atunci ele se numesc unghiuri adiacente suplementare. Laturile lor necomune formează un unghi alungit (sunt semidrepte opuse, formând o linie dreaptă).
Se dau două unghiuri adiacente suplementare. Dacă unul dintre ele are măsura de \(75^{\circ}\), care este măsura celuilalt unghi?
Deoarece sunt suplementare, suma lor este \(180^{\circ}\).
Notăm măsura unghiului necunoscut cu \(x\). \[ x + 75^{\circ} = 180^{\circ} \] \[ x = 180^{\circ} - 75^{\circ} = 105^{\circ} \] Răspuns: \(105^{\circ}\)
Notăm măsura unghiului necunoscut cu \(x\). \[ x + 75^{\circ} = 180^{\circ} \] \[ x = 180^{\circ} - 75^{\circ} = 105^{\circ} \] Răspuns: \(105^{\circ}\)
Mai multe unghiuri care au același vârf, interioarele disjuncte două câte două și care, împreună, acoperă întregul plan, formează unghiuri în jurul unui punct.
Suma măsurilor unghiurilor formate în jurul unui punct este întotdeauna de \(360^{\circ}\).
\[ \measuredangle AOB + \measuredangle BOC + \measuredangle COA = 360^{\circ} \]
Trei unghiuri, \(\measuredangle AOB\), \(\measuredangle BOC\) și \(\measuredangle COA\), sunt adiacente două câte două în jurul punctului \(O\). Știind că \(\measuredangle AOB = 120^{\circ}\) și \(\measuredangle BOC = 150^{\circ}\), aflați măsura unghiului \(\measuredangle COA\).
Suma unghiurilor în jurul unui punct este \(360^{\circ}\).
\[ 120^{\circ} + 150^{\circ} + \measuredangle COA = 360^{\circ} \]
\[ 270^{\circ} + \measuredangle COA = 360^{\circ} \]
\[ \measuredangle COA = 360^{\circ} - 270^{\circ} = 90^{\circ} \]
Probleme de antrenament
Ușoară: Se consideră două unghiuri adiacente complementare. Măsura primului unghi este de \(38^{\circ}\). Calculați măsura celui de-al doilea unghi.
Termenul „complementare” înseamnă că suma măsurilor lor este \(90^{\circ}\).
\[ 90^{\circ} - 38^{\circ} = 52^{\circ} \]
Răspuns: \(52^{\circ}\)
Medie: Se dau unghiurile adiacente \(\measuredangle MOP\) și \(\measuredangle PON\). Precizați dacă punctele \(M, O, N\) sunt coliniare, știind că \(\measuredangle MOP = 37^{\circ}11'\) și \(\measuredangle PON = 142^{\circ}49'\).
Punctele sunt coliniare dacă laturile necomune (\(OM\) și \(ON\)) formează un unghi alungit (de \(180^{\circ}\)). Calculăm suma celor două unghiuri adiacente:
\[ 37^{\circ}11' + 142^{\circ}49' = (37 + 142)^{\circ} + (11 + 49)' = 179^{\circ} + 60' \]
Deoarece \(60' = 1^{\circ}\), avem:
\[ 179^{\circ} + 1^{\circ} = 180^{\circ} \]
Răspuns: Suma fiind \(180^{\circ}\), unghiurile sunt adiacente suplementare, deci punctele \(M, O, N\) sunt coliniare.
Dificilă: Măsura unghiului format de laturile necomune a două unghiuri adiacente este egală cu \(140^{\circ}\). Determinați măsurile celor două unghiuri, știind că măsura unuia dintre ele este o pătrime din măsura celuilalt.
Fie cele două unghiuri \(x\) și \(y\).
Unghiul format de laturile necomune reprezintă suma celor două unghiuri adiacente, deci \(x + y = 140^{\circ}\).
Din datele problemei, \(x = \frac{y}{4}\), ceea ce înseamnă că \(y = 4x\).
Înlocuim în prima relație:
\[ x + 4x = 140^{\circ} \]
\[ 5x = 140^{\circ} \]
\[ x = 140^{\circ} : 5 = 28^{\circ} \]
Calculăm celălalt unghi:
\[ y = 4 \cdot 28^{\circ} = 112^{\circ} \]
Răspuns: Cele două unghiuri au \(28^{\circ}\) și \(112^{\circ}\).
