II.4.1. Testul 1 - Subiectul Al III-lea

Vom rezolva fiecare cerință pas cu pas, aplicând regulile de calcul algebric și metodele specifice pentru sisteme de ecuații.

a) Rezolvați în \( \mathbb{Z} \) ecuația \( \frac{2x+1}{5} + \frac{x-1}{2} = \frac{4x-3}{20} \)

Pasul 1: Eliminarea numitorilor

Identificăm numitorul comun al fracțiilor, care este 20. Înmulțim întreaga ecuație cu 20 pentru a lucra cu numere întregi: \( \cancel{20}^{4} \cdot \frac{2x+1}{\cancel{5}} + \cancel{20}^{10} \cdot \frac{x-1}{\cancel{2}} = \cancel{20}^{1} \cdot \frac{4x-3}{\cancel{20}} \) Obținem: \( 4(2x + 1) + 10(x - 1) = 4x - 3 \)

Pasul 2: Desfacerea parantezelor și reducerea termenilor asemenea

Distribuim factorii în paranteze: \( 8x + 4 + 10x - 10 = 4x - 3 \) Grupăm termenii cu \( x \) și numerele: \( 18x - 6 = 4x - 3 \)

Pasul 3: Izolarea necunoscutei

Trecem termenii cu \( x \) în partea stângă și constantele în partea dreaptă: \( 18x - 4x = -3 + 6 \) \( 14x = 3 \implies x = \frac{3}{14} \)

Pasul 4: Verificarea apartenenței la mulțimea de numere

Deoarece problema cere soluția în mulțimea numerelor întregi (\( \mathbb{Z} \)), iar \( \frac{3}{14} \notin \mathbb{Z} \), rezultă că ecuația nu are soluții întregi. Soluția este \( S = \varnothing \).

b) Rezolvați în \( \mathbb{R} \) sistemul: \( \begin{cases} 3\sqrt{2}x + \sqrt{3}y = 12 \\ 5\sqrt{2}x - 3\sqrt{3}y = -8 \end{cases} \)

Pasul 1: Alegerea metodei

Vom folosi metoda reducerii. Observăm că la \( y \) avem coeficienții \( \sqrt{3} \) și \( -3\sqrt{3} \). Înmulțim prima ecuație cu 3 pentru a egala coeficienții.

Pasul 2: Aplicarea metodei reducerii

Sistemul devine: \( \begin{cases} 9\sqrt{2}x + 3\sqrt{3}y = 36 \\ 5\sqrt{2}x - 3\sqrt{3}y = -8 \end{cases} \) Adunăm ecuațiile membru cu membru: \( (9\sqrt{2}x + 5\sqrt{2}x) + (\cancel{3\sqrt{3}y} - \cancel{3\sqrt{3}y}) = 36 - 8 \) \( 14\sqrt{2}x = 28 \)

Pasul 3: Aflarea necunoscutelor

Împărțim prin \( 14\sqrt{2} \): \( x = \frac{28}{14\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \) Înlocuim \( x = \sqrt{2} \) în prima ecuație: \( 3\sqrt{2}(\sqrt{2}) + \sqrt{3}y = 12 \) \( 3 \cdot 2 + \sqrt{3}y = 12 \implies 6 + \sqrt{3}y = 12 \implies \sqrt{3}y = 6 \) \( y = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \) Soluția este \( S = \{(\sqrt{2}, 2\sqrt{3})\} \).

c) Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \( 4x - 12 = 2\sqrt{5}x - 3\sqrt{20} \)

Pasul 1: Simplificarea radicalilor

Transformăm \( \sqrt{20} \): \( \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} \) Ecuația devine: \( 4x - 12 = 2\sqrt{5}x - 3(2\sqrt{5}) \implies 4x - 12 = 2\sqrt{5}x - 6\sqrt{5} \)

Pasul 2: Gruparea termenilor

Separăm termenii cu \( x \): \( 4x - 2\sqrt{5}x = 12 - 6\sqrt{5} \) Dăm factor comun pe \( 2x \) în stânga și pe 6 în dreapta: \( 2x(2 - \sqrt{5}) = 6(2 - \sqrt{5}) \)

Pasul 3: Finalizarea calculului

Împărțim ambii membri prin \( 2 - \sqrt{5} \) (care este diferit de zero): \( 2x = 6 \implies x = 3 \) Soluția este \( S = \{3\} \).

a) \( 20(\frac{2x+1}{5} + \frac{x-1}{2}) = 20 \cdot \frac{4x-3}{20} \implies 8x+4+10x-10 = 4x-3 \implies 14x=3 \implies x=\frac{3}{14} \notin \mathbb{Z} \implies S = \varnothing \) b) \( \begin{cases} 9\sqrt{2}x + 3\sqrt{3}y = 36 \\ 5\sqrt{2}x - 3\sqrt{3}y = -8 \end{cases} \implies 14\sqrt{2}x = 28 \implies x = \sqrt{2} \); \( 3\sqrt{2}(\sqrt{2}) + \sqrt{3}y = 12 \implies 6 + \sqrt{3}y = 12 \implies y = 2\sqrt{3} \implies S = \{(\sqrt{2}, 2\sqrt{3})\} \) c) \( 4x - 12 = 2\sqrt{5}x - 6\sqrt{5} \implies 2x(2 - \sqrt{5}) = 6(2 - \sqrt{5}) \implies 2x = 6 \implies x = 3 \in \mathbb{R} \implies S = \{3\} \)