I.4. Numere Iraționale, Exemple; Mulțimea Numerelor Reale; Incluziunile N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Pasul 1: Analiza și simplificarea elementelor mulțimii A

• 0: Este un număr natural, deci \( 0 \in \mathbb{N} \).
• \( \frac{1}{5} \): Este o fracție ordinară, deci este un număr rațional, \( \frac{1}{5} \in \mathbb{Q} \).
• \( -\frac{7}{2} \): Este o fracție ordinară negativă, deci este un număr rațional, \( -\frac{7}{2} \in \mathbb{Q} \).
• \( \sqrt{7} \): Deoarece 7 nu este un pătrat perfect, \( \sqrt{7} \) este un număr irațional, \( \sqrt{7} \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \).
• \( \sqrt{49} \): Deoarece \( 49 = 7^2 \), avem \( \sqrt{49} = 7 \). Acesta este un număr natural, \( 7 \in \mathbb{N} \).
• \( \pi \): Este un număr irațional cunoscut, \( \pi \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \).
• \( -\sqrt{144} \): Deoarece \( 144 = 12^2 \), avem \( -\sqrt{144} = -12 \). Acesta este un număr întreg negativ, \( -12 \in \mathbb{Z} \).

Pasul 2: Determinarea elementelor pentru fiecare mulțime cerută

• \( A \cap \mathbb{N} \) (Numerele naturale): Elementele care sunt numere întregi pozitive sau zero. Acestea sunt \( \{0, 7\} \), dar le scriem sub forma inițială: \( \{0, \sqrt{49}\} \).
• \( A \cap \mathbb{Z} \) (Numerele întregi): Include numerele naturale de mai sus plus întregii negativi. Acestea sunt \( \{0, 7, -12\} \). Sub forma inițială: \( \{0, \sqrt{49}, -\sqrt{144}\} \).
• \( A \cap \mathbb{Q} \) (Numerele raționale): Include toate numerele întregi plus fracțiile. Acestea sunt \( \{0, \frac{1}{5}, -\frac{7}{2}, 7, -12\} \). Sub forma inițială: \( \{0, \frac{1}{5}, -\frac{7}{2}, \sqrt{49}, -\sqrt{144}\} \).
• \( A \cap (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}) \) (Numerele iraționale): Elementele care nu pot fi scrise ca fracție. Acestea sunt \( \{\sqrt{7}, \pi\} \).