II.4.1. Testul 2 - Subiectul Al III-lea

Pentru a rezolva cerințele acestui exercițiu, vom parcurge etapele de simplificare a radicalilor, rezolvare a ecuațiilor cu modul și determinarea echivalenței între două ecuații liniare.

a) Rezolvați în \( \mathbb{Q} \): \( x\sqrt{5} + \sqrt{180} = -2x\sqrt{3} - \sqrt{432} \)

Pasul 1: Simplificarea radicalilor

Vom descompune numerele sub radical pentru a scoate factorii de sub aceștia: \( \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5} \) \( \sqrt{432} = \sqrt{144 \cdot 3} = 12\sqrt{3} \) Ecuația devine: \( x\sqrt{5} + 6\sqrt{5} = -2x\sqrt{3} - 12\sqrt{3} \)

Pasul 2: Separarea termenilor

Grupăm termenii care conțin pe \( x \) în stânga și termenii liberi în dreapta, schimbând semnele corespunzător: \( x\sqrt{5} + 2x\sqrt{3} = -12\sqrt{3} - 6\sqrt{5} \)

Pasul 3: Factorizarea și aflarea lui \( x \)

Scoatem factor comun pe \( x \) în stânga și pe \( -6 \) în dreapta: \( x(\sqrt{5} + 2\sqrt{3}) = -6(2\sqrt{3} + \sqrt{5}) \) Deoarece \( \sqrt{5} + 2\sqrt{3} \neq 0 \), putem împărți ambii membri prin această expresie: \( x = \frac{-6(\sqrt{5} + 2\sqrt{3})}{\sqrt{5} + 2\sqrt{3}} = -6 \) Deoarece \( -6 \in \mathbb{Q} \), soluția este \( S = \{-6\} \).

b) Rezolvați în \( \mathbb{R} \): \( |2x - \sqrt{2}| = \sqrt{8} \)

Pasul 1: Simplificarea radicalului și definirea cazurilor

Știm că \( \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \). Ecuația cu modul \( |E| = a \) are două soluții: \( E = a \) sau \( E = -a \). \( 2x - \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \) sau \( 2x - \sqrt{2} = -2\sqrt{2} \)

Pasul 2: Rezolvarea celor două ecuații

Cazul 1: \( 2x = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} \Rightarrow 2x = 3\sqrt{2} \Rightarrow x = \frac{3\sqrt{2}}{2} \) Cazul 2: \( 2x = -2\sqrt{2} + \sqrt{2} \Rightarrow 2x = -\sqrt{2} \Rightarrow x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) Ambele valori sunt numere reale, deci \( S = \{-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2}\} \).

c) Determinați \( m \in \mathbb{R} \), știind că ecuațiile sunt echivalente

Două ecuații sunt echivalente dacă au aceeași mulțime de soluții. Vom afla soluția primei ecuații și o vom introduce în a doua.

Pasul 1: Rezolvarea primei ecuații

\( 3x\sqrt{5} + 2 = \sqrt{45} + 2x \) Știm că \( \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \). \( 3x\sqrt{5} - 2x = 3\sqrt{5} - 2 \) \( x(3\sqrt{5} - 2) = 3\sqrt{5} - 2 \) Împărțim la \( 3\sqrt{5} - 2 \neq 0 \) și obținem \( x = 1 \).

Pasul 2: Aflarea lui \( m \) prin substituție

Deoarece ecuațiile sunt echivalente, \( x = 1 \) trebuie să fie soluție și pentru a doua ecuație: \( (2m + 1) \cdot 1 = 7 - 3 \cdot 1 \) \( 2m + 1 = 4 \) \( 2m = 3 \Rightarrow m = 1,5 \) (sau \( \frac{3}{2} \)).

a)

\( x\sqrt{5} + 6\sqrt{5} = -2x\sqrt{3} - 12\sqrt{3} \Rightarrow x(\sqrt{5} + 2\sqrt{3}) = -6(\sqrt{5} + 2\sqrt{3}) \Rightarrow x = -6 \in \mathbb{Q} \Rightarrow S = \{-6\} \)

b)

\( |2x - \sqrt{2}| = 2\sqrt{2} \Rightarrow 2x - \sqrt{2} = \pm 2\sqrt{2} \) \( x_1 = \frac{3\sqrt{2}}{2} \), \( x_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow S = \{-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2}\} \)

c)

\( x(3\sqrt{5}-2) = 3\sqrt{5}-2 \Rightarrow x = 1 \). Substituim în ec. 2: \( 2m + 1 = 7 - 3 \Rightarrow 2m = 3 \Rightarrow m = 1,5 \).