Cele mai importante aspecte ale lecției
- Regula de aur: Număr negativ \( < 0 < \) Număr pozitiv.
- Compararea cu radicali: Pentru numere pozitive, introduceți toți factorii sub radical (\( a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b} \)). Numărul de sub radical mai mare indică numărul real mai mare (\( \sqrt{x} < \sqrt{y} \iff x < y \)).
- Capcana numerelor negative: Numărul negativ cu valoarea absolută (modulul) mai mare este, de fapt, mai mic pe axa numerelor. (ex. \( -\sqrt{20} < -\sqrt{16} \)).
- Tranzitivitatea: Ne permite să deducem ordinea dintr-un lanț de relații (dacă \( x < y \) și \( y < z \), atunci direct \( x < z \)).
A compara două numere reale \( a \) și \( b \) înseamnă a stabili care dintre relațiile \( a < b \), \( a = b \) sau \( a > b \) este adevărată. Întotdeauna are loc una și numai una dintre aceste relații.
Orice număr real negativ este mai mic decât 0 și mai mic decât orice număr real pozitiv.
Dacă \( m, n \) și \( p \) sunt numere naturale nenule, atunci \( \frac{m}{n} < \frac{p}{n} \) dacă și numai dacă \( m < p \). (Fracția cu numărătorul mai mare este mai mare, la numitori egali).
Dacă numerele pozitive sunt scrise sub formă de fracție zecimală, se compară mai întâi părțile întregi. Dacă acestea sunt egale, se compară părțile zecimale, cifră cu cifră, de la stânga la dreapta.
Comparăm \( \sqrt{7} \) cu \( 2,645 \):
Știm că \( \sqrt{7} = 2,645751... \)
Comparând \( 2,6457... \) cu \( 2,6450 \), observăm că prima diferență apare la a patra zecimală (\( 7 > 0 \)), deci \( \sqrt{7} > 2,645 \).
Știm că \( \sqrt{7} = 2,645751... \)
Comparând \( 2,6457... \) cu \( 2,6450 \), observăm că prima diferență apare la a patra zecimală (\( 7 > 0 \)), deci \( \sqrt{7} > 2,645 \).
Dintre două numere negative, mai mic este acela care are modulul (valoarea absolută) mai mare.
Pentru \( a < 0 \) și \( b < 0 \):
\[ a < b \iff |a| > |b| \]
Comparați numerele \( -4,2 \) și \( -4,15 \).
Calculăm modulele: \( |-4,20| = 4,20 \) și \( |-4,15| = 4,15 \).
Deoarece \( 4,20 > 4,15 \), rezultă că numărul negativ cu modulul mai mare este mai mic.
Răspuns: \( -4,2 < -4,15 \).
Deoarece \( 4,20 > 4,15 \), rezultă că numărul negativ cu modulul mai mare este mai mic.
Răspuns: \( -4,2 < -4,15 \).
Dacă \( a \) și \( b \) sunt numere reale pozitive (\( a \geq 0 \) și \( b \geq 0 \)), inegalitatea se păstrează prin extragerea sau ridicarea la pătrat:
\[ a \leq b \iff \sqrt{a} \leq \sqrt{b} \]
Pentru a compara numere de forma \( a\sqrt{b} \), este recomandat să introducem factorii sub radical, folosind regula \( a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b} \) (pentru \( a > 0 \)), și apoi să comparăm numerele de sub radicali.
Comparăm \( 5\sqrt{6} \) și \( 6\sqrt{5} \):
Introducem sub radical: \( 5\sqrt{6} = \sqrt{5^2 \cdot 6} = \sqrt{25 \cdot 6} = \sqrt{150} \)
Introducem sub radical: \( 6\sqrt{5} = \sqrt{6^2 \cdot 5} = \sqrt{36 \cdot 5} = \sqrt{180} \)
Deoarece \( 150 < 180 \), rezultă că \( \sqrt{150} < \sqrt{180} \), deci \( 5\sqrt{6} < 6\sqrt{5} \).
Introducem sub radical: \( 5\sqrt{6} = \sqrt{5^2 \cdot 6} = \sqrt{25 \cdot 6} = \sqrt{150} \)
Introducem sub radical: \( 6\sqrt{5} = \sqrt{6^2 \cdot 5} = \sqrt{36 \cdot 5} = \sqrt{180} \)
Deoarece \( 150 < 180 \), rezultă că \( \sqrt{150} < \sqrt{180} \), deci \( 5\sqrt{6} < 6\sqrt{5} \).
Relația „\( \leq \)” (mai mic sau egal) pe mulțimea numerelor reale are următoarele proprietăți (valabile și pentru „\( \geq \)”):
- Reflexivitatea: Orice număr este mai mic sau egal cu el însuși: \( a \leq a \).
- Antisimetria: Dacă \( a \leq b \) și \( b \leq a \), atunci \( a = b \).
- Tranzitivitatea: Dacă \( a \leq b \) și \( b \leq c \), atunci \( a \leq c \).
Relațiile stricte „\( < \)” și „\( > \)” au, de asemenea, proprietatea de tranzitivitate (ex: dacă \( a < b \) și \( b < c \), atunci \( a < c \)).
Probleme de antrenament
Nivel ușor: Comparați numerele reale \( 4 \) și \( \sqrt{15} \).
Scriem numărul întreg sub formă de radical: \( 4 = \sqrt{4^2} = \sqrt{16} \).
Acum comparăm \( \sqrt{16} \) cu \( \sqrt{15} \).
Deoarece \( 16 > 15 \), rezultă că \( \sqrt{16} > \sqrt{15} \).
Răspuns: \( 4 > \sqrt{15} \).
Acum comparăm \( \sqrt{16} \) cu \( \sqrt{15} \).
Deoarece \( 16 > 15 \), rezultă că \( \sqrt{16} > \sqrt{15} \).
Răspuns: \( 4 > \sqrt{15} \).
Nivel mediu: Fără a folosi calculatorul, stabiliți care număr este mai mic: \( -\frac{17}{2} \) sau \( -\sqrt{84} \).
Fiind numere negative, le comparăm modulele ridicându-le la pătrat:
\( \left| -\frac{17}{2} \right|^2 = \left( \frac{17}{2} \right)^2 = \frac{289}{4} = 72,25 \)
\( \left| -\sqrt{84} \right|^2 = (\sqrt{84})^2 = 84 \)
Deoarece \( 72,25 < 84 \), deducem că modulul primului număr este mai mic decât modulul celui de-al doilea: \( \left| -\frac{17}{2} \right| < \left| -\sqrt{84} \right| \).
Dintre două numere negative, cel cu modulul mai mare este mai mic.
Răspuns: \( -\sqrt{84} < -\frac{17}{2} \).
\( \left| -\frac{17}{2} \right|^2 = \left( \frac{17}{2} \right)^2 = \frac{289}{4} = 72,25 \)
\( \left| -\sqrt{84} \right|^2 = (\sqrt{84})^2 = 84 \)
Deoarece \( 72,25 < 84 \), deducem că modulul primului număr este mai mic decât modulul celui de-al doilea: \( \left| -\frac{17}{2} \right| < \left| -\sqrt{84} \right| \).
Dintre două numere negative, cel cu modulul mai mare este mai mic.
Răspuns: \( -\sqrt{84} < -\frac{17}{2} \).
Nivel dificil: Ordonează crescător următoarele numere reale: \( a = 2\sqrt{7} \), \( b = 3\sqrt{3} \), \( c = -4 \) și \( d = -2\sqrt{5} \).
Separăm numerele negative (\( c, d \)) de cele pozitive (\( a, b \)). Știm clar că numerele negative sunt mai mici decât cele pozitive.
Pasul 1: Comparăm numerele negative \( c \) și \( d \)
Introducem sub radical pentru a afla modulele:
\( c = -4 = -\sqrt{16} \)
\( d = -2\sqrt{5} = -\sqrt{2^2 \cdot 5} = -\sqrt{4 \cdot 5} = -\sqrt{20} \)
Deoarece \( \sqrt{20} > \sqrt{16} \) (modulul lui \( d \) e mai mare), rezultă că \( d < c \). Deci: \( -2\sqrt{5} < -4 \).
Pasul 2: Comparăm numerele pozitive \( a \) și \( b \)
\( a = 2\sqrt{7} = \sqrt{2^2 \cdot 7} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{28} \)
\( b = 3\sqrt{3} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27} \)
Deoarece \( 27 < 28 \), rezultă \( \sqrt{27} < \sqrt{28} \), deci \( b < a \).
Pasul 3: Reuniunea rezultatelor
Ordinea crescătoare este: negativul cel mai mic, celălalt negativ, pozitivul cel mai mic, pozitivul cel mai mare.
Răspuns: \( d < c < b < a \) (adică \( -2\sqrt{5} < -4 < 3\sqrt{3} < 2\sqrt{7} \)).
Pasul 1: Comparăm numerele negative \( c \) și \( d \)
Introducem sub radical pentru a afla modulele:
\( c = -4 = -\sqrt{16} \)
\( d = -2\sqrt{5} = -\sqrt{2^2 \cdot 5} = -\sqrt{4 \cdot 5} = -\sqrt{20} \)
Deoarece \( \sqrt{20} > \sqrt{16} \) (modulul lui \( d \) e mai mare), rezultă că \( d < c \). Deci: \( -2\sqrt{5} < -4 \).
Pasul 2: Comparăm numerele pozitive \( a \) și \( b \)
\( a = 2\sqrt{7} = \sqrt{2^2 \cdot 7} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{28} \)
\( b = 3\sqrt{3} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27} \)
Deoarece \( 27 < 28 \), rezultă \( \sqrt{27} < \sqrt{28} \), deci \( b < a \).
Pasul 3: Reuniunea rezultatelor
Ordinea crescătoare este: negativul cel mai mic, celălalt negativ, pozitivul cel mai mic, pozitivul cel mai mare.
Răspuns: \( d < c < b < a \) (adică \( -2\sqrt{5} < -4 < 3\sqrt{3} < 2\sqrt{7} \)).
