Lecția V.9 conține următoarele grupuri de exerciții:
Alege rezolvarea exercițiului:
Exercițiul 1 (gratuit)
Rezolvare scurtă
Fie paralelipipedul dreptunghic \( ABCD A'B'C'D' \), unde planul podelei este \( (ABCD) \), iar suprafața superioară este planul \( (A'B'C'D') \).
Din proprietățile paralelipipedului dreptunghic avem:
\( A'B' \parallel AB \)
\( B'C' \parallel BC \)
Deoarece \( AB \subset (ABCD) \) și \( A'B' \parallel AB \Rightarrow A'B' \parallel (ABCD) \)
Deoarece \( BC \subset (ABCD) \) și \( B'C' \parallel BC \Rightarrow B'C' \parallel (ABCD) \)
În planul \( (A'B'C'D') \) avem:
\( A'B', B'C' \subset (A'B'C'D') \)
\( A'B' \cap B'C' = \{B'\} \)
Cum două drepte concurente din planul \( (A'B'C'D') \) sunt paralele cu planul \( (ABCD) \):
\( \Rightarrow (A'B'C'D') \parallel (ABCD) \)
Rezolvare detaliată
Modelarea matematică a noptierei
Pentru a demonstra geometric proprietatea noptierei, vom modela noptiera ca un paralelipiped dreptunghic \( ABCD A'B'C'D' \). Podeaua pe care este așezată noptiera corespunde planului bazei inferioare, pe care îl vom nota cu \( (ABCD) \). Suprafața superioară a noptierei corespunde feței superioare, definită de planul \( (A'B'C'D') \).Utilizarea proprietăților paralelipipedului dreptunghic
Într-un paralelipiped dreptunghic \( ABCD A'B'C'D' \), fețele opuse sunt dreptunghiuri congruente și paralele, iar muchiile laterale sunt perpendiculare pe baze. Laturile feței superioare sunt paralele cu laturile corespunzătoare ale feței inferioare: \[ A'B' \parallel AB \] \[ B'C' \parallel BC \] Deoarece segmentul \( AB \) este conținut în planul podelei \( (ABCD) \), iar \( A'B' \) este paralel cu \( AB \), rezultă că dreapta \( A'B' \) este paralelă cu planul bazei: \[ A'B' \parallel (ABCD) \] La fel, deoarece segmentul \( BC \) este conținut în planul podelei \( (ABCD) \), iar \( B'C' \) este paralel cu \( BC \), rezultă că dreapta \( B'C' \) este paralelă cu planul bazei: \[ B'C' \parallel (ABCD) \]Aplicarea teoremei de paralelism a două plane
Teorema fundamentală pentru paralelismul a două plane afirmă că: dacă un plan conține două drepte concurente care sunt paralele cu un alt plan, atunci cele două plane sunt paralele. În cazul nostru, în planul suprafeței superioare \( (A'B'C'D') \) avem: 1. Dreapta \( A'B' \parallel (ABCD) \) 2. Dreapta \( B'C' \parallel (ABCD) \) 3. Dreptele \( A'B' \) și \( B'C' \) sunt concurente în punctul \( B' \) (\( A'B' \cap B'C' = \{B'\} \)) Deoarece ambele drepte concurente din planul superior sunt paralele cu planul podelei, rezultă că cele două plane sunt paralele: \[ (A'B'C'D') \parallel (ABCD) \] Prin urmare, suprafața superioară a noptierei este paralelă cu planul podelei, ceea ce înseamnă că este orizontală.Rezolvare scurtă:
Fie noptiera \( ABCD A'B'C'D' \).
Podeaua: \( (ABCD) \); Suprafața superioară: \( (A'B'C'D') \).
\( A'B' \parallel AB \subset (ABCD) \Rightarrow A'B' \parallel (ABCD) \)
\( B'C' \parallel BC \subset (ABCD) \Rightarrow B'C' \parallel (ABCD) \)
Cum \( A'B', B'C' \subset (A'B'C'D') \), \( A'B' \cap B'C' = \{B'\} \) și ambele sunt paralele cu \( (ABCD) \):
\( \Rightarrow (A'B'C'D') \parallel (ABCD) \)
