V.9. Testul 2

Pasul 1: Construirea reprezentării geometrice a problemei

Pentru a vizualiza relația dintre cele două plane, analizăm un tetraedru oarecare \( ABCD \). Identificăm elementele date în ipoteză:

• \( M \) este mijlocul muchiei \( BC \).
• \( N \) este mijlocul muchiei \( AD \).

Cele două plane a căror poziție trebuie determinată sunt \( (AMD) \) și \( (BNC) \).
Se desenează un tetraedru ABCD în perspectivă 3D, cu vârful A în partea de jos-stânga, vârful B în partea de jos-dreapta, iar vârful C poziționat în spatele și ușor spre dreapta față de A și B, formând baza triunghiulară ABC situată în planul inferior. Vârful D este poziționat deasupra centrului bazei. Muchiile AB, BC, AD, BD, CD se trasează cu linii solide, iar muchia AC, fiind o muchie din spate a bazei, se trasează cu o linie întreruptă (punctată). Punctele A, B, C și D sunt etichetate clar. Se marchează punctul M ca fiind mijlocul exact al segmentului BC, situat pe baza tetraedrului. Se marchează punctul N ca fiind mijlocul exact al segmentului AD, care este o muchie laterală. Punctele M și N sunt etichetate corespunzător. Se trasează segmentul AM cu linie solidă și segmentul DM cu linie solidă, pentru a evidenția planul (AMD). De asemenea, se trasează segmentul BN cu linie solidă și segmentul CN cu linie solidă, pentru a evidenția planul (BNC). În cele din urmă, se trasează segmentul MN cu o linie solidă, indicând linia de intersecție a planelor (AMD) și (BNC).

Pasul 2: Determinarea punctelor comune celor două plane

Pentru a determina poziția reciprocă a celor două plane, căutăm punctele lor comune. Două plane în spațiu pot fi paralele (nu au niciun punct comun), confundate (coincid) sau secante (se intersectează după o dreaptă). Să analizăm apartenența punctelor remarcabile din figură la cele două plane:

• Punctul \( M \): Prin definiție, planul \( (AMD) \) conține punctul \( M \). Pe de altă parte, deoarece \( M \) este mijlocul muchiei \( BC \), punctul \( M \) aparține segmentului \( BC \). Cum segmentul \( BC \) este inclus în planul \( (BNC) \) (deoarece punctele \( B \) și \( C \) se află în acest plan), rezultă că și punctul \( M \) aparține planului \( (BNC) \). Astfel, \( M \in (AMD) \cap (BNC) \).
• Punctul \( N \): Prin definiție, planul \( (BNC) \) conține punctul \( N \). De asemenea, deoarece \( N \) este mijlocul muchiei \( AD \), punctul \( N \) aparține segmentului \( AD \). Cum segmentul \( AD \) este inclus în planul \( (AMD) \), rezultă că și punctul \( N \) aparține planului \( (AMD) \). Astfel, \( N \in (AMD) \cap (BNC) \).

Pasul 3: Concluzia privind poziția relativă a planelor

Deoarece punctele distincte \( M \) și \( N \) aparțin simultan ambelor plane, înseamnă că cele două plane au puncte comune. Conform axiomelor geometriei în spațiu, dacă două plane distincte au două puncte comune distincte, atunci intersecția lor este o dreaptă unică ce trece prin cele două puncte. Prin urmare, planele \( (AMD) \) și \( (BNC) \) sunt secante, iar dreapta lor de intersecție este dreapta \( MN \). Scriem relația de intersecție sub formă matematică: \[ (AMD) \cap (BNC) = MN \]

\( M \) mijlocul \( BC \implies M \in BC \subset (BNC) \implies M \in (AMD) \cap (BNC) \) \( N \) mijlocul \( AD \implies N \in AD \subset (AMD) \implies N \in (AMD) \cap (BNC) \) \( \implies (AMD) \cap (BNC) = MN \implies \) planele sunt secante.