Pasul 1: Identificarea elementelor trunchiului de con
Din datele problemei, avem un trunchi de con circular drept cu următoarele dimensiuni:
- Înălțimea \( h = 3 \text{ dm} \)
- Diametrul bazei mari \( D_B = 10 \text{ dm} \), de unde rezultă raza bazei mari \( R = \frac{D_B}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ dm} \)
- Diametrul bazei mici \( d_b = 2 \text{ dm} \), de unde rezultă raza bazei mici \( r = \frac{d_b}{2} = \frac{2}{2} = 1 \text{ dm} \)
a) Încap 90 litri de apă în acest vas?
Pasul 2: Calcularea volumului trunchiului de con
Formula pentru volumul unui trunchi de con circular drept este:
\[ \mathcal{V} = \frac{\pi h}{3} (R^2 + r^2 + R \cdot r) \]
Înlocuim datele cunoscute în formulă:
\[ \mathcal{V} = \frac{\pi \cdot 3}{3} (5^2 + 1^2 + 5 \cdot 1) \]
Simplificăm fracția:
\[ \mathcal{V} = \frac{\pi \cdot \cancel{3}^1}{\cancel{3}_1} (25 + 1 + 5) \]
\[ \mathcal{V} = \pi \cdot 31 = 31\pi \text{ dm}^3 \]
Pasul 3: Evaluarea volumului în litri
Știm că \( 1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ litru} \). Prin urmare:
\[ \mathcal{V} = 31\pi \text{ litri} \]
Folosind aproximarea pentru \( \pi \approx 3,14 \), calculăm valoarea aproximativă a volumului:
\[ \mathcal{V} \approx 31 \cdot 3,14 = 97,34 \text{ litri} \]
Deoarece \( 97,34 \text{ litri} > 90 \text{ litri} \), rezultă că în vas încap \( 90 \text{ litri} \) de apă.
b) Ce suprafață are tabla folosită pentru partea laterală a vasului?
Pasul 4: Calcularea generatoarei trunchiului de con
Pentru a determina aria laterală, avem nevoie de generatoarea \( G \) a trunchiului de con. Folosim relația metrică:
\[ G^2 = h^2 + (R - r)^2 \]
Înlocuim valorile:
\[ G^2 = 3^2 + (5 - 1)^2 \]
\[ G^2 = 9 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \]
\[ G = \sqrt{25} = 5 \text{ dm} \]
Pasul 5: Calcularea ariei laterale
Formula pentru aria laterală a unui trunchi de con este:
\[ \mathcal{A}_{lat} = \pi G (R + r) \]
Înlocuim valorile obținute:
\[ \mathcal{A}_{lat} = \pi \cdot 5 \cdot (5 + 1) \]
\[ \mathcal{A}_{lat} = \pi \cdot 5 \cdot 6 = 30\pi \text{ dm}^2 \]
Dacă aproximăm cu \( \pi \approx 3,14 \):
\[ \mathcal{A}_{lat} \approx 30 \cdot 3,14 = 94,2 \text{ dm}^2 \]
