Rezolvare scurtă
a) \( (6x^3y^4) : (3xy^3) = \frac{6}{3} \cdot x^{3-1} \cdot y^{4-3} = 2x^2y \)
b) \( (-\sqrt{2}a^5bc)^3 = (-1)^3 \cdot (\sqrt{2})^3 \cdot (a^5)^3 \cdot b^3 \cdot c^3 = \)
\( = -2\sqrt{2}a^{15}b^3c^3 \)
c) \( -ax^2(5a^2 + 2x - 1) = -ax^2 \cdot 5a^2 - ax^2 \cdot 2x + ax^2 \cdot 1 = \)
\( = -5a^3x^2 - 2ax^3 + ax^2 \)
d) \( (3x^2 - 1)(3x^4 - x^2 + 5) = 3x^2 \cdot 3x^4 - 3x^2 \cdot x^2 + 3x^2 \cdot 5 - 1 \cdot 3x^4 + 1 \cdot x^2 - 1 \cdot 5 = \)
\( = 9x^6 - 3x^4 + 15x^2 - 3x^4 + x^2 - 5 = \)
\( = 9x^6 - 6x^4 + 16x^2 - 5 \)
Rezolvare detaliată
Pentru a rezolva aceste exerciții cu expresii algebrice, vom utiliza regulile de calcul cu puteri, proprietatea de distributivitate și regulile semnelor.
a) \( (6x^3y^4) : (3xy^3) \)
Pasul 1: Împărțirea coeficienților și a variabilelor
Vom împărți coeficienții numerici între ei și variabilele identice între ele, folosind regula \( a^m : a^n = a^{m-n} \):
\( \frac{6}{3} \cdot \frac{x^3}{x^1} \cdot \frac{y^4}{y^3} \)
Pasul 2: Calculul rezultatului
Efectuăm operațiile:
\( 2 \cdot x^{3-1} \cdot y^{4-3} = 2x^2y \)
b) \( (-\sqrt{2}a^5bc)^3 \)
Pasul 1: Ridicarea fiecărui factor la putere
Folosim regula \( (x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n \). Deoarece exponentul este impar (3), semnul minus se păstrează:
\( (-1)^3 \cdot (\sqrt{2})^3 \cdot (a^5)^3 \cdot b^3 \cdot c^3 \)
Pasul 2: Calculul puterilor
Calculăm \( (\sqrt{2})^3 = \sqrt{2^3} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \) și pentru litere înmulțim exponenții \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \):
\( -2\sqrt{2}a^{15}b^3c^3 \)
c) \( -ax^2(5a^2 + 2x - 1) \)
Pasul 1: Aplicarea distributivității
Înmulțim monomul \( -ax^2 \) cu fiecare termen din paranteză:
\( (-ax^2) \cdot 5a^2 + (-ax^2) \cdot 2x - (-ax^2) \cdot 1 \)
Pasul 2: Efectuarea înmulțirilor
Grupăm termenii și adunăm exponenții variabilelor identice:
\( -5a^{1+2}x^2 - 2ax^{2+1} + ax^2 = -5a^3x^2 - 2ax^3 + ax^2 \)
d) \( (3x^2 - 1)(3x^4 - x^2 + 5) \)
Pasul 1: Înmulțirea polinoamelor
Înmulțim fiecare termen din prima paranteză cu fiecare termen din a doua paranteză:
\( 3x^2(3x^4 - x^2 + 5) - 1(3x^4 - x^2 + 5) \)
\( = 3x^2 \cdot 3x^4 + 3x^2 \cdot (-x^2) + 3x^2 \cdot 5 - 1 \cdot 3x^4 - 1 \cdot (-x^2) - 1 \cdot 5 \)
Pasul 2: Calculul produselor
\( 9x^6 - 3x^4 + 15x^2 - 3x^4 + x^2 - 5 \)
Pasul 3: Reducerea termenilor asemenea
Grupăm termenii care au aceeași putere a lui \( x \):
\( 9x^6 + (-3x^4 - 3x^4) + (15x^2 + x^2) - 5 = 9x^6 - 6x^4 + 16x^2 - 5 \)
Rezolvare scurtă:
a) \( (6x^3y^4) : (3xy^3) = 2x^2y \)
b) \( (-\sqrt{2}a^5bc)^3 = -2\sqrt{2}a^{15}b^3c^3 \)
c) \( -ax^2(5a^2 + 2x - 1) = -5a^3x^2 - 2ax^3 + ax^2 \)
d) \( (3x^2 - 1)(3x^4 - x^2 + 5) = 9x^6 - 3x^4 + 15x^2 - 3x^4 + x^2 - 5 = 9x^6 - 6x^4 + 16x^2 - 5 \)
