V.1.4. Activități De Învățare Și De Autoevaluare

Pasul 1: Relația dintre masă, volum și densitate

Cunoaștem definiția densității: \[ \rho = \frac{m}{V} \implies V = \frac{m}{\rho} \] Densitatea aurului pur (\( \rho_{aur} \)) este mai mare decât densitatea argintului (\( \rho_{argint} \)): \[ \rho_{aur} > \rho_{argint} \] Pentru două corpuri având aceeași masă \( m \), cel cu densitate mai mică va ocupa un volum mai mare.

Pasul 2: Compararea volumelor

Dacă o masă \( m \) de aur pur a fost înlocuită parțial cu argint, coroana are aceeași masă totală \( m \), dar densitatea medie este mai mică decât a aurului pur: \[ \rho_{coroana} < \rho_{aur} \] Prin urmare, volumul coroanei falsificate este mai mare decât volumul unui lingou de aur pur cu aceeași masă: \[ V_{coroana} > V_{aur} \]

Pasul 3: Aplicarea Legii lui Arhimede și a volumului de lichid dezlocuit

La scufundarea completă a unui corp într-un vas plin cu apă, volumul de apă dezlocuit (care se revarsă) este egal cu volumul corpului scufundat: \[ V_{apa} = V_{corp} \] Arhimede a scufundat pe rând într-un vas plin cu apă: 1. Un lingou de aur pur cu masa egală cu a coroanei; 2. Coroana primită de la aurar.

Pasul 4: Concluzia raționamentului

Deoarece coroana conținea argint (\( \rho_{argint} < \rho_{aur} \)), volumul ei era mai mare decât volumul lingoului de aur de masă egală (\( V_{coroana} > V_{aur} \)). Astfel, coroana a dezlocuit o cantitate mai mare de apă decât lingoul de aur pur, dovedind înșelăciunea meșterului aurar.

\( \rho = \frac{m}{V} \implies V = \frac{m}{\rho} \) \( \rho_{argint} < \rho_{aur} \implies V_{coroana} > V_{aur} \) \( V_{dezlocuit} = V_{corp} \implies V_{apa (coroana)} > V_{apa (aur)} \)