Cele mai importante aspecte ale lecției
- Regulă cheie: Când comparăm fracții cu același numitor, ne uităm doar la numărător. Fracția cu numărătorul mai mare este mai mare: \( \frac{5}{8} > \frac{3}{8} \).
- Condiție esențială: Întregii din care provin fracțiile trebuie să fie identici pentru ca rezultatul comparării să aibă sens.
- Pe axa numerelor: Fracțiile sunt așezate în ordine crescătoare de la stânga la dreapta (de la 0 spre 1).
Dintre două fracții care au numitorii egali, este mai mică fracția care are numărătorul mai mic (sau este mai mare fracția cu numărătorul mai mare).
\[ \text{Dacă } a < b, \text{ atunci } \frac{a}{c} < \frac{b}{c} \quad (\text{unde } c \neq 0) \]
Fracția \( \frac{1}{3} < \frac{2}{3} \), deoarece numitorii sunt egali (\(3\)), iar la numărători avem \(1 < 2\).
Pentru ca două fracții să poată fi comparate, ele trebuie să reprezinte părți ale aceluiași întreg sau părți din întregi identici.
Fracțiile cu același numitor pot fi comparate ușor prin poziționarea lor pe o axă a numerelor. Împărțim unitatea (de la 0 la 1) în atâtea segmente egale cât indică numitorul fracțiilor.
Pe axa numerelor, cu cât punctul corespunzător unei fracții este mai aproape de punctul de pornire (0), cu atât fracția este mai mică. Cu cât este mai la dreapta, cu atât fracția este mai mare.
Dacă reprezentăm o cursă de canotaj pe o axă împărțită în 6 părți egale, bornele traseului vor corespunde fracțiilor: \(\frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6}, \frac{4}{6}, \frac{5}{6}, \frac{6}{6}\).
Observând axa, putem scrie următoarele relații de ordine:
- \( \frac{2}{6} < \frac{4}{6} \)
- \( \frac{2}{6} < \frac{5}{6} \)
- \( \frac{6}{6} > \frac{5}{6} \)
Probleme practice
Problema 1 (Ușoară): Comparați următoarele perechi de fracții, scriind semnul de relație potrivit (\(<\), \(>\) sau \(=\)):
a) \( \frac{4}{9} \) \(\square\) \( \frac{7}{9} \)
b) \( \frac{5}{5} \) \(\square\) \( \frac{3}{5} \)
a) \( \frac{4}{9} \) \(\square\) \( \frac{7}{9} \)
b) \( \frac{5}{5} \) \(\square\) \( \frac{3}{5} \)
a) Numitorii sunt egali (\(9\)). Comparăm numărătorii: \(4 < 7\). Deci:
\[ \frac{4}{9} < \frac{7}{9} \]
b) Numitorii sunt egali (\(5\)). Comparăm numărătorii: \(5 > 3\). Deci:
\[ \frac{5}{5} > \frac{3}{5} \]
Problema 2 (Medie): Pe un lac sunt 7 bărci în total. Dintre acestea, 4 bărci au pânze roșii, iar restul de 3 bărci au pânze albe.
a) Scrieți sub formă de fracție numărul de bărci cu pânze roșii din total.
b) Scrieți sub formă de fracție numărul de bărci cu pânze albe din total.
c) Comparați cele două fracții obținute.
a) Scrieți sub formă de fracție numărul de bărci cu pânze roșii din total.
b) Scrieți sub formă de fracție numărul de bărci cu pânze albe din total.
c) Comparați cele două fracții obținute.
a) Fracția bărcilor cu pânze roșii este \( \frac{4}{7} \).
b) Fracția bărcilor cu pânze albe este \( \frac{3}{7} \).
c) Deoarece ambele fracții au numitorul 7, comparăm numărătorii: \(4 > 3\). Prin urmare: \[ \frac{4}{7} > \frac{3}{7} \] Bărcile cu pânze roșii reprezintă o parte mai mare din total decât cele cu pânze albe.
b) Fracția bărcilor cu pânze albe este \( \frac{3}{7} \).
c) Deoarece ambele fracții au numitorul 7, comparăm numărătorii: \(4 > 3\). Prin urmare: \[ \frac{4}{7} > \frac{3}{7} \] Bărcile cu pânze roșii reprezintă o parte mai mare din total decât cele cu pânze albe.
Problema 3 (Dificilă): Ordonează crescător (de la cea mai mică la cea mai mare) următoarele fracții:
\[ \frac{5}{10}, \frac{1}{10}, \frac{9}{10}, \frac{4}{10}, \frac{10}{10} \]
Toate fracțiile au același numitor (\(10\)). Pentru a le ordona crescător, trebuie să ordonăm crescător numărătorii acestora:
\[ 1 < 4 < 5 < 9 < 10 \]
Scriem fracțiile în ordinea corespunzătoare:
\[ \frac{1}{10} < \frac{4}{10} < \frac{5}{10} < \frac{9}{10} < \frac{10}{10} \]
