Cele mai importante aspecte ale lecției
Sinteză recapitulativă:
- Scrierea și aproximarea: Numerele se împart în clase (unități, mii) de câte 3 ordine. Rotunjirea aproximă numărul prin lipsă sau adaos la cel mai apropiat ordin.
- Proprietăți și reguli: Adunarea și înmulțirea sunt comutative și asociative. Înmulțirea este distributivă față de adunare/scădere. În exerciții complexe se respectă cu strictețe ordinea operațiilor.
- Împărțirea cu rest: Întotdeauna avem \( D = Î \times C + R \) cu \( R < Î \). Dacă restul este \( 0 \), împărțitorul este divizor, iar deîmpărțitul este multiplu.
- Geometrie: Figurile geometrice au proprietăți legate de laturi și unghiuri (perpendiculare, paralele). Perimetrul măsoară conturul (\( P_{\text{pătrat}} = 4l \)), iar aria măsoară suprafața (\( A_{\text{pătrat}} = l^2 \)).
- Fracții și Procente: Fracția indică raportul dintr-un întreg. Procentele (\( \% \)) sunt fracții cu numitorul 100 (\( 50\% = \frac{1}{2} = 0,5 \)).
- Metode matematice: Metoda grafică (reprezentarea prin segmente), metoda comparației (eliminarea prin diferență) și metoda mersului invers (utilizarea operațiilor inverse) sunt instrumente puternice în rezolvarea problemelor.
Numerele Naturale Cuprinse Între 0 Și 1 000 000
Sistemul de numerație utilizat este zecimal (10 unități de un ordin formează o unitate de ordin superior) și pozițional (valoarea unei cifre depinde de locul ocupat în scrierea numărului).
Pentru scrierea și citirea numerelor, cifrele se grupează în clase (clasa unităților, clasa miilor, clasa milioanelor). Fiecare clasă are trei ordine: unități, zeci și sute.
| Clasa miilor | Clasa unităților | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| Sute de mii (6) | Zeci de mii (5) | Unități de mii (4) | Sute (3) | Zeci (2) | Unități (1) |
| 3 | 8 | 4 | 2 | 5 | 1 |
Orice număr natural poate fi scris ca o sumă a unităților fiecărui ordin care îl compune.
Descompunerea numărului \( 384\ 251 \):
\[ 384\ 251 = 300\ 000 + 80\ 000 + 4\ 000 + 200 + 50 + 1 \]
Număr diferit de cifre: Este mai mare numărul care are mai multe cifre. (Ex: \( 127\ 000 > 64\ 500 \))
Același număr de cifre: Se compară valorile cifrelor începând de la ordinul cel mai mare (de la stânga la dreapta), până se găsesc două cifre diferite. (Ex: \( 297\ 251 > 275\ 237 \) deoarece la ordinul zecilor de mii \( 9 > 7 \))
Pentru orice număr natural există un predecesor (numărul cu o unitate mai mic: \( n - 1 \)) și un succesor (numărul cu o unitate mai mare: \( n + 1 \)).
Pentru numărul \( 32\ 754 \):
- Predecesorul: \( 32\ 753 \)
- Succesorul: \( 32\ 755 \)
Rotunjirea este înlocuirea unui număr cu cel mai apropiat număr format doar din unități ale unui anumit ordin (zeci, sute, mii etc.).
Rotunjirea prin lipsă: Se aplică dacă cifra ordinului imediat inferior celui la care se face rotunjirea este mai mică decât \( 5 \).
Rotunjirea prin adaos: Se aplică dacă cifra ordinului imediat inferior este mai mare sau cel puțin egală cu \( 5 \).
- \( 2\ 643 \rightarrow 2\ 640 \) (rotunjire la zeci, prin lipsă, deoarece \( 3 < 5 \))
- \( 2\ 685 \rightarrow 2\ 700 \) (rotunjire la sute, prin adaos, deoarece \( 8 \ge 5 \))
Cifrele romane se scriu folosind următoarele 7 simboluri de bază:
I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000.
I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000.
Formarea prin adunare: O cifră cu valoare mai mică scrisă la dreapta uneia cu valoare mai mare se adună la aceasta.
Exemplu: \( \text{VI} = 5 + 1 = 6 \)
Exemplu: \( \text{VI} = 5 + 1 = 6 \)
Formarea prin scădere: O cifră cu valoare mai mică scrisă la stânga uneia cu valoare mai mare se scade din aceasta.
Exemplu: \( \text{IX} = 10 - 1 = 9 \)
Exemplu: \( \text{IX} = 10 - 1 = 9 \)
Prin combinarea regulilor de adunare și scădere se formează numere complexe:
\[ \text{MCXLIV} = 1000 + 100 + (50 - 10) + (5 - 1) = 1144 \]
Probleme de antrenament
Ușoară: Scrieți predecesorul și succesorul numărului \( 140\ 000 \).
Predecesorul (numărul minus 1): \( 139\ 999 \)
Succesorul (numărul plus 1): \( 140\ 001 \)
Succesorul (numărul plus 1): \( 140\ 001 \)
Medie: Scrieți cu cifre arabe următoarele numere scrise cu cifre romane: \(\text{LXIV}\), \(\text{CDXCV}\).
\(\text{LXIV} = 50 + 10 + (5 - 1) = 64\)
\(\text{CDXCV} = (500 - 100) + (100 - 10) + 5 = 400 + 90 + 5 = 495\)
\(\text{CDXCV} = (500 - 100) + (100 - 10) + 5 = 400 + 90 + 5 = 495\)
Medie: Rotunjiți numărul \( 345\ 812 \) la ordinul sutelor, apoi la ordinul zecilor de mii. Specificați dacă ați rotunjit prin adaos sau prin lipsă.
- La ordinul sutelor: Ne uităm la cifra zecilor, care este 1. Deoarece \( 1 < 5 \), rotunjim prin lipsă. Rezultat: \( 345\ 800 \).
- La ordinul zecilor de mii: Ne uităm la cifra miilor, care este 5. Deoarece \( 5 \ge 5 \), rotunjim prin adaos. Rezultat: \( 350\ 000 \).
Dificilă: Aflați cel mai mare și cel mai mic număr natural de șase cifre distincte (diferite), care pot fi formate. Descompuneți cel mai mic număr sub formă de sumă a unităților fiecărui ordin.
Cel mai mare: Trebuie să plasăm cele mai mari cifre la ordinele cele mai mari. Numărul este \( 987\ 654 \).
Cel mai mic: Trebuie să plasăm cele mai mici cifre la ordinele cele mai mari, dar cifra sutelor de mii nu poate fi 0. Numărul este \( 102\ 345 \).
Descompunerea lui \( 102\ 345 \): \[ 102\ 345 = 100\ 000 + 2\ 000 + 300 + 40 + 5 \]
Cel mai mic: Trebuie să plasăm cele mai mici cifre la ordinele cele mai mari, dar cifra sutelor de mii nu poate fi 0. Numărul este \( 102\ 345 \).
Descompunerea lui \( 102\ 345 \): \[ 102\ 345 = 100\ 000 + 2\ 000 + 300 + 40 + 5 \]
Înmulțirea Numerelor Naturale Cuprinse Între 0 Și 1 000 000
Proprietățile înmulțirii ne ajută să grupăm și să ordonăm factorii pentru a simplifica calculele.
1. Comutativitatea: Ordinea factorilor nu modifică produsul.
\[ a \times b = b \times a \]
2. Asociativitatea: Într-o înmulțire cu mai mulți factori, aceștia pot fi grupați în orice mod.
\[ (a \times b) \times c = a \times (b \times c) \]
3. Elementul neutru: Numărul 1 nu modifică valoarea factorului cu care se înmulțește.
\[ a \times 1 = a \]
4. Înmulțirea cu 0: Orice număr înmulțit cu 0 are rezultatul 0.
\[ a \times 0 = 0 \]
5. Distributivitatea: Înmulțirea este distributivă față de adunare și scădere.
\[ a \times (b + c) = a \times b + a \times c \]
\[ a \times (b - c) = a \times b - a \times c \]
Folosind distributivitatea pentru calculul rapid:
\[ 34 \times 99 = 34 \times (100 - 1) = 34 \times 100 - 34 \times 1 = 3\ 400 - 34 = 3\ 366 \]
Calculați cât mai rapid, folosind proprietățile înmulțirii: \( 4 \times 17 \times 25 \).
Grupăm factorii convenabil folosind comutativitatea și asociativitatea:
\[ (4 \times 25) \times 17 = 100 \times 17 = 1\ 700 \]
Pentru a înmulți un număr natural cu 10, 100 sau 1 000, adăugăm la dreapta acestuia unul, două, respectiv trei zerouri.
\[ a \times 10 = a0 \quad | \quad a \times 100 = a00 \quad | \quad a \times 1\ 000 = a000 \]
Dacă factorii unei înmulțiri se termină în zerouri, se efectuează înmulțirea numerelor fără zerourile finale, iar la rezultatul obținut se adaugă numărul total de zerouri de la sfârșitul celor doi factori.
- \( 12 \times 1\ 000 = 12\ 000 \)
- \( 350 \times 20 = 7\ 000 \) (calculăm \( 35 \times 2 = 70 \), apoi adăugăm cele două zerouri de la finalul factorilor).
- \( 40 \times 600 = 24\ 000 \) (calculăm \( 4 \times 6 = 24 \), apoi adăugăm cele trei zerouri).
Calculați produsul dintre \( 120 \) și \( 400 \).
Înmulțim cifrele semnificative: \( 12 \times 4 = 48 \).
Adăugăm cele trei zerouri de la sfârșitul factorilor (unul de la 120 și două de la 400):
Rezultat: \( 48\ 000 \).
Adăugăm cele trei zerouri de la sfârșitul factorilor (unul de la 120 și două de la 400):
Rezultat: \( 48\ 000 \).
Așezăm numerele unele sub altele, aliniate la dreapta (după ordinul unităților).
Înmulțim pe rând unitățile, zecile, sutele etc. ale factorului al doilea cu primul factor, de la dreapta la stânga.
Dacă rezultatul unei înmulțiri depășește 9, facem trecere peste ordin (transportăm zecile obținute la ordinul imediat următor, unde le vom aduna la noul produs parțial).
Produsele parțiale se așază unele sub altele, fiecare fiind decalat cu o poziție spre stânga față de cel de deasupra lui. Produsul final se obține prin adunarea produselor parțiale.
Calculul în scris pentru \( 132 \times 23 \):
\[
\begin{array}{r@{\quad}l}
132 \times & \\
23 & \\
\hline
396 & \text{--- primul produs parțial } (3 \times 132) \\
264\phantom{0} & \text{--- al doilea produs parțial } (2 \times 132\text{, decalat}) \\
\hline
3\ 036 & \text{--- produsul final}
\end{array}
\]
Atunci când unul dintre factori conține cifra zero în interior, înmulțirea cu acel ordin va genera un rând de zerouri sau decalarea directă a următorului produs parțial cu două poziții la stânga.
Efectuați înmulțirea în scris: \( 236 \times 12 \).
\[
\begin{array}{r@{\quad}l}
236 \times & \\
12 & \\
\hline
472 & \text{--- primul produs parțial } (2 \times 236) \\
236\phantom{0} & \text{--- al doilea produs parțial } (1 \times 236\text{, decalat}) \\
\hline
2\ 832 & \text{--- produsul final}
\end{array}
\]
Într-un exercițiu fără paranteze, se efectuează mai întâi înmulțirile și împărțirile (în ordinea scrisă, de la stânga la dreapta), apoi adunările și scăderile (în ordinea scrisă, de la stânga la dreapta).
Într-un exercițiu cu paranteze, se efectuează mai întâi operațiile din parantezele rotunde, respectând regulile de mai sus, iar apoi celelalte operații.
Calculul expresiei \( 18 \times 24 + 23 \times 24 \):
Pasul 1 (înmulțirile): \( 18 \times 24 = 432 \) și \( 23 \times 24 = 552 \).
Pasul 2 (adunarea): \( 432 + 552 = 984 \).
Pasul 1 (înmulțirile): \( 18 \times 24 = 432 \) și \( 23 \times 24 = 552 \).
Pasul 2 (adunarea): \( 432 + 552 = 984 \).
Calculați valoarea expresiei: \( (15 + 5) \times 4 - 12 \times 3 \).
1. Efectuăm adunarea din paranteză: \( 15 + 5 = 20 \).
2. Expresia devine: \( 20 \times 4 - 12 \times 3 \).
3. Efectuăm înmulțirile: \( 20 \times 4 = 80 \) și \( 12 \times 3 = 36 \).
4. Efectuăm scăderea: \( 80 - 36 = 44 \).
Răspuns: 44.
2. Expresia devine: \( 20 \times 4 - 12 \times 3 \).
3. Efectuăm înmulțirile: \( 20 \times 4 = 80 \) și \( 12 \times 3 = 36 \).
4. Efectuăm scăderea: \( 80 - 36 = 44 \).
Răspuns: 44.
Factori: Numerele care se înmulțesc.
Produs: Rezultatul înmulțirii.
De \( x \) ori mai mare: Reprezintă o operație de înmulțire cu \( x \).
Cu \( x \) mai mare: Reprezintă o operație de adunare cu \( x \).
- Numărul de 3 ori mai mare decât 15 este \( 15 \times 3 = 45 \).
- Numărul cu 3 mai mare decât 15 este \( 15 + 3 = 18 \).
Probleme practice
Problemă ușoară: Calculați rapid rezultatul operației \( 27 \times 11 \) prin descompunerea factorului 11 în \( 10 + 1 \).
Aplicăm distributivitatea înmulțirii față de adunare:
\[ 27 \times 11 = 27 \times (10 + 1) = 27 \times 10 + 27 \times 1 \]
\[ = 270 + 27 = 297 \]
Răspuns: 297.
Problemă medie: Aflați numărul de 5 ori mai mare decât diferența produselor \( 12 \times 15 \) și \( 8 \times 20 \). Scrieți rezolvarea într-un singur exercițiu.
Scriem expresia matematică corespunzătoare enunțului:
\[ [ (12 \times 15) - (8 \times 20) ] \times 5 \]
Efectuăm înmulțirile din interior:
\[ 12 \times 15 = 180 \]
\[ 8 \times 20 = 160 \]
Efectuăm scăderea:
\[ 180 - 160 = 20 \]
Înmulțim rezultatul cu 5:
\[ 20 \times 5 = 100 \]
Răspuns: 100.
Problemă dificilă: O asociație ecologică dorește să planteze pomi. În prima săptămână s-au plantat 12 rânduri a câte 115 puieți de stejar. În a doua săptămână s-au plantat 15 rânduri a câte 105 puieți de tei. Cu cât este mai mare numărul puieților de stejar plantați decât cel al puieților de tei?
1. Aflăm numărul puieților de stejar plantați:
\[ 12 \times 115 = 1\ 380 \]
2. Aflăm numărul puieților de tei plantați:
\[ 15 \times 105 = 1\ 575 \]
3. Observăm că s-au plantat mai mulți tei decât stejari. Calculăm diferența:
\[ 1\ 575 - 1\ 380 = 195 \]
Răspuns: S-au plantat cu 195 mai mulți puieți de tei decât de stejar.
Împărțirea Numerelor Naturale Cuprinse Între 0 Și 1 000 000
Operația de împărțire ne arată de câte ori un număr (împărțitorul) se cuprinde în alt număr (deîmpărțitul). Dacă cuprinderea nu este exactă, obținem o împărțire cu rest.
Notăm: D = deîmpărțit, Î = împărțitor, C = cât, R = rest.
Regula de aur a împărțirii: Restul trebuie să fie întotdeauna strict mai mic decât împărțitorul (\( R < Î \)).
Teorema împărțirii cu rest
\[ D = Î \cdot C + R \]
unde \( R < Î \)
unde \( R < Î \)
La împărțirea în scris la un număr de două cifre:
- Se consideră primele două cifre ale deîmpărțitului. Dacă numărul format este mai mic decât împărțitorul, se consideră primele trei cifre.
- Se află de câte ori se cuprinde împărțitorul, se scrie rezultatul la cât, iar produsul se scade.
- Lângă restul obținut se coboară următoarea cifră și se repetă procesul. Dacă numărul obținut este mai mic decât împărțitorul, se trece 0 la cât!
Împărțirea cu rest diferit de zero: \( 52 : 13 = 4 \) (rest 0), dar \( 200\ 347 : 63 = 3\ 180 \) (rest 7). Se verifică: \( 7 < 63 \).
Pentru a împărți rapid un număr terminat în zerouri la 10, 100 sau 1 000, se înlătură de la finalul deîmpărțitului atâtea zerouri câte are împărțitorul.
Zecimea unui număr înseamnă împărțirea acelui număr la 10.
Sutimea unui număr înseamnă împărțirea acelui număr la 100.
Miimea unui număr înseamnă împărțirea acelui număr la 1 000.
Împărțirea la 10: \( 27\ 55\cancel{0} : 1\cancel{0} = 2\ 755 \)
Împărțirea la 100: \( 154\ 6\cancel{00} : 1\cancel{00} = 1\ 546 \)
Împărțirea la 1 000: \( 347\ \cancel{000} : 1\ \cancel{000} = 347 \)
Împărțirea la 100: \( 154\ 6\cancel{00} : 1\cancel{00} = 1\ 546 \)
Împărțirea la 1 000: \( 347\ \cancel{000} : 1\ \cancel{000} = 347 \)
Pentru a ne asigura că rezultatul unei operații este corect, efectuăm proba acesteia. De asemenea, probele ne ajută să găsim termeni necunoscuți.
Proba înmulțirii:
\( F_1 \cdot F_2 = P \)
\( F_1 \cdot F_2 = P \)
- Prin înmulțire (comutativitate): \( F_2 \cdot F_1 = P \)
- Prin împărțire: \( P : F_1 = F_2 \) sau \( P : F_2 = F_1 \)
Proba împărțirii (exacte sau cu rest):
\( D : Î = C \) (rest \( R \))
\( D : Î = C \) (rest \( R \))
- Aflarea deîmpărțitului: \( D = C \cdot Î + R \)
- Aflarea împărțitorului: \( Î = (D - R) : C \)
Dacă \( 4\ 329 : 47 = 92 \) (rest 5), verificarea se face astfel:
\[ 92 \cdot 47 + 5 = 4\ 324 + 5 = 4\ 329 \]
Atunci când un exercițiu conține mai multe operații, acestea nu se rezolvă neapărat de la stânga la dreapta. Există reguli stricte de prioritate.
Regula 1: Fără paranteze. Mai întâi se efectuează operațiile de ordinul al II-lea (înmulțirile și împărțirile), iar apoi operațiile de ordinul I (adunările și scăderile), în ordinea în care sunt scrise de la stânga la dreapta.
Regula 2: Cu paranteze. Dacă expresia conține paranteze, acestea schimbă ordinea normală:
- Se efectuează mai întâi operațiile din parantezele rotunde
( ). - După rezolvarea acestora, parantezele pătrate
[ ]devin rotunde, iar operațiile din interiorul lor se rezolvă la rândul lor. - În interiorul oricărei paranteze se respectă mereu regula operațiilor de ordinul I și II.
Rezolvarea expresiei: \( [2\ 543 + (2\ 543 + 2\ 369)] : 35 \)
1. Se calculează paranteza rotundă: \( 2\ 543 + 2\ 369 = 4\ 912 \)
2. Paranteza pătrată devine rotundă: \( (2\ 543 + 4\ 912) : 35 \)
3. Se calculează noua paranteză rotundă: \( 7\ 455 : 35 \)
4. Se obține rezultatul final: \( 213 \)
1. Se calculează paranteza rotundă: \( 2\ 543 + 2\ 369 = 4\ 912 \)
2. Paranteza pătrată devine rotundă: \( (2\ 543 + 4\ 912) : 35 \)
3. Se calculează noua paranteză rotundă: \( 7\ 455 : 35 \)
4. Se obține rezultatul final: \( 213 \)
Probleme practice
Ușoară: Aflați zecimea, apoi sutimea numărului 35 000.
Pentru a afla zecimea, împărțim numărul la 10:
\[ 35\ 000 : 10 = 3\ 500 \]
Pentru a afla sutimea, împărțim numărul la 100:
\[ 35\ 000 : 100 = 350 \]
Medie: Găsiți deîmpărțitul știind că, prin împărțirea sa la 43, se obține câtul 231 și restul 12.
Folosim formula fundamentală a împărțirii cu rest: \( D = Î \cdot C + R \).
\[ D = 43 \cdot 231 + 12 \]
\[ D = 9\ 933 + 12 \]
\[ D = 9\ 945 \]
Răspuns: Deîmpărțitul este 9 945.
Medie: Efectuați respectând ordinea operațiilor: \( 36 \cdot 154 - 9\ 933 : 43 + 12\ 000 \).
Efectuăm mai întâi operațiile de ordinul al II-lea (înmulțirea și împărțirea):
\( 36 \cdot 154 = 5\ 544 \)
\( 9\ 933 : 43 = 231 \)
Rescriem exercițiul cu noile rezultate și efectuăm operațiile de ordinul I de la stânga la dreapta:
\( 5\ 544 - 231 + 12\ 000 = 5\ 313 + 12\ 000 = 17\ 313 \)
\( 36 \cdot 154 = 5\ 544 \)
\( 9\ 933 : 43 = 231 \)
Rescriem exercițiul cu noile rezultate și efectuăm operațiile de ordinul I de la stânga la dreapta:
\( 5\ 544 - 231 + 12\ 000 = 5\ 313 + 12\ 000 = 17\ 313 \)
Dificilă: Compuneți o expresie matematică cu paranteze pentru a rezolva următoarea problemă, apoi calculați:
"Într-un depozit sunt 15 cutii cu câte 20 de mere și 10 cutii cu câte 30 de pere. Toate fructele sunt ambalate în pungi de câte 5 bucăți. Câte pungi s-au obținut în total?"
Pasul 1: Aflăm totalul merelor (\( 15 \cdot 20 \)) și totalul perelor (\( 10 \cdot 30 \)).
Pasul 2: Adunăm fructele pentru a afla totalul (punem aceste operații într-o paranteză rotundă).
Pasul 3: Împărțim rezultatul la 5.
Expresia numerică: \[ (15 \cdot 20 + 10 \cdot 30) : 5 = \] Rezolvare respectând ordinea operațiilor: \[ (300 + 300) : 5 = \] \[ 600 : 5 = 120 \] Răspuns: S-au obținut 120 de pungi.
Pasul 2: Adunăm fructele pentru a afla totalul (punem aceste operații într-o paranteză rotundă).
Pasul 3: Împărțim rezultatul la 5.
Expresia numerică: \[ (15 \cdot 20 + 10 \cdot 30) : 5 = \] Rezolvare respectând ordinea operațiilor: \[ (300 + 300) : 5 = \] \[ 600 : 5 = 120 \] Răspuns: S-au obținut 120 de pungi.
Probleme
Operațiile matematice sunt clasificate pe ordine: operații de ordinul I (adunarea și scăderea) și operații de ordinul al II-lea (înmulțirea și împărțirea).
Într-un exercițiu cu paranteze, se respectă următoarea ordine:
- Se efectuează mai întâi operațiile din parantezele rotunde ( ).
- Se efectuează apoi operațiile din parantezele pătrate [ ].
- În interiorul oricărei paranteze (sau în absența lor), se rezolvă întâi operațiile de ordinul al II-lea (înmulțirea și împărțirea), apoi cele de ordinul I (adunarea și scăderea), în ordinea în care sunt scrise (de la stânga la dreapta).
Pe măsură ce efectuăm toate calculele dintr-o paranteză rotundă și o eliminăm, parantezele pătrate [ ] din exteriorul ei se transformă în paranteze rotunde ( ).
Calculul expresiei: \( 50 - [(12 + 3 \times 12) : 2] \)
\[ 50 - [(12 + 3 \times 12) : 2] = \]
\[ = 50 - [(12 + 36) : 2] = \]
\[ = 50 - (48 : 2) = \]
\[ = 50 - 24 = 26 \]
Calculați valoarea expresiei: \( [(12 \times 3 + 24) \times 8 - 180] : 100 \).
Urmăm ordinea operațiilor:
1. Calculăm în paranteza rotundă: \( 12 \times 3 + 24 = 36 + 24 = 60 \).
2. Înlocuim și transformăm paranteza pătrată în rotundă:
\( (60 \times 8 - 180) : 100 = \)
\( = (480 - 180) : 100 = \)
\( = 300 : 100 = 3 \).
Răspuns: 3
1. Calculăm în paranteza rotundă: \( 12 \times 3 + 24 = 36 + 24 = 60 \).
2. Înlocuim și transformăm paranteza pătrată în rotundă:
\( (60 \times 8 - 180) : 100 = \)
\( = (480 - 180) : 100 = \)
\( = 300 : 100 = 3 \).
Răspuns: 3
Metoda grafică constă în reprezentarea mărimilor necunoscute prin segmente de dreaptă sau alte elemente vizuale (căsuțe, blocuri) pentru a evidenția mai ușor relațiile matematice dintre ele (sumă, diferență sau raport).
Când cunoaștem suma și de câte ori o mărime este mai mare decât cealaltă:
- Reprezentăm mărimea mai mică printr-un segment (o parte).
- Reprezentăm mărimea mai mare prin numărul corespunzător de segmente egale.
- Împărțim suma totală la numărul total de părți egale pentru a afla mărimea mică (valoarea unui segment).
La o școală s-au adus 192 de bănci și scaune. Numărul de scaune este de 3 ori mai mare decât cel al băncilor. Câte bănci și câte scaune s-au adus?
- Numărul total de părți egale: \( 1 + 3 = 4 \)
- Numărul de bănci (o parte): \( 192 : 4 = 48 \)
- Numărul de scaune: \( 48 \times 3 = 144 \)
Când cunoaștem suma și cu cât o mărime este mai mare decât cealaltă:
- Reprezentăm mărimile prin segmente, adăugând diferența la mărimea mai mare.
- Scădem diferența din suma totală pentru a obține o sumă formată doar din părți egale.
- Împărțim rezultatul la numărul de segmente egale pentru a afla mărimea mai mică.
Ion și Adina au împreună 56 de jetoane. Adina are cu 4 jetoane mai mult decât Ion. Câte jetoane are fiecare?
- Suma părților egale: \( 56 - 4 = 52 \)
- Numărul de jetoane ale lui Ion: \( 52 : 2 = 26 \)
- Numărul de jetoane ale Adinei: \( 26 + 4 = 30 \)
Metoda comparației se folosește în probleme în care valorile a două mărimi sunt comparate în situații diferite. Scopul este eliminarea uneia dintre necunoscute pentru a o putea calcula pe cealaltă.
Dacă una dintre mărimi este exprimată direct în funcție de cealaltă (de exemplu: un produs costă cât mai multe produse de alt tip), înlocuim acea mărime în relația de bază.
Pentru 5 penare și un ghiozdan s-au plătit 315 lei. Un ghiozdan costă cât 4 penare. Cât costă un penar?
Rezolvare:
Înlocuim 1 ghiozdan cu 4 penare în prima relație: \[ 5 \text{ penare} + 4 \text{ penare} = 9 \text{ penare} \] \[ 9 \text{ penare} = 315 \text{ lei} \] \[ 1 \text{ penar} = 315 : 9 = 35 \text{ lei} \] \[ 1 \text{ ghiozdan} = 35 \times 4 = 140 \text{ lei} \]
Rezolvare:
Înlocuim 1 ghiozdan cu 4 penare în prima relație: \[ 5 \text{ penare} + 4 \text{ penare} = 9 \text{ penare} \] \[ 9 \text{ penare} = 315 \text{ lei} \] \[ 1 \text{ penar} = 315 : 9 = 35 \text{ lei} \] \[ 1 \text{ ghiozdan} = 35 \times 4 = 140 \text{ lei} \]
Dacă avem cantități diferite din ambele produse în două situații, așezăm datele unele sub altele și le scădem pentru a elimina mărimea care are aceeași cantitate în ambele rânduri.
Pentru 3 cărți și 9 caiete s-au plătit 138 de lei, iar pentru 3 cărți și 5 caiete s-au plătit 126 de lei. Cât costă o carte și cât costă un caiet?
Rezolvare:
Scriem relațiile comparativ:
3 cărți ........................ 9 caiete ........................ 138 lei
3 cărți ........................ 5 caiete ........................ 126 lei
Scăzând cele două rânduri, cărțile se elimină (\(3 - 3 = 0\)): \[ (9 - 5) \text{ caiete} = 138 - 126 \text{ lei} \] \[ 4 \text{ caiete} = 12 \text{ lei} \] \[ 1 \text{ caiet} = 12 : 4 = 3 \text{ lei} \]
Aflăm prețul cărților folosind a doua relație: \[ 3 \text{ cărți} + 5 \times 3 \text{ lei} = 126 \text{ lei} \] \[ 3 \text{ cărți} = 126 - 15 = 111 \text{ lei} \] \[ 1 \text{ carte} = 111 : 3 = 37 \text{ lei} \]
Rezolvare:
Scriem relațiile comparativ:
3 cărți ........................ 9 caiete ........................ 138 lei
3 cărți ........................ 5 caiete ........................ 126 lei
Scăzând cele două rânduri, cărțile se elimină (\(3 - 3 = 0\)): \[ (9 - 5) \text{ caiete} = 138 - 126 \text{ lei} \] \[ 4 \text{ caiete} = 12 \text{ lei} \] \[ 1 \text{ caiet} = 12 : 4 = 3 \text{ lei} \]
Aflăm prețul cărților folosind a doua relație: \[ 3 \text{ cărți} + 5 \times 3 \text{ lei} = 126 \text{ lei} \] \[ 3 \text{ cărți} = 126 - 15 = 111 \text{ lei} \] \[ 1 \text{ carte} = 111 : 3 = 37 \text{ lei} \]
Metoda mersului invers se aplică în exercițiile sau problemele în care operațiile se efectuează succesiv asupra unui număr necunoscut, obținându-se un rezultat final cunoscut. Rezolvarea se face de la sfârșit la început, aplicând de fiecare dată operația inversă.
Tabelul operațiilor inverse:
- Adunarea \((+)\) are ca inversă scăderea \((-)\)
- Scăderea \((-)\) are ca inversă adunarea \((+)\)
- Înmulțirea \((\times)\) are ca inversă împărțirea \((:)\)
- Împărțirea \((:)\) are ca inversă înmulțirea \((\times)\)
Mă gândesc la un număr. Îl înmulțesc cu 9, apoi îl împart la 3. Rezultatul îl adun cu 2 464 și obțin 2 500. Care este numărul?
Rezolvare algebrică: \[ a \times 9 : 3 + 2\,464 = 2\,500 \] \[ a \times 9 : 3 = 2\,500 - 2\,464 \] \[ a \times 9 : 3 = 36 \] \[ a \times 9 = 36 \times 3 \] \[ a \times 9 = 108 \] \[ a = 108 : 9 = 12 \]
Rezolvare algebrică: \[ a \times 9 : 3 + 2\,464 = 2\,500 \] \[ a \times 9 : 3 = 2\,500 - 2\,464 \] \[ a \times 9 : 3 = 36 \] \[ a \times 9 = 36 \times 3 \] \[ a \times 9 = 108 \] \[ a = 108 : 9 = 12 \]
Aflați numărul necunoscut \( x \): \( (x - 10) \times 5 = 100 \).
Mergem invers:
1. Scăpăm de înmulțirea cu 5 prin împărțire:
\( x - 10 = 100 : 5 \)
\( x - 10 = 20 \)
2. Scăpăm de scăderea lui 10 prin adunare:
\( x = 20 + 10 \)
\( x = 30 \)
Răspuns: 30
1. Scăpăm de înmulțirea cu 5 prin împărțire:
\( x - 10 = 100 : 5 \)
\( x - 10 = 20 \)
2. Scăpăm de scăderea lui 10 prin adunare:
\( x = 20 + 10 \)
\( x = 30 \)
Răspuns: 30
Jumătatea unui număr: reprezintă numărul împărțit la 2 (\( x : 2 \)).
Sfertul unui număr: reprezintă numărul împărțit la 4 (\( x : 4 \)).
Diferența: este rezultatul operației de scădere.
Suma: este rezultatul operației de adunare.
Câtul: este rezultatul operației de împărțire.
Produsul: este rezultatul operației de înmulțire.
- Cel mai mare număr natural de trei cifre diferite: 987.
- Cel mai mic număr natural de trei cifre diferite: 102.
Probleme propuse
Problemă 1 (Ușoară): Calculează valoarea expresiei:
\[ 120 - [40 + (15 - 3 \times 4) \times 5] \]
Efectuăm operațiile în ordinea corectă:
1. În paranteza rotundă calculăm mai întâi înmulțirea, apoi scăderea:
\( 15 - 3 \times 4 = 15 - 12 = 3 \)
2. Înlocuim în paranteza pătrată, care devine rotundă:
\( 120 - (40 + 3 \times 5) = \)
\( = 120 - (40 + 15) = \)
\( = 120 - 55 = 65 \)
Răspuns: 65
1. În paranteza rotundă calculăm mai întâi înmulțirea, apoi scăderea:
\( 15 - 3 \times 4 = 15 - 12 = 3 \)
2. Înlocuim în paranteza pătrată, care devine rotundă:
\( 120 - (40 + 3 \times 5) = \)
\( = 120 - (40 + 15) = \)
\( = 120 - 55 = 65 \)
Răspuns: 65
Problemă 2 (Medie): Doi frați au strâns împreună 150 de lei. Primul frate are de 4 ori mai mulți lei decât al doilea. Câți lei are fiecare frate? Rezolvă folosind metoda grafică.
Reprezentăm grafic sumele celor doi frați:
Fratele al doilea (mai mic): |---| (1 segment)
Fratele primul (mai mare): |---|---|---|---| (4 segmente egale)
Suma totală: 150 de lei.
1. Aflăm numărul total de părți egale:
\( 1 + 4 = 5 \) părți
2. Aflăm suma fratelui al doilea (valoarea unei părți):
\( 150 : 5 = 30 \) lei
3. Aflăm suma primului frate:
\( 30 \times 4 = 120 \) lei
Răspuns: Primul are 120 lei, iar al doilea are 30 lei.
Fratele al doilea (mai mic): |---| (1 segment)
Fratele primul (mai mare): |---|---|---|---| (4 segmente egale)
Suma totală: 150 de lei.
1. Aflăm numărul total de părți egale:
\( 1 + 4 = 5 \) părți
2. Aflăm suma fratelui al doilea (valoarea unei părți):
\( 150 : 5 = 30 \) lei
3. Aflăm suma primului frate:
\( 30 \times 4 = 120 \) lei
Răspuns: Primul are 120 lei, iar al doilea are 30 lei.
Problemă 3 (Dificilă): Un călător parcurge un drum în trei zile. În prima zi parcurge jumătate din drum, a doua zi parcurge jumătate din distanța rămasă, iar a treia zi parcurge ultimii 15 km. Câți kilometri are întregul drum? Rezolvă prin metoda mersului invers cu reprezentare grafică.
Reprezentăm drumul prin segmente:
Drumul total este format din două jumătăți:
|-------------------|-------------------|
[ Ziua I ][ Restul ]
Restul de drum este împărțit din nou în două jumătăți:
|---------|---------|
[ Ziua II ][Ziua III]
Știm că distanța din a treia zi este de 15 km.
1. Distanța parcursă a doua zi este egală cu cea din a treia zi (deoarece reprezintă cealaltă jumătate a restului):
\( \text{Distanța a doua zi} = 15 \text{ km} \)
2. Restul de după prima zi este:
\( 15 \times 2 = 30 \text{ km} \)
3. Deoarece în prima zi s-a parcurs jumătate din drumul total, restul de 30 km reprezintă cealaltă jumătate a drumului:
\( \text{Drumul total} = 30 \times 2 = 60 \text{ km} \)
Răspuns: Întregul drum are 60 km.
Drumul total este format din două jumătăți:
|-------------------|-------------------|
[ Ziua I ][ Restul ]
Restul de drum este împărțit din nou în două jumătăți:
|---------|---------|
[ Ziua II ][Ziua III]
Știm că distanța din a treia zi este de 15 km.
1. Distanța parcursă a doua zi este egală cu cea din a treia zi (deoarece reprezintă cealaltă jumătate a restului):
\( \text{Distanța a doua zi} = 15 \text{ km} \)
2. Restul de după prima zi este:
\( 15 \times 2 = 30 \text{ km} \)
3. Deoarece în prima zi s-a parcurs jumătate din drumul total, restul de 30 km reprezintă cealaltă jumătate a drumului:
\( \text{Drumul total} = 30 \times 2 = 60 \text{ km} \)
Răspuns: Întregul drum are 60 km.
Fracții
Fracțiile reprezintă una sau mai multe părți dintr-un întreg care a fost împărțit în părți egale. În funcție de raportul dintre numărător (partea de sus) și numitor (partea de jos), fracțiile se clasifică în trei categorii:
| Tipul fracției | Definiție | Exemplu |
|---|---|---|
| Subunitară | Este mai mică decât întregul. Numărătorul este mai mic decât numitorul. | \( \frac{3}{4} < \frac{4}{4} \) |
| Echiunitară | Este egală cu întregul. Numărătorul este egal cu numitorul. | \( \frac{5}{5} = 1 \) |
| Supraunitară | Este mai mare decât întregul. Numărătorul este mai mare decât numitorul. | \( \frac{5}{4} > \frac{4}{4} \) |
Dintre două fracții care au același numărător, este mai mică fracția care are numitorul mai mare.
Compararea a două fracții cu numărătorul 2:
\[ \frac{2}{5} < \frac{2}{3} \quad \text{sau} \quad \frac{2}{4} > \frac{2}{8} \]
(De exemplu, 2 felii dintr-o pizza tăiată în 8 sunt mai mici decât 2 felii din aceeași pizza tăiată în 4).
Comparați fracțiile \( \frac{5}{9} \) și \( \frac{5}{6} \).
Deoarece numărătorii sunt egali (5 = 5), comparăm numitorii. Numitorul mai mare corespunde fracției mai mici.
Răspuns: \( \frac{5}{9} < \frac{5}{6} \).
Răspuns: \( \frac{5}{9} < \frac{5}{6} \).
Când un întreg este împărțit în 100 de părți egale, numitorul fracției este 100. Fracția \( \frac{1}{100} \) se citește „o sutime”.
O fracție cu numitorul 100 poate fi scrisă în trei moduri echivalente:
- Ca fracție: \( \frac{25}{100} \)
- Ca procent (%): \( 25\% \) (se citește „25 la sută”)
- Ca număr zecimal: \( 0,25 \) (se citește „0 virgulă 25”)
Pentru a aduna două sau mai multe fracții care au același numitor, adunăm numărătorii și păstrăm numitorul neschimbat.
\[ \frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{a + b}{n} \]
Dacă o porțiune colorată cu roșu reprezintă \( \frac{3}{10} \), iar una galbenă reprezintă \( \frac{2}{10} \), totalul suprafeței colorate este:
\[ \frac{3}{10} + \frac{2}{10} = \frac{3 + 2}{10} = \frac{5}{10} \]
Pentru a scădea două fracții care au același numitor, scădem numărătorii și păstrăm numitorul neschimbat.
\[ \frac{a}{n} - \frac{b}{n} = \frac{a - b}{n} \]
Când trebuie să scădem dintr-un întreg, transformăm mai întâi întregul într-o fracție echiunitară (cu numărătorul și numitorul egale cu numitorul celeilalte fracții).
Dintr-un tort întreg, oferim \( \frac{7}{8} \). Pentru a afla cât a rămas, notăm întregul ca \( \frac{8}{8} \):
\[ \frac{8}{8} - \frac{7}{8} = \frac{8 - 7}{8} = \frac{1}{8} \]
Exerciții
Ușoară: Exprimați fracția \( \frac{75}{100} \) sub formă de procent și sub formă de număr zecimal.
- Sub formă de procent: \( 75\% \)
- Sub formă de număr zecimal: \( 0,75 \)
Medie: Efectuați calculele și scrieți semnul de relație potrivit (\( <, >, = \)) între cele două rezultate:
\[ \frac{4}{9} + \frac{3}{9} \quad \square \quad \frac{9}{9} - \frac{1}{9} \]
1. Calculăm adunarea: \( \frac{4}{9} + \frac{3}{9} = \frac{7}{9} \)
2. Calculăm scăderea: \( \frac{9}{9} - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \)
3. Comparăm rezultatele: fracțiile au același numitor (9). Fracția cu numărătorul mai mic este mai mică. Deci, \( 7 < 8 \).
Răspuns: \( \frac{7}{9} < \frac{8}{9} \)
2. Calculăm scăderea: \( \frac{9}{9} - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \)
3. Comparăm rezultatele: fracțiile au același numitor (9). Fracția cu numărătorul mai mic este mai mică. Deci, \( 7 < 8 \).
Răspuns: \( \frac{7}{9} < \frac{8}{9} \)
Dificilă: Dintr-un traseu turistic, Andrei parcurge \( \frac{3}{7} \) în prima zi și \( \frac{2}{7} \) în a doua zi. Ce tip de fracție reprezintă distanța rămasă pentru a treia zi (subunitară, echiunitară sau supraunitară) și care este valoarea acesteia?
1. Aflăm cât a parcurs în total în primele două zile:
\[ \frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{5}{7} \]
2. Traseul complet este un întreg, adică \( \frac{7}{7} \). Aflăm restul de drum prin scădere:
\[ \frac{7}{7} - \frac{5}{7} = \frac{2}{7} \]
3. Deoarece numărătorul (2) este mai mic decât numitorul (7), fracția obținută este subunitară.
Răspuns: Distanța rămasă este \( \frac{2}{7} \), care este o fracție subunitară.
Răspuns: Distanța rămasă este \( \frac{2}{7} \), care este o fracție subunitară.
Elemente Intuitive De Geometrie
Dreptele paralele sunt dreptele situate în același plan care păstrează aceeași distanță una față de cealaltă și nu se intersectează niciodată, indiferent cât de mult sunt prelungite.
Dreptele perpendiculare sunt dreptele care se intersectează și formează colțuri drepte (unghiuri de \(90^\circ\)), identice cu colțul drept al unui echer.
Șinele de tren sunt un exemplu de drepte paralele în natură. Laturile alăturate ale unei ferestre reprezintă un exemplu de drepte perpendiculare.
Un unghi este format din două semidrepte (laturile unghiului) care pornesc din același punct (vârful unghiului).
În funcție de deschiderea dintre laturi, unghiurile se clasifică astfel:
- Unghi drept: Laturile sunt perpendiculare (măsura este de \(90^\circ\)). Se verifică perfect cu colțul echerului.
- Unghi ascuțit: Are deschiderea mai mică decât unghiul drept (este "mai închis").
- Unghi obtuz: Are deschiderea mai mare decât unghiul drept (este "mai deschis"), dar mai mică de \(180^\circ\).
Paralelogramul este patrulaterul care are laturile opuse paralele și egale două câte două.
Dreptunghiul este un paralelogram cu toate unghiurile drepte.
Rombul este un paralelogram cu toate cele patru laturi de lungimi egale.
Pătratul este figura care este simultan dreptunghi (are toate unghiurile drepte) și romb (are toate laturile egale).
Triunghiul este poligonul cu trei laturi și trei unghiuri.
Cercul este o linie curbă închisă, în care toate punctele sunt la fel de depărtate de un punct numit centru.
Deoarece pătratul și dreptunghiul au laturile opuse paralele, ele sunt tipuri speciale de paralelograme.
Axa de simetrie este dreapta care împarte o figură în două părți identice, care se pot suprapune perfect dacă îndoim figura pe acea dreaptă.
- Un pătrat are 4 axe de simetrie.
- Un dreptunghi are 2 axe de simetrie.
- Anumite figuri, precum un triunghi oarecare, pot să nu aibă nicio axă de simetrie.
Perimetrul (\(P\)) reprezintă suma lungimilor tuturor laturilor unui poligon (conturul exterior).
Pentru Paralelogram / Dreptunghi:
\( P = 2 \cdot L + 2 \cdot l \) sau \( P = 2 \cdot (L + l) \)
Pentru Pătrat / Romb:
\( P = 4 \cdot l \)
\( P = 2 \cdot L + 2 \cdot l \) sau \( P = 2 \cdot (L + l) \)
Pentru Pătrat / Romb:
\( P = 4 \cdot l \)
Aria (\(A\)) este măsura suprafeței unei figuri plane. Se măsoară numărând pătratele-unitate care o acoperă.
Aria Pătratului:
\( A = l \cdot l \)
\( A = l \cdot l \)
Volumul (\(V\)) măsoară spațiul ocupat de un corp geometric solid. Se determină numărând cuburile-unitate din interior.
Volumul Paralelipipedului:
\( V = L \times l \times h \) (Lungime \(\times\) lățime \(\times\) înălțime)
Volumul Cubului (toate muchiile egale):
\( V = l \times l \times l \)
\( V = L \times l \times h \) (Lungime \(\times\) lățime \(\times\) înălțime)
Volumul Cubului (toate muchiile egale):
\( V = l \times l \times l \)
Probleme de exersare
Ușoară: Un romb are latura de \( 12 \text{ cm} \). Calculați perimetrul acestui romb.
Rombul are toate cele patru laturi egale. Folosim formula perimetrului pentru romb:
\( P = 4 \cdot l \)
\( P = 4 \cdot 12 \text{ cm} = 48 \text{ cm} \).
Răspuns: \( 48 \text{ cm} \).
\( P = 4 \cdot l \)
\( P = 4 \cdot 12 \text{ cm} = 48 \text{ cm} \).
Răspuns: \( 48 \text{ cm} \).
Medie: Un acvariu sub formă de paralelipiped are lungimea de \( 8 \text{ cm} \), lățimea de \( 4 \text{ cm} \) și înălțimea de \( 5 \text{ cm} \). Care este volumul său exprimat în cuburi-unitate (cu muchia de \( 1 \text{ cm} \))?
Folosim formula volumului pentru paralelipiped:
\( V = L \times l \times h \)
\( V = 8 \times 4 \times 5 \)
\( V = 32 \times 5 = 160 \).
Răspuns: Acvariul are un volum de \( 160 \) de cuburi-unitate.
\( V = L \times l \times h \)
\( V = 8 \times 4 \times 5 \)
\( V = 32 \times 5 = 160 \).
Răspuns: Acvariul are un volum de \( 160 \) de cuburi-unitate.
Dificilă: Un dreptunghi are perimetrul de \( 30 \text{ cm} \) și lățimea de \( 5 \text{ cm} \). Determinați lungimea dreptunghiului, iar apoi aflați în câte pătrate cu latura de \( 1 \text{ cm} \) poate fi împărțită aria unui pătrat care ar avea aceeași latură ca lungimea dreptunghiului găsit.
Pasul 1: Aflăm lungimea dreptunghiului.
Perimetrul dreptunghiului este \( P = 2 \cdot L + 2 \cdot l \).
Știm că \( P = 30 \) și \( l = 5 \).
\( 30 = 2 \cdot L + 2 \cdot 5 \)
\( 30 = 2 \cdot L + 10 \)
\( 2 \cdot L = 30 - 10 = 20 \)
\( L = 20 : 2 = 10 \text{ cm} \).
Pasul 2: Calculăm aria pătratului cerut.
Noul pătrat are latura egală cu lungimea găsită: \( l_{\text{pătrat}} = 10 \text{ cm} \).
Aria pătratului este \( A = l \cdot l \).
\( A = 10 \cdot 10 = 100 \) pătrate-unitate.
Răspuns: Lungimea dreptunghiului este \( 10 \text{ cm} \), iar suprafața noului pătrat va fi formată din \( 100 \) de pătrate-unitate.
Perimetrul dreptunghiului este \( P = 2 \cdot L + 2 \cdot l \).
Știm că \( P = 30 \) și \( l = 5 \).
\( 30 = 2 \cdot L + 2 \cdot 5 \)
\( 30 = 2 \cdot L + 10 \)
\( 2 \cdot L = 30 - 10 = 20 \)
\( L = 20 : 2 = 10 \text{ cm} \).
Pasul 2: Calculăm aria pătratului cerut.
Noul pătrat are latura egală cu lungimea găsită: \( l_{\text{pătrat}} = 10 \text{ cm} \).
Aria pătratului este \( A = l \cdot l \).
\( A = 10 \cdot 10 = 100 \) pătrate-unitate.
Răspuns: Lungimea dreptunghiului este \( 10 \text{ cm} \), iar suprafața noului pătrat va fi formată din \( 100 \) de pătrate-unitate.
Unități Și Instrumente De Măsură
Unitatea principală pentru măsurarea lungimii este metrul (m).
Pentru distanțe mai mici se folosesc submultiplii (dm, cm, mm), iar pentru distanțe mai mari se folosesc multiplii (dam, hm, km).
| Multipli | Unitate principală | Submultipli |
|---|---|---|
| kilometrul (km) hectometrul (hm) decametrul (dam) |
metrul (m) | decimetrul (dm) centimetrul (cm) milimetrul (mm) |
Reguli de transformare:
• Din unitate mare în mică (coborârea scării): se înmulțește cu 10, 100 sau 1000.
• Din unitate mică în mare (urcarea scării): se împarte la 10, 100 sau 1000.
• Din unitate mare în mică (coborârea scării): se înmulțește cu 10, 100 sau 1000.
• Din unitate mică în mare (urcarea scării): se împarte la 10, 100 sau 1000.
\[ 7000 \text{ m} = 7000 : 1000 = 7 \text{ km} \]
\[ 4 \text{ m} = 4 \times 1000 = 4000 \text{ mm} \]
Dacă o hartă are scara \( 1:400\ 000 \), înseamnă că \( 1 \text{ cm} \) pe hartă reprezintă \( 400\ 000 \text{ cm} \) în realitate.
\( 400\ 000 \text{ cm} = 4\ 000 \text{ m} = 4 \text{ km} \).
\( 400\ 000 \text{ cm} = 4\ 000 \text{ m} = 4 \text{ km} \).
Unitatea principală pentru măsurarea volumului este litrul (l).
Relații între unități:
\( 1 \text{ kl} = 10 \text{ hl} = 100 \text{ dal} = 1\ 000 \text{ l} \)
\( 1 \text{ l} = 10 \text{ dl} = 100 \text{ cl} = 1\ 000 \text{ ml} \)
\( 1 \text{ kl} = 10 \text{ hl} = 100 \text{ dal} = 1\ 000 \text{ l} \)
\( 1 \text{ l} = 10 \text{ dl} = 100 \text{ cl} = 1\ 000 \text{ ml} \)
Pentru a umple o cisternă de \( 1 \text{ kl} \) sunt necesare:
• \( 1\ 000 \) sticle de \( 1 \text{ l} \)
• \( 100 \) găleți de \( 1 \text{ dal} \)
• \( 10 \) butoaie de \( 1 \text{ hl} \)
• \( 1\ 000 \) sticle de \( 1 \text{ l} \)
• \( 100 \) găleți de \( 1 \text{ dal} \)
• \( 10 \) butoaie de \( 1 \text{ hl} \)
Transformări:
Din mare în mic (înmulțire): \( 5 \text{ l} = 5 \times 1\ 000 = 5\ 000 \text{ ml} \)
Din mic în mare (împărțire): \( 9\ 000 \text{ l} = 9\ 000 : 1\ 000 = 9 \text{ kl} \)
Din mare în mic (înmulțire): \( 5 \text{ l} = 5 \times 1\ 000 = 5\ 000 \text{ ml} \)
Din mic în mare (împărțire): \( 9\ 000 \text{ l} = 9\ 000 : 1\ 000 = 9 \text{ kl} \)
Unitatea principală este kilogramul (kg), deși multiplii și submultiplii se formează de la unitatea de bază, gramul (g).
Multiplii și submultiplii principali:
\( 1 \text{ t (tonă)} = 1\ 000 \text{ kg} \)
\( 1 \text{ q (chintal)} = 100 \text{ kg} \)
\( 1 \text{ kg} = 10 \text{ hg} = 100 \text{ dag} = 1\ 000 \text{ g} \)
\( 1 \text{ g} = 10 \text{ dg} = 100 \text{ cg} = 1\ 000 \text{ mg} \)
\( 1 \text{ t (tonă)} = 1\ 000 \text{ kg} \)
\( 1 \text{ q (chintal)} = 100 \text{ kg} \)
\( 1 \text{ kg} = 10 \text{ hg} = 100 \text{ dag} = 1\ 000 \text{ g} \)
\( 1 \text{ g} = 10 \text{ dg} = 100 \text{ cg} = 1\ 000 \text{ mg} \)
\[ 2 \text{ kg} = 2 \times 1\ 000 = 2\ 000 \text{ g} \]
\[ 7\ 000 \text{ kg} = 7\ 000 : 1\ 000 = 7 \text{ t} \]
Timpul se măsoară în secunde, minute, ore, zile, săptămâni, luni, ani, decenii, secole (veacuri) și milenii.
Echivalențe:
\( 1 \text{ minut} = 60 \text{ secunde} \)
\( 1 \text{ oră} = 60 \text{ minute} \)
\( 1 \text{ zi} = 24 \text{ ore} \)
\( 1 \text{ săptămână} = 7 \text{ zile} \)
\( 1 \text{ an} = 12 \text{ luni} = 365 \text{ sau } 366 \text{ de zile} \) (an bisect)
\( 1 \text{ deceniu} = 10 \text{ ani} \)
\( 1 \text{ secol (veac)} = 100 \text{ ani} \)
\( 1 \text{ mileniu} = 1\ 000 \text{ ani} \)
\( 1 \text{ minut} = 60 \text{ secunde} \)
\( 1 \text{ oră} = 60 \text{ minute} \)
\( 1 \text{ zi} = 24 \text{ ore} \)
\( 1 \text{ săptămână} = 7 \text{ zile} \)
\( 1 \text{ an} = 12 \text{ luni} = 365 \text{ sau } 366 \text{ de zile} \) (an bisect)
\( 1 \text{ deceniu} = 10 \text{ ani} \)
\( 1 \text{ secol (veac)} = 100 \text{ ani} \)
\( 1 \text{ mileniu} = 1\ 000 \text{ ani} \)
Operații cu unități de timp:
Pentru a transforma unități mari în unități mici se folosește înmulțirea.
\( 3 \text{ ani} = 3 \times 12 = 36 \text{ luni} \)
\( 3 \text{ ore și } 40 \text{ minute} = (3 \times 60) + 40 = 180 + 40 = 220 \text{ minute} \)
Pentru a transforma unități mari în unități mici se folosește înmulțirea.
\( 3 \text{ ani} = 3 \times 12 = 36 \text{ luni} \)
\( 3 \text{ ore și } 40 \text{ minute} = (3 \times 60) + 40 = 180 + 40 = 220 \text{ minute} \)
Sistemul monetar românesc folosește leul și banul, iar cel european folosește euro și eurocentul.
\( 1 \text{ leu} = 100 \text{ bani} \)
\( 1 \text{ euro} = 100 \text{ eurocenți} \)
\( 1 \text{ euro} = 100 \text{ eurocenți} \)
Sume mixte:
\( 3 \text{ lei și } 20 \text{ bani} = 300 \text{ bani} + 20 \text{ bani} = 320 \text{ bani} \)
O sumă de \( 425 \text{ lei} \) poate fi formată din: \( 4 \times 100 \text{ lei} + 2 \times 10 \text{ lei} + 1 \times 5 \text{ lei} \).
\( 3 \text{ lei și } 20 \text{ bani} = 300 \text{ bani} + 20 \text{ bani} = 320 \text{ bani} \)
O sumă de \( 425 \text{ lei} \) poate fi formată din: \( 4 \times 100 \text{ lei} + 2 \times 10 \text{ lei} + 1 \times 5 \text{ lei} \).
Probleme de exersare
Ușoară: O distanță măsoară \( 5 \text{ km} \). Câți metri reprezintă această distanță?
Știm că \( 1 \text{ km} = 1\ 000 \text{ m} \).
\( 5 \text{ km} = 5 \times 1\ 000 = 5\ 000 \text{ m} \).
Răspuns: \( 5\ 000 \text{ m} \).
\( 5 \text{ km} = 5 \times 1\ 000 = 5\ 000 \text{ m} \).
Răspuns: \( 5\ 000 \text{ m} \).
Medie: Câte minute sunt, în total, în \( 4 \text{ ore și } 25 \text{ de minute} \)?
Transformăm orele în minute, știind că \( 1 \text{ oră} = 60 \text{ minute} \).
\( 4 \text{ ore} = 4 \times 60 = 240 \text{ minute} \).
Adunăm restul de minute: \( 240 + 25 = 265 \text{ minute} \).
Răspuns: \( 265 \text{ minute} \).
\( 4 \text{ ore} = 4 \times 60 = 240 \text{ minute} \).
Adunăm restul de minute: \( 240 + 25 = 265 \text{ minute} \).
Răspuns: \( 265 \text{ minute} \).
Dificilă: Un fermier are un butoi cu capacitatea de \( 1 \text{ hl} \) și o cisternă cu capacitatea de \( 1 \text{ kl} \). Câte sticle de \( 1 \text{ l} \) sunt necesare pentru a umple complet ambele recipiente?
Aducem toate capacitățile la aceeași unitate (litrul):
• Pentru butoi: \( 1 \text{ hl} = 100 \text{ l} \) (sunt necesare \( 100 \) de sticle).
• Pentru cisternă: \( 1 \text{ kl} = 1\ 000 \text{ l} \) (sunt necesare \( 1\ 000 \) de sticle).
Totalul sticlelor: \( 100 + 1\ 000 = 1\ 100 \text{ sticle} \).
Răspuns: Sunt necesare \( 1\ 100 \text{ sticle} \).
• Pentru butoi: \( 1 \text{ hl} = 100 \text{ l} \) (sunt necesare \( 100 \) de sticle).
• Pentru cisternă: \( 1 \text{ kl} = 1\ 000 \text{ l} \) (sunt necesare \( 1\ 000 \) de sticle).
Totalul sticlelor: \( 100 + 1\ 000 = 1\ 100 \text{ sticle} \).
Răspuns: Sunt necesare \( 1\ 100 \text{ sticle} \).
Dificilă: Cumpărați o carte care costă \( 45 \text{ lei și } 50 \text{ bani} \). Plătiți cu o bancnotă de \( 50 \text{ lei} \). Câți bani veți primi rest? Exprimați rezultatul în lei și bani.
Transformăm sumele în bani pentru a efectua scăderea mai ușor, știind că \( 1 \text{ leu} = 100 \text{ bani} \):
Suma plătită: \( 50 \text{ lei} = 5\ 000 \text{ bani} \).
Prețul cărții: \( 45 \text{ lei și } 50 \text{ bani} = 4\ 500 + 50 = 4\ 550 \text{ bani} \).
Restul: \( 5\ 000 - 4\ 550 = 450 \text{ bani} \).
Transformăm înapoi în lei și bani: \( 450 \text{ bani} = 4 \text{ lei și } 50 \text{ bani} \).
Răspuns: Restul este \( 4 \text{ lei și } 50 \text{ bani} \).
Suma plătită: \( 50 \text{ lei} = 5\ 000 \text{ bani} \).
Prețul cărții: \( 45 \text{ lei și } 50 \text{ bani} = 4\ 500 + 50 = 4\ 550 \text{ bani} \).
Restul: \( 5\ 000 - 4\ 550 = 450 \text{ bani} \).
Transformăm înapoi în lei și bani: \( 450 \text{ bani} = 4 \text{ lei și } 50 \text{ bani} \).
Răspuns: Restul este \( 4 \text{ lei și } 50 \text{ bani} \).
