Cele mai importante aspecte ale lecției
- Sistemul zecimal este pozițional. Poziția cifrei determină ordinul (unități, zeci, sute) și clasa (unități, mii, milioane etc.).
- Scrierea literală: \( \overline{abc} = a \cdot 100 + b \cdot 10 + c \). Exemplu: \( 437 = 4 \cdot 100 + 3 \cdot 10 + 7 \).
- Axa numerelor are o origine (punctul \( O \), corespunzător lui \( 0 \)), o unitate de măsură și un sens pozitiv (săgeată).
- Comparare: \( 2 \ 541 > 985 \) (mai multe cifre); pentru număr egal de cifre: \( 5 \ 320 > 5 \ 290 \) (la sute \( 3 > 2 \)).
- Aproximări (pentru numărul 136): prin lipsă la zeci este \( 130 \), prin adaos la zeci este \( 140 \), iar rotunjirea la zeci este \( 140 \) (deoarece \( 6 \geq 5 \)).
Scriere pozițională: Sistemul în care valoarea unei cifre depinde de poziția pe care o ocupă în scrierea numărului.
Clase și ordine: Fiecare grup de trei cifre, de la dreapta la stânga, formează o clasă (clasa unităților, a miilor, a milioanelor, a miliardelor etc.). În fiecare clasă există trei ordine: unități, zeci și sute.
Zece unități de un anumit ordin formează o unitate de ordin imediat superior (sistem în baza 10).
| Clasa milioanelor | Clasa miilor | Clasa unităților | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Sute (S) | Zeci (Z) | Unități (U) | Sute (S) | Zeci (Z) | Unități (U) | Sute (S) | Zeci (Z) | Unități (U) |
\( 10 \text{ sute de mii} = 1 \text{ milion} \)
\( 10 \text{ milioane} = 1 \text{ zece de milioane} \)
\( 10 \text{ milioane} = 1 \text{ zece de milioane} \)
Orice număr natural se poate scrie ca o sumă de produse între cifrele sale și unitățile ordinelor corespunzătoare.
\[ \overline{abc} = a \cdot 100 + b \cdot 10 + c \]
\[ \overline{abcd} = a \cdot 1000 + b \cdot 100 + c \cdot 10 + d \]
unde \( a, b, c, d \) sunt cifre, iar prima cifră \( a \neq 0 \).
Răsturnatul unui număr: Numărul obținut prin scrierea cifrelor în ordine inversă. Răsturnatul numărului \( \overline{abc} \) este \( \overline{cba} \) (cu condiția \( c \neq 0 \)).
Descompunerea zecimală a numărului \( 582 \):
\[ 582 = 5 \cdot 100 + 8 \cdot 10 + 2 \]
Răsturnatul numărului \( 582 \) este \( 285 \).
O dreaptă pe care s-au stabilit elementele necesare reprezentării geometrice a numerelor.
1. Originea (O): Punctul de pe axă căruia îi corespunde numărul \( 0 \).
2. Sensul pozitiv: Indicat de obicei printr-o săgeată, de la stânga la dreapta.
3. Unitatea de măsură: Un segment de lungime aleasă convențional, care se repetă în mod egal de la origine spre dreapta.
Regula 1: Dintre două numere naturale cu număr diferit de cifre, este mai mare cel care are mai multe cifre.
Regula 2: Dacă numerele au același număr de cifre, se compară cifră cu cifră de la stânga (ordinul cel mai mare) la dreapta, până când se găsesc două cifre diferite. Este mai mare numărul cu cifra respectivă mai mare.
Regula 3: Pe axa numerelor, numărul situat mai la dreapta este mai mare.
- \( 123 \ 456 > 9 \ 876 \) (primul are 6 cifre, al doilea are 4 cifre).
- \( 45 \ 832 < 45 \ 910 \) (primele cifre diferite de la stânga la dreapta sunt la ordinul sutelor, unde \( 8 < 9 \)).
Aproximarea prin lipsă: Înlocuirea cifrelor ordinelor inferioare celui ales cu zero, păstrând neschimbată cifra ordinului respectiv.
Aproximarea prin adaos: Înlocuirea cifrelor ordinelor inferioare celui ales cu zero și mărirea cifrei ordinului respectiv cu o unitate.
Rotunjirea: Aproximarea (prin lipsă sau prin adaos) cea mai apropiată de numărul inițial. Dacă prima cifră care se înlocuiește cu zero este mai mică decât 5 (\(0, 1, 2, 3, 4\)), rotunjirea coincide cu aproximarea prin lipsă. Dacă este 5 sau mai mare (\(5, 6, 7, 8, 9\)), rotunjirea coincide cu aproximarea prin adaos.
Pentru numărul \( 7 \ 483 \):
- Aproximarea prin lipsă la sute: \( 7 \ 400 \)
- Aproximarea prin adaos la sute: \( 7 \ 500 \)
- Rotunjirea la sute: \( 7 \ 500 \) (cifra zecilor este \( 8 \geq 5 \), deci aproximăm prin adaos)
Probleme practice
Problema 1 (Ușoară): Reprezentați ca sumă de produse numărul \( 4 \ 029 \). Aflați apoi răsturnatul acestui număr.
Descompunerea zecimală este:
\[ 4 \ 029 = 4 \cdot 1000 + 0 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 9 \cdot 1 \]
Răsturnatul numărului \( 4 \ 029 \) se obține scriind cifrele în ordine inversă:
\[ 9 \ 204 \]
Problema 2 (Medie): Determinați cifrele \( a \) și \( b \) pentru care numărul de trei cifre \( \overline{3a4} \geq \overline{36b} \).
Deoarece cifrele sutelor sunt egale (\( 3 = 3 \)), comparăm cifrele zecilor:
- Dacă \( a > 6 \), adică \( a \in \{7, 8, 9\} \), atunci inegalitatea este adevărată pentru orice cifră \( b \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \).
- Dacă \( a = 6 \), relația devine \( \overline{364} \geq \overline{36b} \), de unde rezultă că cifra unităților \( 4 \geq b \), adică \( b \in \{0, 1, 2, 3, 4\} \).
Problema 3 (Dificilă): Determinați toate numerele naturale de forma \( \overline{2x5} \) care se rotunjesc la mii ca fiind \( 0 \), iar la sute se rotunjesc ca fiind \( 300 \).
1. Pentru ca un număr de trei cifre \( \overline{2x5} \) să se rotunjească la mii ca fiind \( 0 \), cifra sutelor (care este 2) trebuie să fie mai mică decât 5. Întrucât \( 2 < 5 \), orice număr de forma \( \overline{2x5} \) se rotunjește la mii prin lipsă, obținându-se \( 0 \). Această condiție este verificată pentru orice cifră \( x \).
2. Pentru ca numărul \( \overline{2x5} \) să se rotunjească la sute ca fiind \( 300 \), trebuie să facem aproximarea prin adaos. Aceasta are loc dacă prima cifră din dreapta sutelor (cifra zecilor, \( x \)) este mai mare sau egală cu 5.
Prin urmare, \( x \in \{5, 6, 7, 8, 9\} \).
Răspuns: Numerele căutate sunt: \( 255, 265, 275, 285, 295 \).
