Cele mai importante aspecte ale lecției
Aria măsoară mărimea unei suprafețe. Unitatea principală este metrul pătrat (\( \text{m}^2 \)).
Unități agricole: \( 1 \text{ ar} = 1 \text{ dam}^2 = 100 \text{ m}^2 \) și \( 1 \text{ ha} = 1 \text{ hm}^2 = 10\,000 \text{ m}^2 \).
Regulă de transformare: La trecerea dintr-o unitate în alta imediat vecină, înmulțim sau împărțim cu \( 100 \) (\( 10^2 \)).
Formule esențiale:
Unități agricole: \( 1 \text{ ar} = 1 \text{ dam}^2 = 100 \text{ m}^2 \) și \( 1 \text{ ha} = 1 \text{ hm}^2 = 10\,000 \text{ m}^2 \).
Regulă de transformare: La trecerea dintr-o unitate în alta imediat vecină, înmulțim sau împărțim cu \( 100 \) (\( 10^2 \)).
Formule esențiale:
- Aria pătratului: \( \mathcal{A} = l^2 \)
- Aria dreptunghiului: \( \mathcal{A} = L \cdot l \)
Suprafața unei figuri geometrice este formată din toate punctele interioare ale acesteia, împreună cu toate punctele care aparțin laturilor sale.
Aria reprezintă măsura unei suprafețe. Ea ne arată de câte ori o anumită unitate de măsură aleasă se cuprinde în suprafața respectivă.
Două figuri geometrice care au aceeași arie se numesc figuri geometrice echivalente.
Unitatea principală de măsură pentru arie este metrul pătrat, notat \( \text{m}^2 \). Acesta reprezintă aria unui pătrat care are latura de \( 1 \text{ m} \).
Pentru a măsura suprafețe mai mari sau mai mici decât metrul pătrat, se folosesc multiplii și submultiplii acestuia:
| Categorie | Unitate de măsură | Simbol | Echivalent în \( \text{m}^2 \) |
|---|---|---|---|
| Multiplii (pentru suprafețe mari) | Kilometrul pătrat | \( \text{km}^2 \) | \( 1\,000\,000 \text{ m}^2 \) |
| Hectometrul pătrat (Hectarul) | \( \text{hm}^2 \) / \( \text{ha} \) | \( 10\,000 \text{ m}^2 \) | |
| Decametrul pătrat (Arul) | \( \text{dam}^2 \) / \( \text{ar} \) | \( 100 \text{ m}^2 \) | |
| Unitatea principală | Metrul pătrat | \( \text{m}^2 \) | \( 1 \text{ m}^2 \) |
| Submultiplii (pentru suprafețe mici) | Decimetrul pătrat | \( \text{dm}^2 \) | \( 0,01 \text{ m}^2 \) |
| Centimetrul pătrat | \( \text{cm}^2 \) | \( 0,0001 \text{ m}^2 \) | |
| Milimetrul pătrat | \( \text{mm}^2 \) | \( 0,000001 \text{ m}^2 \) |
- Arul (ar): este o altă denumire pentru decametrul pătrat (\( 1 \text{ ar} = 1 \text{ dam}^2 = 100 \text{ m}^2 \)).
- Hectarul (ha): este o altă denumire pentru hectometrul pătrat (\( 1 \text{ ha} = 1 \text{ hm}^2 = 10\,000 \text{ m}^2 \)).
Deoarece unitățile de măsură pentru arie sunt la puterea a doua, fiecare treaptă de transformare implică un factor de \( 10^2 = 100 \).
Se face prin înmulțire cu \( 100 \) pentru fiecare treaptă coborâtă.
Transformăm \( 5 \text{ m}^2 \) în \( \text{dm}^2 \):
\[ 5 \text{ m}^2 = 5 \cdot 100 \text{ dm}^2 = 500 \text{ dm}^2 \]
Se face prin împărțire la \( 100 \) pentru fiecare treaptă urcată.
Transformăm \( 12\,000 \text{ m}^2 \) în ari (\( \text{dam}^2 \)):
\[ 12\,000 \text{ m}^2 = 12\,000 : 100 \text{ dam}^2 = 120 \text{ ari} \]
În calculele de adunare sau scădere cu arii, valorile trebuie să fie mai întâi exprimate în aceeași unitate de măsură.
Aria pătratului (\( \mathcal{A} \)) este egală cu produsul dintre lungimea laturii cu ea însăși (latura la pătrat).
\[ \mathcal{A} = l \cdot l = l^2 \]
unde \( l \) reprezintă lungimea laturii pătratului.
Dacă latura unui pătrat este de \( 6 \text{ cm} \), aria sa este:
\[ \mathcal{A} = 6^2 = 36 \text{ cm}^2 \]
Aria dreptunghiului (\( \mathcal{A} \)) este egală cu produsul dintre lungimea și lățimea sa.
\[ \mathcal{A} = L \cdot l \]
unde \( L \) este lungimea, iar \( l \) este lățimea dreptunghiului.
Dacă un dreptunghi are lungimea \( L = 8 \text{ dm} \) și lățimea \( l = 5 \text{ dm} \), aria sa este:
\[ \mathcal{A} = 8 \cdot 5 = 40 \text{ dm}^2 \]
Probleme practice
Problema 1 (Ușoară): Efectuați următoarea transformare: \( 3,5 \text{ hm}^2 = \text{... } \text{m}^2 \).
De la \( \text{hm}^2 \) la \( \text{m}^2 \) coborâm două trepte pe scara unităților de măsură (\( \text{hm}^2 \rightarrow \text{dam}^2 \rightarrow \text{m}^2 \)).
Prin urmare, înmulțim cu \( 100 \cdot 100 = 10\,000 \): \[ 3,5 \text{ hm}^2 = 3,5 \cdot 10\,000 = 35\,000 \text{ m}^2 \] Răspuns: \( 35\,000 \text{ m}^2 \)
Prin urmare, înmulțim cu \( 100 \cdot 100 = 10\,000 \): \[ 3,5 \text{ hm}^2 = 3,5 \cdot 10\,000 = 35\,000 \text{ m}^2 \] Răspuns: \( 35\,000 \text{ m}^2 \)
Problema 2 (Medie): Un dreptunghi are lungimea de \( 1,5 \text{ m} \) și lățimea de \( 4 \text{ dm} \). Calculați aria dreptunghiului, exprimând rezultatul în centimetri pătrați (\( \text{cm}^2 \)).
Mai întâi transformăm dimensiunile dreptunghiului în centimetri (\( \text{cm} \)):
- \( L = 1,5 \text{ m} = 1,5 \cdot 100 = 150 \text{ cm} \)
- \( l = 4 \text{ dm} = 4 \cdot 10 = 40 \text{ cm} \)
Problema 3 (Dificilă): Un teren agricol în formă de pătrat are perimetrul de \( 800 \text{ metri} \). Aflați suprafața acestui teren exprimată în hectare (\( \text{ha} \)).
- Aflăm lungimea laturii pătratului folosind perimetrul (\( \mathcal{P} = 4 \cdot l \)): \[ l = \mathcal{P} : 4 = 800 : 4 = 200 \text{ m} \]
- Calculăm aria terenului în metri pătrați: \[ \mathcal{A} = l^2 = 200^2 = 40\,000 \text{ m}^2 \]
- Transformăm suprafața obținută din \( \text{m}^2 \) în hectare (\( \text{ha} \)), știind că \( 1 \text{ ha} = 10\,000 \text{ m}^2 \): \[ \mathcal{A} = 40\,000 : 10\,000 = 4 \text{ ha} \]
