Cele mai importante aspecte ale lecției
Numărul rațional pozitiv: Reprezintă o valoare ce poate fi scrisă ca fracție ordinară, zecimală sau procent (\(\frac{1}{2} = 0,5 = 50\%\)). Orice număr natural este, de asemenea, un număr rațional (\(3 = \frac{3}{1}\)).
Ordinea operațiilor: Se rezolvă în ordine: Puteri \(\rightarrow\) Înmulțiri și Împărțiri \(\rightarrow\) Adunări și Scăderi.
Paranteze: Se rezolvă mai întâi parantezele rotunde \(( )\), urmate de cele drepte \([ ]\) și apoi acoladele \(\{ \}\).
Sfat practic: Când lucrați cu tipuri diferite de fracții, aduceți-le la aceeași formă înainte de a începe calculele.
Ordinea operațiilor: Se rezolvă în ordine: Puteri \(\rightarrow\) Înmulțiri și Împărțiri \(\rightarrow\) Adunări și Scăderi.
Paranteze: Se rezolvă mai întâi parantezele rotunde \(( )\), urmate de cele drepte \([ ]\) și apoi acoladele \(\{ \}\).
Sfat practic: Când lucrați cu tipuri diferite de fracții, aduceți-le la aceeași formă înainte de a începe calculele.
Un număr rațional pozitiv este un număr care poate fi exprimat sub trei forme diferite: fracție ordinară, fracție zecimală sau procent.
Un număr rațional pozitiv se scrie sub forma unei fracții ordinare \(\frac{a}{b}\), unde \(a\) și \(b\) sunt numere naturale, cu \(b \neq 0\).
Următoarele scrieri reprezintă de fapt același număr rațional pozitiv:
- Fracție ordinară: \(\frac{1}{4}\)
- Fracție zecimală: \(0,25\)
- Procent: \(25\%\)
Toate numerele naturale sunt numere raționale, deoarece orice număr natural \(n\) poate fi scris ca o fracție cu numitorul 1:
\[ n = \frac{n}{1} \quad \left(\text{de exemplu, } 5 = \frac{5}{1}\right) \]
Scrieți numărul rațional \(0,8\) sub formă de fracție ordinară ireductibilă și sub formă de procent.
Transformăm fracția zecimală în fracție ordinară și simplificăm:
\[ 0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \]
Pentru a scrie ca procent, amplificăm fracția cu 20 pentru a obține numitorul 100:
\[ \frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 20}{5 \cdot 20} = \frac{80}{100} = 80\% \]
La efectuarea operațiilor cu numere raționale se aplică aceleași reguli de prioritate ca și la numerele naturale.
Ridicarea la putere se efectuează prima.
Înmulțirea și împărțirea se efectuează în ordinea în care sunt scrise, de la stânga la dreapta.
Adunarea și scăderea se efectuează la final, în ordinea în care sunt scrise, de la stânga la dreapta.
Dacă într-un exercițiu apar atât fracții ordinare, cât și fracții zecimale, se recomandă transformarea fracțiilor zecimale în fracții ordinare (sau invers, dacă este posibil) pentru a lucra cu un singur tip de fracție.
Calculați: \(1,2^2 + 0,1 \cdot 3\)
Mai întâi efectuăm ridicarea la putere: \(1,2^2 = 1,44\).
Apoi înmulțirea: \(0,1 \cdot 3 = 0,3\).
La final, adunarea: \(1,44 + 0,3 = 1,74\).
Mai întâi efectuăm ridicarea la putere: \(1,2^2 = 1,44\).
Apoi înmulțirea: \(0,1 \cdot 3 = 0,3\).
La final, adunarea: \(1,44 + 0,3 = 1,74\).
Când exercițiul conține paranteze, ordinea efectuării operațiilor este dictată de tipul parantezelor:
Se efectuează operațiile din parantezele rotunde \(( \ )\).
Se efectuează operațiile din parantezele drepte \([ \ ]\).
Se efectuează operațiile din acolade \(\{ \ \}\).
Efectuați calculele:
\[ \left[ \left( \frac{5}{4} - 0,25 \right)^2 + 1 \right] \cdot 0,5 \]
Transformăm \(0,25 = \frac{1}{4}\) și \(0,5 = \frac{1}{2}\):
\[ \left[ \left( \frac{5}{4} - \frac{1}{4} \right)^2 + 1 \right] \cdot \frac{1}{2} = \left[ \left( \frac{4}{4} \right)^2 + 1 \right] \cdot \frac{1}{2} \]
Efectuăm calculul din paranteza rotundă: \(\frac{4}{4} = 1\).
\[ \left[ 1^2 + 1 \right] \cdot \frac{1}{2} = [1 + 1] \cdot \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \]
Probleme practice
Problema 1 (Dificultate: Ușoară)
Calculați valoarea expresiei: \[ A = 4,5 + 2,3 \cdot 4 - 5,2 \]
Calculați valoarea expresiei: \[ A = 4,5 + 2,3 \cdot 4 - 5,2 \]
Efectuăm mai întâi înmulțirea (operație de ordinul II):
\[ 2,3 \cdot 4 = 9,2 \]
Expresia devine:
\[ A = 4,5 + 9,2 - 5,2 \]
Efectuăm operațiile de adunare și scădere în ordinea scrierii, de la stânga la dreapta:
\[ A = 13,7 - 5,2 = 8,5 \]
Răspuns: \(8,5\)
Problema 2 (Dificultate: Medie)
Calculați rezultatul exercițiului: \[ B = \left( \frac{3}{5} - 0,1 \right)^2 \cdot 12 + 0,7 \]
Calculați rezultatul exercițiului: \[ B = \left( \frac{3}{5} - 0,1 \right)^2 \cdot 12 + 0,7 \]
Transformăm fracția ordinară în fracție zecimală: \(\frac{3}{5} = 0,6\).
Rezolvăm operația din paranteza rotundă: \[ 0,6 - 0,1 = 0,5 \] Efectuăm ridicarea la putere: \[ 0,5^2 = 0,25 \] Efectuăm înmulțirea: \[ 0,25 \cdot 12 = 3 \] La final, efectuăm adunarea: \[ 3 + 0,7 = 3,7 \] Răspuns: \(3,7\)
Rezolvăm operația din paranteza rotundă: \[ 0,6 - 0,1 = 0,5 \] Efectuăm ridicarea la putere: \[ 0,5^2 = 0,25 \] Efectuăm înmulțirea: \[ 0,25 \cdot 12 = 3 \] La final, efectuăm adunarea: \[ 3 + 0,7 = 3,7 \] Răspuns: \(3,7\)
Problema 3 (Dificultate: Dificilă)
Determinați valoarea expresiei: \[ C = \left\{ 3,8 + 2 \cdot \left[ \left( \frac{1}{2} \right)^3 + 0,125 \right] \right\} : 0,1 \]
Determinați valoarea expresiei: \[ C = \left\{ 3,8 + 2 \cdot \left[ \left( \frac{1}{2} \right)^3 + 0,125 \right] \right\} : 0,1 \]
Rezolvăm ridicarea la putere din paranteza rotundă:
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} = 0,125 \]
Efectuăm suma din paranteza dreaptă:
\[ 0,125 + 0,125 = 0,25 \]
Expresia devine:
\[ C = \{ 3,8 + 2 \cdot 0,25 \} : 0,1 \]
Efectuăm înmulțirea din acoladă:
\[ 2 \cdot 0,25 = 0,5 \]
Efectuăm adunarea din acoladă:
\[ 3,8 + 0,5 = 4,3 \]
La final, realizăm împărțirea:
\[ 4,3 : 0,1 = 43 \]
Răspuns: \(43\)
