Cele mai importante aspecte ale lecției
Metoda mersului invers presupune reconstituirea operațiilor de la sfârșit spre început.
Fiecare operație directă este înlocuită cu inversa ei în ordinea inversă a efectuării lor: \[ \text{Rezultat final} \xrightarrow{\text{Operații inverse}} \text{Valoare inițială} \] Exemplu rapid: \[ (x + 3) \cdot 4 = 20 \Rightarrow x + 3 = 20 : 4 \Rightarrow x + 3 = 5 \Rightarrow x = 5 - 3 \Rightarrow x = 2 \]
Fiecare operație directă este înlocuită cu inversa ei în ordinea inversă a efectuării lor: \[ \text{Rezultat final} \xrightarrow{\text{Operații inverse}} \text{Valoare inițială} \] Exemplu rapid: \[ (x + 3) \cdot 4 = 20 \Rightarrow x + 3 = 20 : 4 \Rightarrow x + 3 = 5 \Rightarrow x = 5 - 3 \Rightarrow x = 2 \]
Metoda mersului invers este o metodă aritmetică folosită pentru a rezolva probleme în care numărul necunoscut se află la începutul unui șir de calcule, iar rezultatul final este cunoscut.
Rezolvarea se realizează parcurgând operațiile de la sfârșit către început (în sens invers acțiunii din problemă) și înlocuind fiecare operație cu operația sa inversă:
- Adunarea \((+)\) devine Scădere \((-)\)
- Scăderea \((-)\) devine Adunare \((+)\)
- Înmulțirea \((\cdot)\) devine Împărțire \((:)\)
- Împărțirea \((:)\) devine Înmulțire \((\cdot)\)
Pentru ușurința calculelor, se recomandă notarea numărului necunoscut cu o literă (de exemplu, \(x\)) și scrierea problemei sub formă de ecuație.
Aflarea numărului necunoscut în funcție de operație:
- Adunare: \(x + a = b \Rightarrow x = b - a\)
- Scădere (aflarea descăzutului): \(x - a = b \Rightarrow x = b + a\)
- Scădere (aflarea scăzătorului): \(a - x = b \Rightarrow x = a - b\)
- Înmulțire: \(x \cdot a = b \Rightarrow x = b : a\)
- Împărțire (aflarea deîmpărțitului): \(x : a = b \Rightarrow x = b \cdot a\)
- Împărțire (aflarea împărțitorului): \(a : x = b \Rightarrow x = a : b\)
Să determinăm numărul \(x\) pentru care:
\[ 576 : x = 64 \]
Deoarece \(x\) este împărțitorul, aplicăm regula de aflare a împărțitorului:
\[ x = 576 : 64 \Rightarrow x = 9 \]
Scriem ecuația corespunzătoare problemei sau realizăm o diagramă de flux a operațiilor.
Efectuăm operațiile în ordine inversă, pornind de la rezultatul final și izolând pe rând parantezele sau termenii care îl conțin pe \(x\).
Facem proba (verificarea) prin introducerea numărului găsit în ecuația inițială și efectuarea calculelor în ordinea firească a operațiilor.
Să găsim numerele \(a, b, c, d\) din diagrama de flux:
\(a \xrightarrow{:5} b \xrightarrow{+26} c \xrightarrow{\cdot 13} d \xrightarrow{-150} 500\)
Aplicăm operațiile inverse de la dreapta la stânga:
\(a \xrightarrow{:5} b \xrightarrow{+26} c \xrightarrow{\cdot 13} d \xrightarrow{-150} 500\)
Aplicăm operațiile inverse de la dreapta la stânga:
- Aflăm \(d\): \(d - 150 = 500 \Rightarrow d = 500 + 150 = 650\)
- Aflăm \(c\): \(c \cdot 13 = d \Rightarrow c \cdot 13 = 650 \Rightarrow c = 650 : 13 = 50\)
- Aflăm \(b\): \(b + 26 = c \Rightarrow b + 26 = 50 \Rightarrow b = 50 - 26 = 24\)
- Aflăm \(a\): \(a : 5 = b \Rightarrow a : 5 = 24 \Rightarrow a = 24 \cdot 5 = 120\)
Aflați numărul \(x\) din ecuația: \((x \cdot 2 - 80) : 3 = 100\)
Aplicăm metoda mersului invers:
- \((x \cdot 2 - 80) = 100 \cdot 3\)
- \(x \cdot 2 - 80 = 300\)
- \(x \cdot 2 = 300 + 80\)
- \(x \cdot 2 = 380\)
- \(x = 380 : 2 \Rightarrow x = 190\)
Multe probleme în care se cheltuiește sau se consumă o fracție dintr-un rest (de exemplu, „jumătate din rest”, „o treime din noul rest”) se rezolvă cel mai ușor combinând mersul invers cu metoda segmentelor.
După ce a parcurs o cincime din drumul spre școală, Alina constată că din drumul rămas parcurge jumătate și îi mai rămân de parcurs 250 de metri. Care este lungimea totală a drumului?
Reprezentare grafică:
Rezolvare:
Reprezentare grafică:
Rezolvare:
- Dacă jumătatea rămasă din rest reprezintă \(250\text{ m}\), înseamnă că tot restul (înainte de a parcurge această jumătate) era de: \[2 \cdot 250 = 500\text{ m}\]
- Deoarece Alina parcursese deja o cincime din drum, restul de \(500\text{ m}\) reprezintă celelalte \(4\) cincimi ale drumului (\(5 - 1 = 4\) cincimi).
- Calculăm valoarea unei cincimi: \[500 : 4 = 125\text{ m}\]
- Lungimea totală a drumului (care are \(5\) cincimi) este: \[5 \cdot 125 = 625\text{ m}\]
Probleme practice
Problemă 1 (Ușoară): Aflați numărul necunoscut \(x\) din ecuația:
\[ (x + 12) \cdot 5 = 100 \]
Aplicăm operațiile inverse:
1) Pentru a elimina înmulțirea cu 5, împărțim rezultatul la 5: \[ x + 12 = 100 : 5 \] \[ x + 12 = 20 \]
2) Pentru a-l afla pe \(x\), scădem 12 din rezultat: \[ x = 20 - 12 \Rightarrow x = 8 \]
Răspuns: \(x = 8\).
1) Pentru a elimina înmulțirea cu 5, împărțim rezultatul la 5: \[ x + 12 = 100 : 5 \] \[ x + 12 = 20 \]
2) Pentru a-l afla pe \(x\), scădem 12 din rezultat: \[ x = 20 - 12 \Rightarrow x = 8 \]
Răspuns: \(x = 8\).
Problemă 2 (Medie): Dacă mărim treimea unui număr de \(5\) ori, iar din produsul obținut scădem \(20\) și apoi împărțim rezultatul la \(8\), obținem numărul \(20\). Care a fost numărul inițial?
Notăm numărul inițial cu \(x\).
Scriem ecuația corespunzătoare problemei: \[ [(x : 3) \cdot 5 - 20] : 8 = 20 \]
Rezolvăm prin metoda mersului invers:
Scriem ecuația corespunzătoare problemei: \[ [(x : 3) \cdot 5 - 20] : 8 = 20 \]
Rezolvăm prin metoda mersului invers:
- Înmulțim rezultatul cu 8 pentru a anula împărțirea: \[ (x : 3) \cdot 5 - 20 = 20 \cdot 8 \] \[ (x : 3) \cdot 5 - 20 = 160 \]
- Adunăm 20 pentru a anula scăderea: \[ (x : 3) \cdot 5 = 160 + 20 \] \[ (x : 3) \cdot 5 = 180 \]
- Împărțim la 5 pentru a anula înmulțirea: \[ x : 3 = 180 : 5 \] \[ x : 3 = 36 \]
- Înmulțim cu 3 pentru a afla numărul \(x\): \[ x = 36 \cdot 3 \Rightarrow x = 108 \]
Problemă 3 (Dificilă): O persoană își plătește facturile lunare cu o cincime din salariul său. Cu o treime din rest își cumpără un aspirator, iar după aceste cheltuieli îi mai rămân \(1\,600\) de lei. Cât este salariul lunar al acestei persoane?
Rezolvăm problema prin metoda mersului invers, folosind reprezentarea grafică (metoda segmentelor):
1. Reprezentăm grafic salariul complet ca un întreg format din \(5\) segmente egale (cincimi):
`|---|---|---|---|---|` (Salariul total)
* O cincime reprezintă facturile: `|---|` (primul segment).
* Restul rămas după plata facturilor este format din celelalte \(4\) segmente.
2. Din acest rest de \(4\) segmente, persoana cheltuiește o treime pentru aspirator, ceea ce înseamnă că îi rămân două treimi din rest.
Știm că suma rămasă este de \(1\,600\) de lei. Prin urmare, cele două treimi din rest reprezintă \(1\,600\) de lei.
* O treime din rest este: \(1\,600 : 2 = 800\) lei (valoarea aspiratorului).
* Întregul rest (înainte de cumpărarea aspiratorului) este: \(3 \cdot 800 = 2\,400\) lei.
3. Restul de \(2\,400\) lei reprezintă cele \(4\) cincimi din salariul total (după ce s-a scăzut o cincime pentru facturi).
* O cincime din salariu este: \(2\,400 : 4 = 600\) lei.
* Salariul total (cele \(5\) cincimi) este: \(5 \cdot 600 = 3\,000\) lei.
Răspuns: Salariul lunar al persoanei este de \(3\,000\) de lei.
1. Reprezentăm grafic salariul complet ca un întreg format din \(5\) segmente egale (cincimi):
`|---|---|---|---|---|` (Salariul total)
* O cincime reprezintă facturile: `|---|` (primul segment).
* Restul rămas după plata facturilor este format din celelalte \(4\) segmente.
2. Din acest rest de \(4\) segmente, persoana cheltuiește o treime pentru aspirator, ceea ce înseamnă că îi rămân două treimi din rest.
Știm că suma rămasă este de \(1\,600\) de lei. Prin urmare, cele două treimi din rest reprezintă \(1\,600\) de lei.
* O treime din rest este: \(1\,600 : 2 = 800\) lei (valoarea aspiratorului).
* Întregul rest (înainte de cumpărarea aspiratorului) este: \(3 \cdot 800 = 2\,400\) lei.
3. Restul de \(2\,400\) lei reprezintă cele \(4\) cincimi din salariul total (după ce s-a scăzut o cincime pentru facturi).
* O cincime din salariu este: \(2\,400 : 4 = 600\) lei.
* Salariul total (cele \(5\) cincimi) este: \(5 \cdot 600 = 3\,000\) lei.
Răspuns: Salariul lunar al persoanei este de \(3\,000\) de lei.
