Cele mai importante aspecte ale lecției
- Drepte coplanare: se află în același plan (pot fi identice, paralele sau concurente).
- Drepte paralele (\(d \parallel g\)): nu au niciun punct comun.
- Drepte concurente/secante: au exact un punct comun (\(M\)). Un caz particular sunt dreptele perpendiculare (formează unghiuri de \(90^\circ\)).
- Drepte identice (\(g = AB\)): au toate punctele comune.
Dreptele coplanare sunt acele drepte care se află în același plan.
Dreptele necoplanare sunt acele drepte care nu sunt situate în același plan.
În geometria plană studiată în gimnaziu, ne vom referi în mod special la pozițiile relative ale dreptelor coplanare (situate în același plan).
Două drepte coplanare se numesc paralele dacă nu au niciun punct comun, oricât de mult le-am prelungi.
Dacă dreapta \(d\) este paralelă cu dreapta \(g\), notăm acest lucru prin:
\[ d \parallel g \]
Șinele de cale ferată (pe o porțiune dreaptă) sau marginile opuse ale unui ecran de calculator reprezintă exemple practice de drepte paralele.
Două drepte se numesc concurente (sau secante) dacă au un singur punct comun.
Punctul comun al celor două drepte se numește punct de intersecție.
Citire: „Dreapta \(a\) este concurentă cu dreapta \(b\) în punctul \(M\)”.
Citire: „Dreapta \(a\) este concurentă cu dreapta \(b\) în punctul \(M\)”.
Un caz particular al dreptelor concurente sunt dreptele perpendiculare (care se intersectează formând unghiuri drepte, de \(90^\circ\)).
Liniile de marcaj care formează colțul unui teren de tenis sau marginile alăturate ale unui monitor sunt drepte perpendiculare.
Două drepte sunt identice (sau confundate) dacă au toate punctele comune. Practic, ele reprezintă aceeași dreaptă.
Dacă dreapta \(g\) trece prin punctele distincte \(A\) și \(B\) și este aceeași cu dreapta determinată de acestea, scriem:
\[ g = AB \]
Probleme practice
Problema 1 (Ușoară): Completează spațiile libere pentru a obține propoziții adevărate:
a) Două drepte care nu au niciun punct comun se numesc drepte ____________.
b) Două drepte care se intersectează în mod obligatoriu într-un singur punct se numesc drepte ____________.
c) Două drepte coplanare care au toate punctele comune se numesc drepte ____________.
a) Două drepte care nu au niciun punct comun se numesc drepte ____________.
b) Două drepte care se intersectează în mod obligatoriu într-un singur punct se numesc drepte ____________.
c) Două drepte coplanare care au toate punctele comune se numesc drepte ____________.
Folosind definițiile învățate:
a) Două drepte care nu au niciun punct comun se numesc drepte paralele.
b) Două drepte care se intersectează în mod obligatoriu într-un singur punct se numesc drepte concurente (sau secante).
c) Două drepte coplanare care au toate punctele comune se numesc drepte identice (sau confundate).
a) Două drepte care nu au niciun punct comun se numesc drepte paralele.
b) Două drepte care se intersectează în mod obligatoriu într-un singur punct se numesc drepte concurente (sau secante).
c) Două drepte coplanare care au toate punctele comune se numesc drepte identice (sau confundate).
Problema 2 (Medie): Analizează scrierea cu cifre romane a numărului \(12\), adică XII. Identifică tipurile de drepte sugerate de elementele grafice ale acestor simboluri.
Dacă privim liniile care compun simbolurile:
- În cadrul literei X, cele două segmente oblice se intersectează într-un singur punct, sugerând două drepte concurente.
- Cele două litere I sunt verticale și nu se intersectează, fiind sugerate două drepte paralele.
Problema 3 (Dificilă): Se consideră trei drepte distincte \(a\), \(b\) și \(c\) situate în același plan. Se știe că:
1. Dreapta \(a\) și dreapta \(b\) sunt paralele.
2. Punctul \(A\) aparține dreptei \(c\).
3. Cele trei drepte formează prin intersecția lor un triunghi.
- Dreptele \(a\) și \(b\) sunt concurente în punctul \(A\).
- Dreptele \(b\) și \(c\) sunt concurente în punctul \(B\).
- Dreptele \(a\) și \(c\) sunt concurente în punctul \(C\).
1. Dreapta \(a\) și dreapta \(b\) sunt paralele.
2. Punctul \(A\) aparține dreptei \(c\).
3. Cele trei drepte formează prin intersecția lor un triunghi.
Să analizăm fiecare afirmație:
- Fals. Din enunț se spune clar că dreptele \(a\) și \(b\) sunt concurente în punctul \(A\), deci nu pot fi paralele.
- Fals. Punctul \(A\) este punctul de intersecție dintre dreptele \(a\) și \(b\). Dreapta \(c\) trece prin punctele \(B\) (intersecția cu \(b\)) și \(C\) (intersecția cu \(a\)). Deoarece punctele \(A\), \(B\), \(C\) sunt distincte, punctul \(A\) nu se află pe dreapta \(c\).
- Adevărat. Cele trei drepte distincte se intersectează două câte două în puncte distincte (\(A\), \(B\), \(C\)), formând vârfurile unui triunghi.
