Cele mai importante aspecte ale lecției
Măsura unui unghi: Exprimă deschiderea dintre laturile sale. Nu depinde de lungimea fizică a semidreptelor.
Unități de măsură: Unitatea principală este gradul sexagesimal (\( 1^{\circ} \)). Submultiplii săi sunt minutul (\( 1' \)) și secunda (\( 1'' \)), unde \( 1^{\circ} = 60' \) și \( 1' = 60'' \).
Instrument de lucru: Raportorul este utilizat atât pentru a măsura unghiuri date, cât și pentru a le construi de la zero.
Congruență: Două unghiuri sunt congruente (\( \equiv \)) dacă au aceeași măsură. De exemplu, dacă \( \sphericalangle AOB = 35^{\circ} \) și \( \sphericalangle C pointer = 35^{\circ} \), atunci \( \sphericalangle AOB \equiv \sphericalangle C pointer \).
Unități de măsură: Unitatea principală este gradul sexagesimal (\( 1^{\circ} \)). Submultiplii săi sunt minutul (\( 1' \)) și secunda (\( 1'' \)), unde \( 1^{\circ} = 60' \) și \( 1' = 60'' \).
Instrument de lucru: Raportorul este utilizat atât pentru a măsura unghiuri date, cât și pentru a le construi de la zero.
Congruență: Două unghiuri sunt congruente (\( \equiv \)) dacă au aceeași măsură. De exemplu, dacă \( \sphericalangle AOB = 35^{\circ} \) și \( \sphericalangle C pointer = 35^{\circ} \), atunci \( \sphericalangle AOB \equiv \sphericalangle C pointer \).
Măsura unui unghi reprezintă deschiderea dintre laturile sale. Deoarece laturile sunt semidrepte (infinite), lungimea lor nu influențează măsura unghiului.
Unitatea principală de măsură pentru unghiuri este gradul sexagesimal, notat cu \( 1^{\circ} \).
Submultiplii gradului sunt:
- Minutul, notat cu \( 1' \)
- Secunda, notată cu \( 1'' \)
\[ 1^{\circ} = 60' \]
\[ 1' = 60'' \]
\[ 1^{\circ} = 3600'' \]
Pentru a transforma un unghi de \( 2^{\circ} \) în minute:
\[ 2^{\circ} = 2 \cdot 60' = 120' \]
Câte secunde are un unghi cu măsura de \( 5' \)?
Deoarece \( 1' = 60'' \), înmulțim numărul de minute cu 60:
\[ 5 \cdot 60'' = 300'' \]
Răspuns: \( 300 \) de secunde.
Două unghiuri care au aceeași măsură se numesc unghiuri congruente.
Dacă unghiul \( ABC \) este congruent cu unghiul \( MNP \), scriem:
\[ \sphericalangle ABC \equiv \sphericalangle MNP \]
Două unghiuri congruente coincid perfect dacă le suprapunem. Pe desen, congruența se marchează prin arce de cerc identice desenate în interiorul unghiurilor.
Dacă \( \sphericalangle AOB \equiv \sphericalangle C pointer \) și măsura unghiului \( \sphericalangle AOB \) este de \( 55^{\circ} \), ce măsură are unghiul \( \sphericalangle C pointer \)?
Deoarece cele două unghiuri sunt congruente, ele au aceeași măsură.
Prin urmare, măsura unghiului \( \sphericalangle C pointer \) este de \( 55^{\circ} \).
Prin urmare, măsura unghiului \( \sphericalangle C pointer \) este de \( 55^{\circ} \).
Instrumentul utilizat pentru măsurarea unghiurilor este raportorul.
Așezăm centrul raportorului exact în vârful unghiului (de exemplu, în punctul \( O \)).
Aliniem baza raportorului (linia care unește gradațiile de \( 0^{\circ} \) și \( 180^{\circ} \)) cu una dintre laturile unghiului (de exemplu, semidreapta \( OB \)).
Citim valoarea măsurii unghiului pe gradația corespunzătoare, în locul în care cealaltă latură (semidreapta \( OA \)) intersectează arcul gradat al raportorului.
Pentru a construi un unghi cu o măsură dată (de exemplu, \( 40^{\circ} \)), urmăm următorii pași geometrici:
Construim o semidreaptă \( DE \), care va reprezenta prima latură a unghiului.
Așezăm centrul raportorului în originea semidreptei (punctul \( E \)) și potrivim baza raportorului peste semidreapta \( ED \).
Căutăm valoarea de \( 40^{\circ} \) pe scala raportorului și marcăm un punct pe foaie în dreptul acestei diviziuni, pe care îl numim \( F \).
Îndepărtăm raportorul și trasăm semidreapta \( EF \) cu ajutorul unei rigle. Unghiul \( FED \) va avea măsura de \( 40^{\circ} \).
Probleme practice
Problema 1 (Ușoară): Transformați măsura unui unghi de \( 3^{\circ} \) și \( 15' \) în minute.
Știm că \( 1^{\circ} = 60' \).
Mai întâi, transformăm gradele în minute: \[ 3 \cdot 60' = 180' \] Adunăm minutele rămase: \[ 180' + 15' = 195' \] Răspuns: Măsura unghiului în minute este \( 195' \).
Mai întâi, transformăm gradele în minute: \[ 3 \cdot 60' = 180' \] Adunăm minutele rămase: \[ 180' + 15' = 195' \] Răspuns: Măsura unghiului în minute este \( 195' \).
Problema 2 (Medie): Cadranul unui ceas este împărțit în 12 ore egale. Determinați măsura unghiului format de acul orar și acul minutar la ora 08:00.
Un cerc complet (cadranul ceasului) are \( 360^{\circ} \).
Fiecare interval de o oră de pe ceas corespunde unui unghi de: \[ 360^{\circ} : 12 = 30^{\circ} \] La ora 08:00, minutarul este fixat pe cifra 12, iar orarul este pe cifra 8. Între cifrele 8 și 12 de pe cadran sunt exact \( 12 - 8 = 4 \) intervale de câte o oră.
Măsura unghiului cel mai mic format de cele două ace este: \[ 4 \cdot 30^{\circ} = 120^{\circ} \] Răspuns: Unghiul format are măsura de \( 120^{\circ} \).
Fiecare interval de o oră de pe ceas corespunde unui unghi de: \[ 360^{\circ} : 12 = 30^{\circ} \] La ora 08:00, minutarul este fixat pe cifra 12, iar orarul este pe cifra 8. Între cifrele 8 și 12 de pe cadran sunt exact \( 12 - 8 = 4 \) intervale de câte o oră.
Măsura unghiului cel mai mic format de cele două ace este: \[ 4 \cdot 30^{\circ} = 120^{\circ} \] Răspuns: Unghiul format are măsura de \( 120^{\circ} \).
Problema 3 (Dificilă): Se consideră un pătrat \( ABCD \) și diagonala sa \( AC \). Știind că măsura unghiului drept \( \sphericalangle DAB \) este de \( 90^{\circ} \), iar diagonala \( AC \) împarte acest unghi în două unghiuri congruente (\( \sphericalangle DAC \equiv \sphericalangle CAB \)), calculați măsura unghiului \( \sphericalangle CAB \) exprimată în minute.
Deoarece unghiul \( \sphericalangle DAB \) este împărțit de diagonala \( AC \) în două unghiuri congruente, măsurile lor sunt egale cu jumătate din măsura totală:
\[ \text{m}(\sphericalangle CAB) = 90^{\circ} : 2 = 45^{\circ} \]
Pentru a exprima această măsură în minute, înmulțim cu 60:
\[ 45 \cdot 60' = 2700' \]
Răspuns: Măsura unghiului \( \sphericalangle CAB \) este de \( 2700' \).
