III.3.1. Testul 3 (Tip Grilă)

Pasul 1: Determinarea elementelor mulțimii A

Mulțimea \( A \) este definită ca \( A = \{\sqrt{x} \mid x \in \mathbb{N}, x \le 2\} \). Valorile posibile pentru numărul natural \( x \) care îndeplinesc condiția \( x \le 2 \) sunt \( \{0, 1, 2\} \). Calculăm elementele mulțimii \( A \) prin extragerea rădăcinii pătrate:

• Pentru \( x = 0 \Rightarrow \sqrt{0} = 0 \)
• Pentru \( x = 1 \Rightarrow \sqrt{1} = 1 \)
• Pentru \( x = 2 \Rightarrow \sqrt{2} \)

Deci, \( A = \{0, 1, \sqrt{2}\} \).

Pasul 2: Înțelegerea produsului cartezian \( A \times A \)

Produsul cartezian \( A \times A \) conține toate perechile ordonate de tipul \( (a, b) \), unde atât \( a \) cât și \( b \) aparțin mulțimii \( A \). În cazul nostru, \( a, b \in \{0, 1, \sqrt{2}\} \).

Pasul 3: Verificarea variantelor de răspuns

Vom analiza fiecare punct dat pentru a vedea dacă ambele coordonate se regăsesc în mulțimea \( A \):

• A. \( (0, 1) \): \( 0 \in A \) și \( 1 \in A \). Perechea aparține lui \( A \times A \).
• B. \( (1, 0) \): \( 1 \in A \) și \( 0 \in A \). Perechea aparține lui \( A \times A \).
• C. \( (1, 1) \): \( 1 \in A \) și \( 1 \in A \). Perechea aparține lui \( A \times A \).
• D. \( (2, 2) \): Verificăm dacă numărul \( 2 \) este în mulțimea \( A \). Deoarece \( \sqrt{2} \approx 1,41 \), rezultă că \( 2 \neq \sqrt{2} \), deci \( 2 \notin A \). Prin urmare, perechea \( (2, 2) \) nu aparține produsului cartezian \( A \times A \).

Pasul 4: Concluzie

Elementul care nu aparține mulțimii \( A \times A \) este \( (2, 2) \).

\( A = \{\sqrt{0}, \sqrt{1}, \sqrt{2}\} = \{0, 1, \sqrt{2}\} \) \( (0, 1) \in A \times A \) deoarece \( 0, 1 \in A \) \( (1, 0) \in A \times A \) deoarece \( 1, 0 \in A \) \( (1, 1) \in A \times A \) deoarece \( 1, 1 \in A \) \( (2, 2) \notin A \times A \) deoarece \( 2 \notin A \) Răspuns: D.