Cele mai importante aspecte ale lecției
Formule esențiale pentru cerc și disc:
- Lungimea cercului (circumferința): \( L_{cerc} = 2\pi r \)
- Aria discului (suprafața interioară): \( \mathcal{A}_{cerc} = \pi r^2 \)
- Lungimea arcului de cerc: \( L_{arc} = \frac{\pi r \alpha^\circ}{180^\circ} \)
- Aria sectorului de cerc: \( \mathcal{A}_{sector} = \frac{\pi r^2 \alpha^\circ}{360^\circ} \)
Lungimea unui cerc reprezintă lungimea liniei curbe închise (conturul cercului). Raportul dintre lungimea oricărui cerc și lungimea diametrului său (\(2r\)) este constant pentru toate cercurile. Această constantă este un număr irațional notat cu litera grecească \(\pi\) (pi).
\(\pi \approx 3,14\) (cu două zecimale exacte).
\[ L_{cerc} = 2\pi r \]
unde \(r\) este raza cercului.
Dacă raza unui cerc este \(r = 5\text{ cm}\), atunci lungimea sa este:
\[ L_{cerc} = 2 \cdot \pi \cdot 5 = 10\pi\text{ cm} \]
Folosind aproximarea, \( L_{cerc} \approx 10 \cdot 3,14 = 31,4\text{ cm} \).
Determinați raza cercului care are lungimea egală cu \(24\pi\text{ cm}\).
Știm că \( L_{cerc} = 2\pi r \).
Înlocuim în formulă: \( 2\pi r = 24\pi \).
Împărțim la \(2\pi\): \( r = \frac{24\pi}{2\pi} = 12\text{ cm} \).
Înlocuim în formulă: \( 2\pi r = 24\pi \).
Împărțim la \(2\pi\): \( r = \frac{24\pi}{2\pi} = 12\text{ cm} \).
Discul este suprafața plană determinată de un cerc și de toate punctele din interiorul său. Mărimea acestei suprafețe se numește aria discului (sau, uzual, aria cercului).
\[ \mathcal{A}_{cerc} = \pi r^2 \]
unde \(r\) este raza cercului.
Aria unui disc cu raza \(r = 6\text{ cm}\) se calculează astfel:
\[ \mathcal{A}_{cerc} = \pi \cdot 6^2 = 36\pi\text{ cm}^2 \]
Aflați aria unui disc dacă diametrul său este de \(10\text{ cm}\).
Aflăm raza cercului. Diametrul este \(2r\), deci \(r = 10 : 2 = 5\text{ cm}\).
Aplicăm formula ariei: \(\mathcal{A}_{cerc} = \pi \cdot 5^2 = 25\pi\text{ cm}^2\).
Lungimea unui arc de cerc și măsura sa în grade sunt mărimi direct proporționale. Se poate calcula folosind regula de trei simplă raportat la întregul cerc (\(360^\circ\)).
\[ L_{\overset{\frown}{AB}} = \frac{\pi r \alpha^\circ}{180^\circ} \]
unde \(\alpha^\circ\) este măsura unghiului la centru corespunzător arcului, iar \(r\) este raza.
Această formulă provine din proporția: \(\frac{L_{cerc}}{360^\circ} = \frac{L_{\overset{\frown}{AB}}}{\alpha^\circ}\), adică \(\frac{2\pi r \cdot \alpha^\circ}{360^\circ}\), care prin simplificare dă formula de mai sus.
Suprafața mărginită de două raze și arcul de cerc dintre ele se numește sector de cerc. Aria sa este direct proporțională cu măsura arcului corespunzător.
\[ \mathcal{A}_{sector} = \frac{\pi r^2 \alpha^\circ}{360^\circ} \]
unde \(\alpha^\circ\) este măsura unghiului la centru corespunzător sectorului.
Probleme de antrenament
Ușoară: Calculați lungimea și aria unui cerc cu raza \(r = 4\text{ cm}\).
Folosim formulele de bază:
\( L_{cerc} = 2\pi r = 2 \cdot \pi \cdot 4 = 8\pi\text{ cm} \).
\( \mathcal{A}_{cerc} = \pi r^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi\text{ cm}^2 \).
\( L_{cerc} = 2\pi r = 2 \cdot \pi \cdot 4 = 8\pi\text{ cm} \).
\( \mathcal{A}_{cerc} = \pi r^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi\text{ cm}^2 \).
Medie: Aria unui disc este egală cu \(144\pi\text{ cm}^2\). Calculați lungimea cercului care mărginește acest disc.
Aflăm raza folosind formula ariei: \(\mathcal{A}_{cerc} = \pi r^2 \Rightarrow \pi r^2 = 144\pi\).
Împărțim la \(\pi\): \(r^2 = 144 \Rightarrow r = \sqrt{144} = 12\text{ cm}\).
Calculăm lungimea cercului: \(L_{cerc} = 2\pi r = 2 \cdot \pi \cdot 12 = 24\pi\text{ cm}\).
Dificilă: Punctele \(A\) și \(B\) aparțin unui cerc cu centrul în \(O\) și raza de \(12\text{ cm}\). Măsura unghiului la centru \(\measuredangle AOB\) este de \(60^\circ\). Calculați lungimea arcului mic \(AB\) și aria sectorului de cerc corespunzător acestuia. Estimați aria sectorului folosind \(\pi \approx 3,14\).
Se dau: \(r = 12\text{ cm}\) și \(\alpha^\circ = 60^\circ\).
1. Lungimea arcului \(AB\): \[ L_{\overset{\frown}{AB}} = \frac{\pi \cdot r \cdot \alpha^\circ}{180^\circ} = \frac{\pi \cdot 12 \cdot 60^\circ}{180^\circ} = \frac{720\pi}{180} = 4\pi\text{ cm} \]
2. Aria sectorului de cerc: \[ \mathcal{A}_{sector} = \frac{\pi \cdot r^2 \cdot \alpha^\circ}{360^\circ} = \frac{\pi \cdot 12^2 \cdot 60^\circ}{360^\circ} = \frac{\pi \cdot 144 \cdot 60}{360} \] Simplificăm \(60\) cu \(360\) (rămâne \(6\) la numitor): \[ \mathcal{A}_{sector} = \frac{144\pi}{6} = 24\pi\text{ cm}^2 \]
3. Estimarea ariei: \[ \mathcal{A}_{sector} \approx 24 \cdot 3,14 = 75,36\text{ cm}^2 \]
1. Lungimea arcului \(AB\): \[ L_{\overset{\frown}{AB}} = \frac{\pi \cdot r \cdot \alpha^\circ}{180^\circ} = \frac{\pi \cdot 12 \cdot 60^\circ}{180^\circ} = \frac{720\pi}{180} = 4\pi\text{ cm} \]
2. Aria sectorului de cerc: \[ \mathcal{A}_{sector} = \frac{\pi \cdot r^2 \cdot \alpha^\circ}{360^\circ} = \frac{\pi \cdot 12^2 \cdot 60^\circ}{360^\circ} = \frac{\pi \cdot 144 \cdot 60}{360} \] Simplificăm \(60\) cu \(360\) (rămâne \(6\) la numitor): \[ \mathcal{A}_{sector} = \frac{144\pi}{6} = 24\pi\text{ cm}^2 \]
3. Estimarea ariei: \[ \mathcal{A}_{sector} \approx 24 \cdot 3,14 = 75,36\text{ cm}^2 \]
