VI.3.1. Testul 1 - Subiectul al III-lea

În această problemă, utilizăm proprietățile triunghiului isoscel și criteriile de asemănare pentru a analiza triunghiul cu unghiurile de \( 36^\circ \), \( 72^\circ \), \( 72^\circ \), numit adesea "triunghiul de aur".
Desenează un triunghi isoscel ABC cu AB = AC și unghiul A de 36 de grade la vârf. Calculează unghiurile de la bază B și C ca fiind de 72 de grade fiecare. Trasează bisectoarea BD a unghiului ABC, unde D se află pe latura AC. Marchează unghiurile ABD și DBC ca având 36 de grade fiecare.

a) Calculați măsura unghiului \( BDC \)

Pasul 1: Determinarea unghiurilor de la baza triunghiului \( ABC \)

Triunghiul \( ABC \) fiind isoscel cu \( AB = AC \), unghiurile de la bază sunt egale: \[ \sphericalangle ABC = \sphericalangle ACB = \frac{180^\circ - \sphericalangle BAC}{2} \] \[ \sphericalangle ABC = \sphericalangle ACB = \frac{180^\circ - 36^\circ}{2} = \frac{144^\circ}{2} = 72^\circ \]

Pasul 2: Determinarea unghiului \( DBC \)

Deoarece \( BD \) este bisectoarea unghiului \( \sphericalangle ABC \), avem: \[ \sphericalangle DBC = \frac{\sphericalangle ABC}{2} = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ \]

Pasul 3: Calcularea unghiului \( BDC \) în \( \triangle BDC \)

Suma unghiurilor în triunghiul \( BDC \) este \( 180^\circ \): \[ \sphericalangle BDC = 180^\circ - (\sphericalangle DBC + \sphericalangle DCB) \] \[ \sphericalangle BDC = 180^\circ - (36^\circ + 72^\circ) = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ \]

b) Demonstrați că \( AD \equiv BC \)

Pasul 1: Analiza triunghiului \( ABD \)

În triunghiul \( ABD \), avem \( \sphericalangle DAB = 36^\circ \) (din ipoteză) și \( \sphericalangle ABD = 36^\circ \) (pentru că \( BD \) este bisectoare). Deoarece are două unghiuri egale, \( \triangle ABD \) este isoscel, deci: \[ AD = BD \]

Pasul 2: Analiza triunghiului \( BCD \)

În triunghiul \( BCD \), am calculat la punctul a) că \( \sphericalangle BCD = 72^\circ \) și \( \sphericalangle BDC = 72^\circ \). Deoarece are două unghiuri egale, \( \triangle BCD \) este isoscel, deci: \[ BD = BC \]

Pasul 3: Concluzia prin tranzitivitate

Din \( AD = BD \) și \( BD = BC \), rezultă prin tranzitivitate că: \[ AD \equiv BC \]

c) Arătați că \( AB \cdot DC = BD^2 \)

Pasul 1: Identificarea triunghiurilor asemenea

Comparăm \( \triangle ABC \) și \( \triangle BDC \): 1. \( \sphericalangle ABC = \sphericalangle BDC = 72^\circ \) 2. \( \sphericalangle ACB = \sphericalangle BCD = 72^\circ \) (unghi comun) Conform criteriului UU, avem: \[ \triangle ABC \sim \triangle BCD \]

Pasul 2: Scrierea rapoartelor de asemănare

Din asemănarea triunghiurilor, obținem proporționalitatea laturilor: \[ \frac{AB}{BC} = \frac{BC}{DC} = \frac{AC}{BD} \]

Pasul 3: Demonstrarea relației

Folosim raportul \( \frac{AB}{BC} = \frac{BC}{DC} \). Din produsul mezilor și extremilor: \[ AB \cdot DC = BC^2 \] Deoarece am demonstrat la punctul b) că \( BC = BD \), putem înlocui în relație: \[ AB \cdot DC = BD^2 \]

a) \( \sphericalangle B = \sphericalangle C = 72^\circ \). \( BD \) bis. \( \implies \sphericalangle DBC = 36^\circ \). În \( \triangle BDC \): \( \sphericalangle BDC = 180^\circ - 36^\circ - 72^\circ = 72^\circ \). b) \( \sphericalangle A = \sphericalangle ABD = 36^\circ \implies AD = BD \). \( \sphericalangle C = \sphericalangle BDC = 72^\circ \implies BD = BC \). Deci \( AD = BD = BC \). c) \( \triangle ABC \sim \triangle BCD \) (UU: \( 72^\circ, 72^\circ \)). \( \frac{AB}{BC} = \frac{BC}{DC} \implies AB \cdot DC = BC^2 \). Cum \( BC = BD \), avem \( AB \cdot DC = BD^2 \).