Cele mai importante aspecte ale lecției
- Înmulțirea/Împărțirea: Radicalii pot fi reuniți sau separați: \( \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \) și \( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \).
- Transformări: Putem scoate factori (\( \sqrt{a^2b} = a\sqrt{b} \)) sau introduce factori (\( a\sqrt{b} = \sqrt{a^2b} \)) de sub radical.
- Raționalizarea: Eliminăm radicalul de la numitor amplificând fracția de tip \( \frac{1}{\sqrt{b}} \) cu \( \sqrt{b} \).
- Restricții: Nu separați niciodată radicalii la adunare sau scădere (\( \sqrt{a \pm b} \neq \sqrt{a} \pm \sqrt{b} \))!
Radicalul unui produs: Dacă \( a \geq 0 \) și \( b \geq 0 \), atunci radicalul produsului este egal cu produsul radicalilor.
\[ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \]
Radicalul unui cât: Dacă \( a \geq 0 \) și \( b > 0 \), atunci radicalul câtului este egal cu câtul radicalilor.
\[ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \]
Calcul produs: \( \sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{12 \cdot 3} = \sqrt{36} = 6 \)
Calcul cât: \( \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5 \)
Calcul cât: \( \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5 \)
Calculați valoarea expresiei: \( \sqrt{20} \cdot \sqrt{5} \).
Aplicăm regula produsului: \( \sqrt{20} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{20 \cdot 5} = \sqrt{100} = 10 \).
Pentru a simplifica expresiile cu radicali sau pentru a efectua anumite calcule, folosim regulile de mutare a factorilor în interiorul sau exteriorul radicalului.
Scoaterea unui factor de sub radical:
\[ \sqrt{a^2 \cdot b} = a\sqrt{b} \quad (a, b \geq 0) \]
Introducerea unui factor sub radical:
\[ a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b} \quad (a, b \geq 0) \]
Scoatere: \( \sqrt{320} = \sqrt{64 \cdot 5} = \sqrt{8^2 \cdot 5} = 8\sqrt{5} \)
Introducere: \( 3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18} \)
Introducere: \( 3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18} \)
Scoateți factorii de sub radical pentru numărul \( \sqrt{48} \).
Descompunem numărul 48 într-un produs în care un factor este pătrat perfect:
\( \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \).
Raționalizarea numitorului este operația prin care se elimină radicalul de la numitorul unei fracții.
Numitorul unei fracții de forma \( \frac{c}{a\sqrt{b}} \) (unde \( b > 0 \)) se raționalizează prin amplificarea fracției cu \( \sqrt{b} \).
\[ \frac{c}{a\sqrt{b}} = \frac{c \cdot \sqrt{b}}{a\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} = \frac{c\sqrt{b}}{a \cdot b} \]
\( \frac{2}{3\sqrt{5}} = \frac{2 \cdot \sqrt{5}}{3\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{3 \cdot 5} = \frac{2\sqrt{5}}{15} \)
Raționalizați numitorul fracției: \( \frac{7\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} \).
Amplificăm fracția cu \( \sqrt{3} \):
\[ \frac{7\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{18}}{2 \cdot 3} = \frac{7\sqrt{9 \cdot 2}}{6} = \frac{7 \cdot 3\sqrt{2}}{6} = \frac{21\sqrt{2}}{6} \]
Simplificăm fracția prin 3 și obținem: \( \frac{7\sqrt{2}}{2} \).
Metodă alternativă mai rapidă: Simplificăm direct radicalii \( \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2} \), obținând direct \( \frac{7\sqrt{2}}{2} \).
Metodă alternativă mai rapidă: Simplificăm direct radicalii \( \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2} \), obținând direct \( \frac{7\sqrt{2}}{2} \).
Radicalul se distribuie doar la înmulțire și împărțire, NICIODATĂ la adunare sau scădere!
Radicalul unei sume nu este egal cu suma radicalilor: \( \sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b} \)
Radicalul unei diferențe nu este egal cu diferența radicalilor: \( \sqrt{a-b} \neq \sqrt{a} - \sqrt{b} \)
Radicalul unei diferențe nu este egal cu diferența radicalilor: \( \sqrt{a-b} \neq \sqrt{a} - \sqrt{b} \)
Să verificăm pentru sumă: \( \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \).
Dacă am separa greșit radicalii, am avea: \( \sqrt{16} + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7 \).
Evident, \( 5 \neq 7 \), deci proprietatea nu se aplică la adunare.
Dacă am separa greșit radicalii, am avea: \( \sqrt{16} + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7 \).
Evident, \( 5 \neq 7 \), deci proprietatea nu se aplică la adunare.
Exerciții
Ușoară: Folosind proprietățile radicalilor, calculați valoarea expresiei: \( \sqrt{8} \cdot \sqrt{2} + \sqrt{27} : \sqrt{3} \).
Aplicăm regula produsului și a câtului:
\( \sqrt{8 \cdot 2} + \sqrt{27 : 3} = \sqrt{16} + \sqrt{9} \)
Extragem radicalii: \( 4 + 3 = 7 \).
Răspuns: 7
\( \sqrt{8 \cdot 2} + \sqrt{27 : 3} = \sqrt{16} + \sqrt{9} \)
Extragem radicalii: \( 4 + 3 = 7 \).
Răspuns: 7
Medie: Raționalizați numitorul și aduceți la forma cea mai simplă fracția: \( \frac{6}{\sqrt{2}} \).
Amplificăm fracția cu numărul irațional de la numitor, adică cu \( \sqrt{2} \):
\( \frac{6 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} \)
Simplificăm numerele întregi (6 și 2):
\( \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \).
Răspuns: \( 3\sqrt{2} \)
\( \frac{6 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} \)
Simplificăm numerele întregi (6 și 2):
\( \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \).
Răspuns: \( 3\sqrt{2} \)
Dificilă: Se dau numerele \( a = \frac{10}{2\sqrt{5}} \) și \( b = \frac{2\sqrt{15}}{\sqrt{5}} \). Raționalizați/calculați numerele și stabiliți care este mai mare.
Calculăm \( a \): Amplificăm cu \( \sqrt{5} \).
\( a = \frac{10\sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{10\sqrt{5}}{10} = \sqrt{5} \).
Calculăm \( b \): Aplicăm regula câtului pentru radicali.
\( b = 2 \cdot \sqrt{\frac{15}{5}} = 2\sqrt{3} \). Pentru a compara ușor, introducem factorul sub radical: \( b = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{12} \).
Comparăm rezultatele: Deoarece \( 5 < 12 \), rezultă că \( \sqrt{5} < \sqrt{12} \).
Răspuns: \( a < b \)
\( a = \frac{10\sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{10\sqrt{5}}{10} = \sqrt{5} \).
Calculăm \( b \): Aplicăm regula câtului pentru radicali.
\( b = 2 \cdot \sqrt{\frac{15}{5}} = 2\sqrt{3} \). Pentru a compara ușor, introducem factorul sub radical: \( b = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{12} \).
Comparăm rezultatele: Deoarece \( 5 < 12 \), rezultă că \( \sqrt{5} < \sqrt{12} \).
Răspuns: \( a < b \)
