Cele mai importante aspecte ale lecției
Concluzii cheie:
• Algebră: Operațiile cu radicali respectă reguli stricte (nu se adună numerele direct sub un singur radical). Sistemele de ecuații se rezolvă prin substituție sau reducere pentru a izola necunoscutele.
• Geometrie analitică: Orice segment în plan poate fi analizat prin coordonate \((x,y)\) pentru a-i afla mijlocul sau lungimea (folosind radicali).
• Asemănare: Teorema lui Thales și TFA leagă paralelismul de proporționalitatea segmentelor. Raportul ariilor este întotdeauna pătratul raportului de asemănare (\(k^2\)).
• Relații metrice & Patrulatere: Triunghiul dreptunghic este dominat de teorema lui Pitagora, teorema înălțimii și teorema catetei. Calculul ariilor patrulaterelor se bazează pe înălțimi și diagonale, iar la cerc pe numărul \(\pi\) (\(L = 2\pi R, A = \pi R^2\)).
• Algebră: Operațiile cu radicali respectă reguli stricte (nu se adună numerele direct sub un singur radical). Sistemele de ecuații se rezolvă prin substituție sau reducere pentru a izola necunoscutele.
• Geometrie analitică: Orice segment în plan poate fi analizat prin coordonate \((x,y)\) pentru a-i afla mijlocul sau lungimea (folosind radicali).
• Asemănare: Teorema lui Thales și TFA leagă paralelismul de proporționalitatea segmentelor. Raportul ariilor este întotdeauna pătratul raportului de asemănare (\(k^2\)).
• Relații metrice & Patrulatere: Triunghiul dreptunghic este dominat de teorema lui Pitagora, teorema înălțimii și teorema catetei. Calculul ariilor patrulaterelor se bazează pe înălțimi și diagonale, iar la cerc pe numărul \(\pi\) (\(L = 2\pi R, A = \pi R^2\)).
Numere Și Operații Aritmetice
Dacă un număr pozitiv \( p \) este pătratul unui număr \( x \) (\( p = x^2 \)), atunci \( x \) este rădăcina pătrată a lui \( p \).
\[ \sqrt{p} = x \iff x^2 = p \quad (x \ge 0, p \ge 0) \]
Mulțimea numerelor reale (\( \mathbb{R} \)) reunește toate numerele raționale și iraționale. Există o relație de incluziune între mulțimile de numere:
\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \]
- Numere raționale (\( \mathbb{Q} \)): Pot fi scrise sub formă de fracție \( \frac{a}{b} \). Exemple: \( 5; -2; 0,5; 1,(3); \sqrt{16} \).
- Numere iraționale (\( \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \)): Fracții zecimale infinite și neperiodice. Exemple: \( \sqrt{2}; \sqrt{7}; 3\sqrt{5} \).
Rădăcina pătrată dintr-un număr negativ nu este definită în mulțimea numerelor reale (ex. \( \sqrt{-4} \) nu are sens).
Stabiliți cărei mulțimi îi aparține numărul \( \sqrt{81} \) și numărul \( \sqrt{10} \).
\( \sqrt{81} = 9 \), deci aparține mulțimilor \( \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} \).
\( \sqrt{10} \) nu se poate extrage exact (10 nu este pătrat perfect), deci este un număr irațional, aparținând mulțimii \( \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \).
\( \sqrt{10} \) nu se poate extrage exact (10 nu este pătrat perfect), deci este un număr irațional, aparținând mulțimii \( \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \).
Modulul unui număr real (\( |x| \)) reprezintă distanța pe axa numerelor de la originea axei până la punctul corespunzător numărului \( x \).
\[ |x| = \begin{cases} x, & \text{dacă } x > 0 \\ 0, & \text{dacă } x = 0 \\ -x, & \text{dacă } x < 0 \end{cases} \]
Oricare ar fi numărul real \( x \), are loc relația fundamentală: \( \sqrt{x^2} = |x| \).
Distanța dintre două puncte \( A(x_A) \) și \( B(x_B) \) pe axa numerelor se calculează folosind modulul diferenței coordonatelor:
\[ AB = |x_B - x_A| \]
Calculați \( \sqrt{(-5)^2} \) și distanța dintre punctele \( A(-3) \) și \( B(4) \).
\( \sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5 \).
Distanța \( AB = |4 - (-3)| = |4 + 3| = |7| = 7 \).
Distanța \( AB = |4 - (-3)| = |4 + 3| = |7| = 7 \).
Scoaterea factorilor de sub radical: \( \sqrt{a^2 \cdot b} = |a|\sqrt{b} \). Se descompune numărul în factori primi, se grupează pătratele perfecte și se extrag.
Introducerea factorilor sub radical: \( a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b} \) (pentru \( a \ge 0, b \ge 0 \)).
Raționalizarea numitorului înseamnă eliminarea radicalului de la numitor prin amplificarea fracției:
\[ \frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b} \quad (b > 0) \]
Scoateți factorii pentru \( \sqrt{72} \) și raționalizați fracția \( \frac{10}{\sqrt{5}} \).
1. Descompunem: \( 72 = 36 \cdot 2 = 6^2 \cdot 2 \). Deci \( \sqrt{72} = \sqrt{6^2 \cdot 2} = 6\sqrt{2} \).
2. Amplificăm cu \( \sqrt{5} \): \( \frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5} \).
2. Amplificăm cu \( \sqrt{5} \): \( \frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5} \).
Înmulțirea și Împărțirea: Radicalii se pot înmulți și împărți direct între ei.
\[ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \quad \text{și} \quad \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \]
Adunarea și Scăderea: Se pot aduna/scădea doar termenii asemenea (cei care au același radical).
\[ p\sqrt{n} + q\sqrt{n} = (p + q)\sqrt{n} \]
Atenție! Radicalul unei sume NU este egal cu suma radicalilor: \( \sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b} \).
Ridicarea la putere: \( (\sqrt{a})^n = \sqrt{a^n} \). Dacă se ridică un radical la puterea a doua, radicalul dispare (pentru numere pozitive): \( (\sqrt{a})^2 = a \).
Calculați: \( 2\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{6} - \sqrt{50} \).
1. Înmulțirea: \( 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{3 \cdot 6} = 10\sqrt{18} \).
2. Scoaterea factorilor pentru a obține termeni asemenea:
\( 10\sqrt{18} = 10\sqrt{9 \cdot 2} = 10 \cdot 3\sqrt{2} = 30\sqrt{2} \).
\( \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \).
3. Scăderea: \( 30\sqrt{2} - 5\sqrt{2} = 25\sqrt{2} \).
2. Scoaterea factorilor pentru a obține termeni asemenea:
\( 10\sqrt{18} = 10\sqrt{9 \cdot 2} = 10 \cdot 3\sqrt{2} = 30\sqrt{2} \).
\( \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \).
3. Scăderea: \( 30\sqrt{2} - 5\sqrt{2} = 25\sqrt{2} \).
Pentru a compara numere de forma \( a\sqrt{b} \), cel mai sigur mod este să introducem factorii sub radical.
\[ \text{Dacă } x \ge 0 \text{ și } y \ge 0, \text{ atunci } x \le y \iff \sqrt{x} \le \sqrt{y} \]
Dintre două numere negative, mai mare este cel care are modulul mai mic (este mai aproape de 0 pe axă).
Comparați numerele \( 4\sqrt{3} \) și \( 3\sqrt{5} \).
Introducem factorii sub radical:
\( 4\sqrt{3} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48} \)
\( 3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45} \)
Deoarece \( 48 > 45 \), rezultă că \( \sqrt{48} > \sqrt{45} \), deci \( 4\sqrt{3} > 3\sqrt{5} \).
\( 4\sqrt{3} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48} \)
\( 3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45} \)
Deoarece \( 48 > 45 \), rezultă că \( \sqrt{48} > \sqrt{45} \), deci \( 4\sqrt{3} > 3\sqrt{5} \).
Media aritmetică (\( m_a \)): Raportul dintre suma numerelor și numărul lor.
Media ponderată (\( m_p \)): Folosită când numerele au o anumită „pondere” sau frecvență. Se înmulțește fiecare număr cu ponderea sa, se adună, și se împarte la suma ponderilor.
Media geometrică (\( m_g \)): Rădăcina pătrată a produsului a două numere strict pozitive.
\[ m_g = \sqrt{a \cdot b} \quad (a > 0, b > 0) \]
Relația dintre medii pentru două numere pozitive diferite: \( m_g < m_a \).
Calculați media geometrică a numerelor \( a = 2 \) și \( b = 18 \).
\( m_g = \sqrt{2 \cdot 18} = \sqrt{36} = 6 \).
Rezolvarea unei ecuații în care necunoscuta este la pătrat depinde de semnul numărului \( a \):
Dacă \( a > 0 \), ecuația are două soluții reale: \( x = \sqrt{a} \) și \( x = -\sqrt{a} \).
Dacă \( a = 0 \), ecuația are o singură soluție: \( x = 0 \).
Dacă \( a < 0 \), ecuația nu are soluții în mulțimea numerelor reale (\( S = \varnothing \)).
Rezolvați ecuația \( (x - 2)^2 = 16 \) în mulțimea \( \mathbb{R} \).
Aplicăm radicalul și modulul:
\( \sqrt{(x - 2)^2} = \sqrt{16} \)
\( |x - 2| = 4 \)
Avem două variante:
1) \( x - 2 = 4 \implies x = 6 \)
2) \( x - 2 = -4 \implies x = -2 \)
Soluția: \( S = \{-2, 6\} \).
\( \sqrt{(x - 2)^2} = \sqrt{16} \)
\( |x - 2| = 4 \)
Avem două variante:
1) \( x - 2 = 4 \implies x = 6 \)
2) \( x - 2 = -4 \implies x = -2 \)
Soluția: \( S = \{-2, 6\} \).
Probleme practice
Ușoară: Scrieți sub formă simplificată expresia: \( \sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{75} \).
Extragem factorii de sub radical pentru fiecare termen:
\( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \)
\( \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3} \)
\( \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3} \)
Înlocuim și calculăm:
\( 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = (2 + 3 - 5)\sqrt{3} = 0\sqrt{3} = 0 \).
\( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \)
\( \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3} \)
\( \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3} \)
Înlocuim și calculăm:
\( 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = (2 + 3 - 5)\sqrt{3} = 0\sqrt{3} = 0 \).
Medie: Efectuați calculul și raționalizați numitorul: \( \left( \frac{6}{\sqrt{2}} - \sqrt{8} \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \).
1. Raționalizăm primul termen și scoatem factorii din al doilea:
\( \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \)
\( \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \)
2. Expresia din paranteză devine: \( 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2} \).
3. Înmulțim rezultatul parantezei cu fracția: \( \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1 \).
\( \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \)
\( \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \)
2. Expresia din paranteză devine: \( 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2} \).
3. Înmulțim rezultatul parantezei cu fracția: \( \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1 \).
Medie: Aflați media geometrică a numerelor \( x = \sqrt{7} - \sqrt{3} \) și \( y = \sqrt{7} + \sqrt{3} \).
Formula mediei geometrice este \( m_g = \sqrt{x \cdot y} \).
Calculăm produsul celor două numere folosind diferența pătratelor \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \):
\( x \cdot y = (\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 7 - 3 = 4 \).
Calculăm rădăcina pătrată a produsului:
\( m_g = \sqrt{4} = 2 \).
Calculăm produsul celor două numere folosind diferența pătratelor \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \):
\( x \cdot y = (\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 7 - 3 = 4 \).
Calculăm rădăcina pătrată a produsului:
\( m_g = \sqrt{4} = 2 \).
Dificilă: Aflați numerele reale \( x \) care verifică ecuația: \( \sqrt{(x - 3)^2} + 5 = 12 \).
Folosim proprietatea \( \sqrt{a^2} = |a| \).
Ecuația devine: \( |x - 3| + 5 = 12 \).
Izolăm modulul: \( |x - 3| = 12 - 5 \implies |x - 3| = 7 \).
Desfacem modulul în două cazuri:
1) \( x - 3 = 7 \implies x = 10 \)
2) \( x - 3 = -7 \implies x = -4 \)
Mulțimea soluțiilor este \( S = \{-4, 10\} \).
Ecuația devine: \( |x - 3| + 5 = 12 \).
Izolăm modulul: \( |x - 3| = 12 - 5 \implies |x - 3| = 7 \).
Desfacem modulul în două cazuri:
1) \( x - 3 = 7 \implies x = 10 \)
2) \( x - 3 = -7 \implies x = -4 \)
Mulțimea soluțiilor este \( S = \{-4, 10\} \).
Elemente de Organizare a Datelor
Fiind date două mulțimi nevide, \( A \) și \( B \), mulțimea ale cărei elemente sunt perechi ordonate de forma \( (x, y) \), cu \( x \in A \) și \( y \in B \), se numește produsul cartezian al mulțimilor \( A \) și \( B \).
Se notează: \( A \times B = \{(x, y) \mid x \in A \text{ și } y \in B\} \)
- Două perechi ordonate sunt egale dacă au aceleași elemente pe aceleași poziții: \( (a, b) = (c, d) \) dacă și numai dacă \( a = c \) și \( b = d \).
- În general, produsul cartezian nu este comutativ: \( A \times B \neq B \times A \).
- Numărul de elemente (cardinalul): \( \text{card}(A \times B) = \text{card } A \cdot \text{card } B \).
Dacă \( A = \{1, 2\} \) și \( B = \{m, n\} \):
\( A \times B = \{(1, m), (1, n), (2, m), (2, n)\} \)
\( B \times A = \{(m, 1), (m, 2), (n, 1), (n, 2)\} \)
\( \text{card}(A \times B) = 2 \cdot 2 = 4 \) elemente.
\( A \times B = \{(1, m), (1, n), (2, m), (2, n)\} \)
\( B \times A = \{(m, 1), (m, 2), (n, 1), (n, 2)\} \)
\( \text{card}(A \times B) = 2 \cdot 2 = 4 \) elemente.
Fie mulțimea \( M = \{0, 5\} \) și \( N = \{3\} \). Determinați \( M \times N \) și \( \text{card}(N \times M) \).
\( M \times N = \{(0, 3), (5, 3)\} \)
Deoarece \( \text{card } N = 1 \) și \( \text{card } M = 2 \), \( \text{card}(N \times M) = 1 \cdot 2 = 2 \).
Deoarece \( \text{card } N = 1 \) și \( \text{card } M = 2 \), \( \text{card}(N \times M) = 1 \cdot 2 = 2 \).
Două drepte perpendiculare prevăzute cu o origine comună, o unitate de măsură și sensuri pozitive formează un sistem de coordonate ortogonale (sau plan cartezian).
- Originea: Punctul de intersecție \( O(0, 0) \).
- Axa absciselor (\( Ox \)): Axa orizontală. Primul număr dintr-o pereche se numește abscisă.
- Axa ordonatelor (\( Oy \)): Axa verticală. Al doilea număr dintr-o pereche se numește ordonată.
Puncte particulare și simetrie:
- Un punct situat pe axa \( Ox \) are ordonata zero: \( P(x, 0) \).
- Un punct situat pe axa \( Oy \) are abscisa zero: \( Q(0, y) \).
- Simetricul punctului \( A(x, y) \) față de axa \( Ox \) este \( A'(x, -y) \).
- Simetricul punctului \( A(x, y) \) față de axa \( Oy \) este \( A''(-x, y) \).
- Simetricul punctului \( A(x, y) \) față de origine este \( A'''(-x, -y) \).
Se dă punctul \( A(-3, 4) \). Determinați coordonatele simetricului său față de axa absciselor.
Simetricul față de axa \( Ox \) păstrează abscisa și schimbă semnul ordonatei. Deci, simetricul este \( A'(-3, -4) \).
Distanța dintre două puncte \( A(x_1, y_1) \) și \( B(x_2, y_2) \):
\[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
Se aplică teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic format de proiecțiile punctelor pe axe.
Coordonatele mijlocului unui segment \( AB \), notat cu \( M \):
\[ x_M = \frac{x_1 + x_2}{2} \quad \text{și} \quad y_M = \frac{y_1 + y_2}{2} \]
Coordonatele mijlocului sunt mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor.
Pentru \( A(1, 2) \) și \( B(4, 6) \):
Distanța: \( AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \).
Mijlocul \( M \): \( x_M = \frac{1+4}{2} = 2,5 \); \( y_M = \frac{2+6}{2} = 4 \). Deci \( M(2,5; 4) \).
Distanța: \( AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \).
Mijlocul \( M \): \( x_M = \frac{1+4}{2} = 2,5 \); \( y_M = \frac{2+6}{2} = 4 \). Deci \( M(2,5; 4) \).
Calculați distanța dintre originea sistemului de coordonate \( O(0,0) \) și punctul \( P(-6, 8) \).
\( OP = \sqrt{(-6 - 0)^2 + (8 - 0)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \).
Între două mulțimi \( A \) și \( B \) are loc o dependență funcțională dacă, printr-o regulă, fiecărui element din \( A \) îi corespunde un singur element din \( B \). Graficul unei astfel de dependențe este format dintr-o mulțime de puncte de forma \( (x, y) \).
Termeni statistici:
- Frecvența absolută: De câte ori apare o anumită valoare într-un set de date.
- Frecvența relativă (în procente): Raportul dintre frecvența absolută și numărul total de elemente, înmulțit cu 100.
- Poligonul frecvențelor: Linia frântă obținută prin unirea succesivă a punctelor ce reprezintă datele pe un grafic.
S-au centralizat notele obținute de 20 de elevi.
Pentru a afla frecvența procentuală a elevilor cu nota 8: \( \frac{8}{20} \cdot 100 = 40\% \).
| Nota | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| Număr elevi (frecvența absolută) | 4 | 8 | 6 | 2 |
Exerciții
Ușoară: Determinați coordonatele mijlocului segmentului determinat de punctele \( A(-2, 5) \) și \( B(4, 1) \).
Aplicăm formulele pentru mijlocul segmentului:
\( x_M = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
\( y_M = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
Răspuns: \( M(1, 3) \)
\( x_M = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
\( y_M = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
Răspuns: \( M(1, 3) \)
Medie: Fie mulțimile \( A = \{x \in \mathbb{N} \mid x \le 2\} \) și \( B = \{-1, 1\} \). Scrieți elementele produsului cartezian \( A \times B \) și calculați \( \text{card}(A \times B) \).
Identificăm elementele mulțimii \( A \): \( A = \{0, 1, 2\} \).
Formăm perechile ordonate cu primul element din \( A \) și al doilea din \( B \):
\( A \times B = \{(0, -1), (0, 1), (1, -1), (1, 1), (2, -1), (2, 1)\} \).
Numărul de elemente este \( 3 \cdot 2 = 6 \).
Răspuns: \( \text{card}(A \times B) = 6 \)
Formăm perechile ordonate cu primul element din \( A \) și al doilea din \( B \):
\( A \times B = \{(0, -1), (0, 1), (1, -1), (1, 1), (2, -1), (2, 1)\} \).
Numărul de elemente este \( 3 \cdot 2 = 6 \).
Răspuns: \( \text{card}(A \times B) = 6 \)
Dificilă: Într-un sistem de axe ortogonale \( xOy \) se dau punctele \( A(0, 3) \), \( B(-4, 0) \) și \( C(4, 0) \). Calculați perimetrul triunghiului \( ABC \).
Calculăm lungimile laturilor folosind formula distanței:
Răspuns: Perimetrul triunghiului \( ABC \) este \( 18 \) (unități de măsură).
- \( AB = \sqrt{(-4 - 0)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \)
- \( AC = \sqrt{(4 - 0)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \)
- \( BC = \sqrt{(4 - (-4))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{8^2 + 0} = 8 \) (sau se poate observa direct că sunt pe axa \( Ox \), deci distanța este \( |-4| + |4| = 8 \))
Răspuns: Perimetrul triunghiului \( ABC \) este \( 18 \) (unități de măsură).
Patrulaterul
Un patrulater este o figură geometrică formată din patru puncte (oricare trei necoliniare) și segmentele care le unesc (laturile), unde laturile opuse nu se intersectează. Punctele se numesc vârfurile patrulaterului.
Patrulater convex: Pentru fiecare dreaptă care conține o latură, toate celelalte vârfuri se află de aceeași parte a dreptei.
Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex este egală cu \( 360^\circ \).
\[ \measuredangle A + \measuredangle B + \measuredangle C + \measuredangle D = 360^\circ \]
Într-un patrulater convex \( ABCD \), se cunosc \( \measuredangle A = 80^\circ \), \( \measuredangle B = 100^\circ \) și \( \measuredangle C = 70^\circ \). Aflați măsura unghiului \( D \).
Suma unghiurilor este \( 360^\circ \).
\( 80^\circ + 100^\circ + 70^\circ + \measuredangle D = 360^\circ \)
\( 250^\circ + \measuredangle D = 360^\circ \implies \measuredangle D = 110^\circ \).
\( 80^\circ + 100^\circ + 70^\circ + \measuredangle D = 360^\circ \)
\( 250^\circ + \measuredangle D = 360^\circ \implies \measuredangle D = 110^\circ \).
Paralelogramul este patrulaterul care are laturile opuse paralele (\( AB \parallel CD \) și \( AD \parallel BC \)).
Proprietățile paralelogramului:
- Laturile opuse sunt congruente (\( AB \equiv CD, AD \equiv BC \));
- Unghiurile opuse sunt congruente (\( \measuredangle A \equiv \measuredangle C, \measuredangle B \equiv \measuredangle D \));
- Unghiurile alăturate sunt suplementare (suma lor este \( 180^\circ \));
- Diagonalele se înjumătățesc (se intersectează în mijlocul fiecăreia).
Pentru a demonstra că un patrulater este paralelogram, este suficient să arătăm că îndeplinește una dintre proprietățile de mai sus (sau că două laturi opuse sunt paralele și congruente).
Dreptunghiul este paralelogramul care are un unghi drept.
Proprietăți specifice dreptunghiului: Toate unghiurile sunt drepte (\( 90^\circ \)) și diagonalele sunt congruente (\( AC \equiv BD \)).
Rombul este paralelogramul cu două laturi consecutive congruente.
Proprietăți specifice rombului: Toate laturile sunt congruente, diagonalele sunt perpendiculare (\( AC \perp BD \)) și diagonalele sunt bisectoarele unghiurilor rombului.
Pătratul este paralelogramul cu două laturi consecutive congruente și un unghi drept (îmbină definițiile dreptunghiului și rombului).
Pătratul are toate proprietățile paralelogramului, dreptunghiului și rombului. Orice pătrat este concomitent un dreptunghi și un romb.
Trapezul este patrulaterul care are două laturi paralele (numite baze) și două laturi neparalele.
Unghiurile alăturate unei laturi neparalele sunt suplementare.
Trapezul dreptunghic: are un unghi drept (în consecință, are două unghiuri drepte alăturate laturii neparalele perpendiculare pe baze).
Trapezul isoscel: are laturile neparalele congruente.
Proprietățile trapezului isoscel:
- Unghiurile alăturate fiecărei baze sunt congruente;
- Diagonalele sunt congruente (\( AC \equiv BD \)).
În triunghi: Segmentul determinat de mijloacele a două laturi.
Linia mijlocie a unui triunghi este paralelă cu a treia latură și are lungimea egală cu jumătate din aceasta (\( MN \parallel BC \) și \( MN = \frac{BC}{2} \)).
Centrul de greutate (\( G \)): Punctul de intersecție a celor trei mediane ale triunghiului.
Centrul de greutate se află pe fiecare mediană la două treimi de vârf și o treime de bază. Dacă \( AD \) este mediană, atunci \( AG = \frac{2}{3}AD \) și \( GD = \frac{1}{3}AD \).
În trapez: Segmentul care unește mijloacele laturilor neparalele.
Linia mijlocie a trapezului este paralelă cu bazele și egală cu semisuma lor: \( \frac{B + b}{2} \).
Observație: Segmentul determinat de intersecția liniei mijlocii cu diagonalele are lungimea egală cu semidiferența bazelor: \( \frac{B - b}{2} \).
Observație: Segmentul determinat de intersecția liniei mijlocii cu diagonalele are lungimea egală cu semidiferența bazelor: \( \frac{B - b}{2} \).
Teorema medianei (în triunghiul dreptunghic): Lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.
Perimetrul unui poligon este suma lungimilor tuturor laturilor sale. Aria reprezintă măsura suprafeței poligonale (U.M. de bază este \( m^2 \)).
Triunghi oarecare: \( \mathcal{A} = \frac{b \cdot h}{2} \) (baza ori înălțimea supra 2)
Triunghi dreptunghic: \( \mathcal{A} = \frac{c_1 \cdot c_2}{2} \) (produsul catetelor supra 2)
Paralelogram: \( \mathcal{A} = b \cdot h \)
Romb: \( \mathcal{A} = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \) (unde \( d_1, d_2 \) sunt diagonalele) sau formula paralelogramului
Trapez: \( \mathcal{A} = \frac{(B + b) \cdot h}{2} \) (semisuma bazelor ori înălțimea)
Triunghi dreptunghic: \( \mathcal{A} = \frac{c_1 \cdot c_2}{2} \) (produsul catetelor supra 2)
Paralelogram: \( \mathcal{A} = b \cdot h \)
Romb: \( \mathcal{A} = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \) (unde \( d_1, d_2 \) sunt diagonalele) sau formula paralelogramului
Trapez: \( \mathcal{A} = \frac{(B + b) \cdot h}{2} \) (semisuma bazelor ori înălțimea)
Probleme practice
Ușoară: Într-un paralelogram \( ABCD \), măsura unghiului \( A \) este de \( 45^\circ \). Care sunt măsurile celorlalte trei unghiuri?
Într-un paralelogram, unghiurile opuse sunt congruente, iar unghiurile alăturate sunt suplementare.
\( \measuredangle C = \measuredangle A = 45^\circ \).
\( \measuredangle B = 180^\circ - \measuredangle A = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \).
\( \measuredangle D = \measuredangle B = 135^\circ \).
Răspuns: \( 135^\circ, 45^\circ, 135^\circ \).
\( \measuredangle C = \measuredangle A = 45^\circ \).
\( \measuredangle B = 180^\circ - \measuredangle A = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \).
\( \measuredangle D = \measuredangle B = 135^\circ \).
Răspuns: \( 135^\circ, 45^\circ, 135^\circ \).
Medie: Baza mare a unui trapez este de 12 cm, iar baza mică este de 8 cm. Aflați lungimea liniei mijlocii a trapezului și aria trapezului, știind că înălțimea sa este de 5 cm.
Linia mijlocie \( = \frac{B + b}{2} = \frac{12 + 8}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ cm} \).
Aria trapezului \( = \frac{(B + b) \cdot h}{2} = \text{Linia mijlocie} \cdot h = 10 \cdot 5 = 50 \text{ cm}^2 \).
Aria trapezului \( = \frac{(B + b) \cdot h}{2} = \text{Linia mijlocie} \cdot h = 10 \cdot 5 = 50 \text{ cm}^2 \).
Dificilă: Fie un triunghi dreptunghic \( ABC \) cu unghiul drept în \( A \). Notăm cu \( M \) mijlocul ipotenuzei \( BC \). Dacă lungimea lui \( AM \) este de \( 6 \text{ cm} \), iar o catetă are lungimea de \( 8 \text{ cm} \), aflați perimetrul și aria triunghiului \( ABC \).
\( AM \) este mediana corespunzătoare ipotenuzei. Conform teoremei medianei, \( AM = \frac{BC}{2} \).
Rezultă \( BC = 2 \cdot AM = 2 \cdot 6 = 12 \text{ cm} \).
Fie cateta cunoscută \( c_1 = 8 \text{ cm} \). Pentru a găsi cealaltă catetă (\( c_2 \)), folosim Teorema lui Pitagora:
\( c_1^2 + c_2^2 = BC^2 \implies 8^2 + c_2^2 = 12^2 \implies 64 + c_2^2 = 144 \implies c_2^2 = 80 \implies c_2 = 4\sqrt{5} \text{ cm} \).
Perimetrul \( = c_1 + c_2 + BC = 8 + 4\sqrt{5} + 12 = 20 + 4\sqrt{5} \text{ cm} \).
Aria \( = \frac{c_1 \cdot c_2}{2} = \frac{8 \cdot 4\sqrt{5}}{2} = 16\sqrt{5} \text{ cm}^2 \).
Rezultă \( BC = 2 \cdot AM = 2 \cdot 6 = 12 \text{ cm} \).
Fie cateta cunoscută \( c_1 = 8 \text{ cm} \). Pentru a găsi cealaltă catetă (\( c_2 \)), folosim Teorema lui Pitagora:
\( c_1^2 + c_2^2 = BC^2 \implies 8^2 + c_2^2 = 12^2 \implies 64 + c_2^2 = 144 \implies c_2^2 = 80 \implies c_2 = 4\sqrt{5} \text{ cm} \).
Perimetrul \( = c_1 + c_2 + BC = 8 + 4\sqrt{5} + 12 = 20 + 4\sqrt{5} \text{ cm} \).
Aria \( = \frac{c_1 \cdot c_2}{2} = \frac{8 \cdot 4\sqrt{5}}{2} = 16\sqrt{5} \text{ cm}^2 \).
Cercul
Un unghi care are vârful pe cerc și ale cărui laturi sunt secante cercului se numește unghi înscris în cerc. Arcul cuprins între laturile unghiului se numește arc subîntins.
Măsura unui unghi înscris în cerc este jumătate din măsura arcului cuprins între laturile sale.
\[ m(\measuredangle ABC) = \frac{1}{2} m(\overset{\frown}{AC}) \]
Orice unghi înscris într-un semicerc (ale cărui laturi subîntind un diametru) este unghi drept (\(90^\circ\)).
Unghi cu vârful în interiorul cercului: Măsura sa este egală cu semisuma arcelor cuprinse între laturi și prelungirile laturilor.
\[ m(\measuredangle APB) = \frac{1}{2} \left[ m(\overset{\frown}{AB}) + m(\overset{\frown}{CD}) \right] \]
Unghi cu vârful în exteriorul cercului: Măsura sa este egală cu modulul semidiferenței arcelor cuprinse între laturi.
\[ m(\measuredangle APB) = \frac{1}{2} \left| m(\overset{\frown}{AB}) - m(\overset{\frown}{CD}) \right| \]
Arce și coarde congruente: Într-un cerc, la arce congruente corespund coarde congruente și reciproc. (\(AB \equiv CD \iff \overset{\frown}{AB} \equiv \overset{\frown}{CD}\))
Diametrul perpendicular: Diametrul perpendicular pe o coardă trece prin mijlocul coardei și prin mijloacele arcelor determinate de aceasta.
Coarde paralele: Dacă două coarde ale unui cerc sunt paralele, atunci arcele cuprinse între ele sunt congruente. (\(AB \parallel CD \implies \overset{\frown}{AC} \equiv \overset{\frown}{BD}\))
Distanța la centru: Două coarde ale unui cerc sunt congruente dacă și numai dacă sunt egal depărtate de centrul cercului.
O tangentă la cerc este întotdeauna perpendiculară pe raza dusă în punctul de contact.
Prin orice punct exterior unui cerc se pot duce exact două tangente. Segmentele determinate de acel punct exterior și punctele de tangență de pe cerc sunt congruente.
Dacă \(PA\) și \(PB\) sunt tangente la cerc (cu \(A\) și \(B\) puncte de tangență), atunci \(PA \equiv PB\).
Cercul înscris într-un triunghi: Bisectoarele unghiurilor unui triunghi sunt concurente într-un punct \(I\). Acest punct coincide cu centrul cercului înscris în triunghi, fiind egal depărtat de laturile triunghiului (laturile devin tangente la acest cerc).
Un poligon care are toate laturile congruente și toate unghiurile congruente se numește poligon regulat. Orice poligon regulat se poate înscrie într-un cerc.
Pentru un poligon regulat cu \(n\) laturi înscris într-un cerc:
• Măsura unui arc de cerc determinat de o latură: \( \frac{360^\circ}{n} \)
• Măsura unui unghi interior al poligonului: \( \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} \)
• Suma măsurilor tuturor unghiurilor: \( (n - 2) \cdot 180^\circ \)
• Măsura unui arc de cerc determinat de o latură: \( \frac{360^\circ}{n} \)
• Măsura unui unghi interior al poligonului: \( \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} \)
• Suma măsurilor tuturor unghiurilor: \( (n - 2) \cdot 180^\circ \)
Centrul cercului circumscris unui poligon regulat se află la intersecția mediatoarelor laturilor și coincide cu punctul de intersecție a bisectoarelor unghiurilor sale.
Exemple uzuale:
• Triunghi echilateral: \(n=3\), laturi egale, unghiuri de \(60^\circ\).
• Pătrat: \(n=4\), unghiuri de \(90^\circ\), centrul e intersecția diagonalelor.
• Hexagon regulat: \(n=6\), arcele mici au \(60^\circ\). Latura formează triunghiuri echilaterale cu centrul cercului.
• Triunghi echilateral: \(n=3\), laturi egale, unghiuri de \(60^\circ\).
• Pătrat: \(n=4\), unghiuri de \(90^\circ\), centrul e intersecția diagonalelor.
• Hexagon regulat: \(n=6\), arcele mici au \(60^\circ\). Latura formează triunghiuri echilaterale cu centrul cercului.
Fie un cerc de rază \(r\) și diametru \(d = 2r\).
• Lungimea (perimetrul) cercului: \( L_{cerc} = 2\pi r = \pi d \)
• Aria discului (cercului): \( \mathcal{A}_{cerc} = \pi r^2 \)
• Lungimea (perimetrul) cercului: \( L_{cerc} = 2\pi r = \pi d \)
• Aria discului (cercului): \( \mathcal{A}_{cerc} = \pi r^2 \)
Pentru o porțiune de cerc corespunzătoare unui unghi la centru de măsura \(\alpha^\circ\):
• Lungimea arcului de cerc: \( L_{arc} = \frac{\pi r \alpha^\circ}{180^\circ} \)
• Aria sectorului de cerc: \( \mathcal{A}_{sector} = \frac{\pi r^2 \alpha^\circ}{360^\circ} \)
• Lungimea arcului de cerc: \( L_{arc} = \frac{\pi r \alpha^\circ}{180^\circ} \)
• Aria sectorului de cerc: \( \mathcal{A}_{sector} = \frac{\pi r^2 \alpha^\circ}{360^\circ} \)
Exerciții și probleme
Ușoară: Un cerc are raza \(r = 6 \text{ cm}\). Calculați lungimea cercului, aria discului și lungimea arcului de cerc corespunzător unui unghi la centru de \(30^\circ\).
• \(L_{cerc} = 2\pi r = 2 \cdot \pi \cdot 6 = 12\pi \text{ cm}\).
• \(\mathcal{A}_{cerc} = \pi r^2 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi \text{ cm}^2\).
• \(L_{arc} = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 30^\circ}{180^\circ} = \frac{180\pi}{180} = \pi \text{ cm}\).
• \(\mathcal{A}_{cerc} = \pi r^2 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi \text{ cm}^2\).
• \(L_{arc} = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 30^\circ}{180^\circ} = \frac{180\pi}{180} = \pi \text{ cm}\).
Medie: Două coarde \(AC\) și \(BD\) se intersectează într-un punct \(P\) aflat în interiorul unui cerc. Dacă măsura unghiului \(\measuredangle APB\) este de \(75^\circ\), iar măsura arcului \(\overset{\frown}{AB}\) este de \(50^\circ\), aflați măsura arcului \(\overset{\frown}{CD}\).
Folosim formula unghiului cu vârful în interiorul cercului, care este egal cu semisuma arcelor cuprinse între laturile sale:
\[ m(\measuredangle APB) = \frac{m(\overset{\frown}{AB}) + m(\overset{\frown}{CD})}{2} \]
Înlocuim datele cunoscute:
\[ 75^\circ = \frac{50^\circ + m(\overset{\frown}{CD})}{2} \]
\[ 150^\circ = 50^\circ + m(\overset{\frown}{CD}) \]
\[ m(\overset{\frown}{CD}) = 150^\circ - 50^\circ = 100^\circ \]
Răspuns: Măsura arcului \(\overset{\frown}{CD}\) este \(100^\circ\).
Dificilă: Un triunghi \(\Delta ABC\) are lungimile laturilor \(AB = 9\text{ cm}\), \(BC = 10\text{ cm}\) și \(AC = 7\text{ cm}\). Cercul înscris în triunghi intersectează laturile \(AB, BC\) și \(AC\) în punctele de tangență \(M, N\), respectiv \(P\). Calculați lungimile segmentelor \(AM, BM\) și \(CN\).
Din proprietatea tangentelor duse dintr-un punct exterior, obținem segmente congruente:
\(AM = AP = x\)
\(BM = BN = y\)
\(CN = CP = z\)
Formăm un sistem pe baza lungimilor laturilor:
\(x + y = 9\) (latură \(AB\))
\(y + z = 10\) (latură \(BC\))
\(x + z = 7\) (latură \(AC\))
Adunând cele 3 ecuații obținem perimetrul: \(2x + 2y + 2z = 26 \implies x + y + z = 13\).
Scădem ecuațiile individuale din sumă:
\(z = 13 - (x+y) = 13 - 9 = 4 \implies CN = CP = 4\text{ cm}\).
\(x = 13 - (y+z) = 13 - 10 = 3 \implies AM = AP = 3\text{ cm}\).
\(y = 13 - (x+z) = 13 - 7 = 6 \implies BM = BN = 6\text{ cm}\).
\(AM = AP = x\)
\(BM = BN = y\)
\(CN = CP = z\)
Formăm un sistem pe baza lungimilor laturilor:
\(x + y = 9\) (latură \(AB\))
\(y + z = 10\) (latură \(BC\))
\(x + z = 7\) (latură \(AC\))
Adunând cele 3 ecuații obținem perimetrul: \(2x + 2y + 2z = 26 \implies x + y + z = 13\).
Scădem ecuațiile individuale din sumă:
\(z = 13 - (x+y) = 13 - 9 = 4 \implies CN = CP = 4\text{ cm}\).
\(x = 13 - (y+z) = 13 - 10 = 3 \implies AM = AP = 3\text{ cm}\).
\(y = 13 - (x+z) = 13 - 7 = 6 \implies BM = BN = 6\text{ cm}\).
Asemănarea Triunghiurilor
Segmentele \( AB, CD \) și \( EF \) sunt respectiv proporționale cu segmentele \( A'B', C'D' \) și \( E'F' \) dacă lungimile lor formează un șir de rapoarte egale.
\[ \frac{AB}{A'B'} = \frac{CD}{C'D'} = \frac{EF}{E'F'} \]
Proprietatea șirului de rapoarte egale:
\[ \frac{AB}{A'B'} = \frac{CD}{C'D'} = \frac{EF}{E'F'} = \frac{AB + CD + EF}{A'B' + C'D' + E'F'} \]
\[ \frac{AB}{A'B'} = \frac{CD}{C'D'} = \frac{EF}{E'F'} = \frac{AB + CD + EF}{A'B' + C'D' + E'F'} \]
Teorema paralelelor echidistante: Dacă trei sau mai multe drepte paralele determină pe o secantă segmente congruente, atunci ele determină pe orice altă secantă segmente congruente. Această teoremă este utilă pentru a împărți un segment în părți egale.
Raportul în care un punct împarte un segment: Dacă \( M \in AB \), raportul în care \( M \) împarte segmentul \( AB \) este \( \frac{AM}{MB} \).
Teorema lui Thales: O paralelă dusă la una dintre laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi (sau pe prelungirile lor) segmente proporționale.
Dacă \( M \in AB \), \( N \in AC \) și \( MN \parallel BC \), atunci:
\[ \frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} \]
Forme derivate utile: \( \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \) și \( \frac{MB}{AB} = \frac{NC}{AC} \)
Reciproca teoremei lui Thales: Dacă o dreaptă determină pe două laturi ale unui triunghi segmente proporționale, atunci această dreaptă este paralelă cu a treia latură. (Dacă \( \frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} \Rightarrow MN \parallel BC \)).
Teorema bisectoarei: Bisectoarea unui unghi al unui triunghi determină pe latura opusă segmente proporționale cu laturile care formează unghiul.
Dacă \( AD \) este bisectoarea unghiului \( \angle BAC \) și \( D \in BC \):
\[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \]
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au toate unghiurile respectiv congruente și toate laturile omoloage (care se opun unghiurilor congruente) respectiv proporționale.
Scriem \( \triangle ABC \sim \triangle A'B'C' \). Valoarea rapoartelor laturilor omoloage se numește raport de asemănare (\( k \)).
\[ \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CA}{C'A'} = k \]
Teorema fundamentală a asemănării (TFA): O paralelă dusă la una dintre laturile unui triunghi formează cu celelalte două laturi (sau cu prelungirile lor) un triunghi asemenea cu cel inițial.
Dacă \( DE \parallel BC \) (\( D \in AB, E \in AC \)) \(\Rightarrow \triangle ADE \sim \triangle ABC\).
Criteriile de asemănare sunt teoreme care ne permit să demonstrăm că două triunghiuri sunt asemenea verificând mai puține condiții decât cele din definiție.
Criteriul UU (Unghi-Unghi): Dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt respectiv congruente cu două unghiuri ale altui triunghi, atunci cele două triunghiuri sunt asemenea.
Criteriul LUL (Latură-Unghi-Latură): Două triunghiuri care au o pereche de unghiuri respectiv congruente și laturile care formează aceste unghiuri respectiv proporționale sunt asemenea.
Criteriul LLL (Latură-Latură-Latură): Două triunghiuri care au toate cele trei laturi respectiv proporționale sunt asemenea.
Proprietăți esențiale pentru două triunghiuri asemenea având raportul de asemănare \( k \):
1. Raportul înălțimilor: Raportul înălțimilor corespunzătoare este egal cu raportul de asemănare.
\[ \frac{h_1}{h_2} = k \] 2. Raportul ariilor: Raportul ariilor este egal cu pătratul raportului de asemănare.
\[ \frac{\mathcal{A}_1}{\mathcal{A}_2} = k^2 \]
\[ \frac{h_1}{h_2} = k \] 2. Raportul ariilor: Raportul ariilor este egal cu pătratul raportului de asemănare.
\[ \frac{\mathcal{A}_1}{\mathcal{A}_2} = k^2 \]
Aplicații practice: Asemănarea se folosește pentru a măsura distanțe inaccesibile. De exemplu, înălțimea unui copac se poate afla comparând lungimea umbrei sale cu lungimea umbrei unui obiect de înălțime cunoscută (baston), deoarece razele soarelui formează unghiuri congruente (criteriul UU).
Exerciții
Ușoară: În triunghiul \( ABC \), dreapta \( MN \parallel BC \), cu \( M \in AB \) și \( N \in AC \). Dacă \( AM = 4 \text{ cm} \), \( MB = 6 \text{ cm} \) și \( AN = 6 \text{ cm} \), calculați lungimea segmentului \( NC \).
Conform Teoremei lui Thales, deoarece \( MN \parallel BC \), avem:
\[ \frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} \]
Înlocuim datele:
\[ \frac{4}{6} = \frac{6}{NC} \Rightarrow 4 \cdot NC = 36 \Rightarrow NC = 9 \text{ cm} \]
Medie: Se dă triunghiul \( ABC \) cu \( AB = 10 \text{ cm} \), \( AC = 15 \text{ cm} \) și \( BC = 12 \text{ cm} \). Fie \( AD \) bisectoarea unghiului \( A \), cu \( D \in BC \). Calculați lungimile segmentelor \( BD \) și \( DC \).
Conform Teoremei bisectoarei:
\[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \]
Știm că \( BD + DC = BC = 12 \). Putem scrie \( BD = \frac{2}{3} DC \).
\[ \frac{2}{3} DC + DC = 12 \Rightarrow \frac{5}{3} DC = 12 \Rightarrow DC = \frac{36}{5} = 7,2 \text{ cm} \]
\( BD = 12 - 7,2 = 4,8 \text{ cm} \).
Dificilă: Triunghiurile \( \triangle ABC \) și \( \triangle DEF \) sunt asemenea. Se știe că \( AB = 5 \text{ cm} \), \( DE = 15 \text{ cm} \), iar aria triunghiului \( \triangle ABC \) este \( 20 \text{ cm}^2 \). Calculați aria triunghiului \( \triangle DEF \).
Calculăm raportul de asemănare \( k \):
\( k = \frac{DE}{AB} = \frac{15}{5} = 3 \) (considerând raportul de la triunghiul mare la cel mic).
\( k = \frac{DE}{AB} = \frac{15}{5} = 3 \) (considerând raportul de la triunghiul mare la cel mic).
Folosim proprietatea raportului ariilor. Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este \( k^2 \):
\( \frac{\mathcal{A}_{DEF}}{\mathcal{A}_{ABC}} = 3^2 = 9 \)
\( \frac{\mathcal{A}_{DEF}}{\mathcal{A}_{ABC}} = 3^2 = 9 \)
Calculăm aria:
\( \mathcal{A}_{DEF} = 9 \cdot 20 = 180 \text{ cm}^2 \).
\( \mathcal{A}_{DEF} = 9 \cdot 20 = 180 \text{ cm}^2 \).
Dificilă: Un băț cu înălțimea de \( 2 \text{ m} \), așezat vertical, are o umbră lungă de \( 3 \text{ m} \). În același timp, o clădire alăturată proiectează o umbră lungă de \( 24 \text{ m} \). Care este înălțimea clădirii?
Razele soarelui cad sub același unghi, așadar se formează două triunghiuri dreptunghice asemenea (criteriul UU).
Fie \( h \) înălțimea clădirii. Raportul înălțimilor este egal cu raportul umbrelor:
\[ \frac{h}{2} = \frac{24}{3} \]
\[ \frac{h}{2} = 8 \Rightarrow h = 16 \text{ m} \]
Răspuns: Clădirea are o înălțime de \( 16 \text{ m} \).
Relații Metrice în Triunghiul Dreptunghic
Proiecția ortogonală a unui punct pe o dreaptă este piciorul perpendicularei duse din acel punct pe dreapta respectivă.
Proiecția ortogonală a unui segment pe o dreaptă este segmentul determinat de proiecțiile ortogonale ale capetelor segmentului pe acea dreaptă. Dacă segmentul este perpendicular pe dreaptă, proiecția sa este un singur punct.
Într-un triunghi dreptunghic \( ABC \) (\( \measuredangle A = 90^\circ \)) cu înălțimea \( AD \perp BC \):
• Proiecția catetei \( AB \) pe ipotenuza \( BC \) este segmentul \( BD \).
• Proiecția catetei \( AC \) pe ipotenuza \( BC \) este segmentul \( DC \).
• Proiecția catetei \( AB \) pe ipotenuza \( BC \) este segmentul \( BD \).
• Proiecția catetei \( AC \) pe ipotenuza \( BC \) este segmentul \( DC \).
Teorema înălțimii: Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este media geometrică a lungimilor segmentelor determinate de ea pe ipotenuză.
\[ AD^2 = BD \cdot DC \quad \text{sau} \quad AD = \sqrt{BD \cdot DC} \]
(unde \( AD \) este înălțimea, iar \( BD \) și \( DC \) sunt proiecțiile catetelor pe ipotenuză)
Teorema catetei: Lungimea unei catete este egală cu media geometrică dintre lungimea ipotenuzei și lungimea proiecției acelei catete pe ipotenuză.
\[ AB^2 = BD \cdot BC \quad \text{și} \quad AC^2 = DC \cdot BC \]
Într-un triunghi dreptunghic \( ABC \) (\( \measuredangle A = 90^\circ \)), înălțimea este \( AD \perp BC \). Știind că \( BD = 4 \) cm și \( DC = 9 \) cm, calculați înălțimea \( AD \) și ipotenuza \( BC \).
Conform teoremei înălțimii: \( AD^2 = BD \cdot DC = 4 \cdot 9 = 36 \). Deci \( AD = \sqrt{36} = 6 \) cm.
Ipotenuza este suma proiecțiilor: \( BC = BD + DC = 4 + 9 = 13 \) cm.
Ipotenuza este suma proiecțiilor: \( BC = BD + DC = 4 + 9 = 13 \) cm.
Teorema lui Pitagora: Pătratul lungimii ipotenuzei unui triunghi dreptunghic este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor.
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \quad \text{(pentru } \measuredangle A = 90^\circ \text{)} \]
Reciproca teoremei lui Pitagora: Dacă pătratul lungimii unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor lungimilor celorlalte două laturi, atunci triunghiul este dreptunghic.
Verificați dacă un triunghi cu laturile de \( 5 \) cm, \( 12 \) cm și \( 13 \) cm este dreptunghic.
Calculăm pătratul laturii celei mai mari: \( 13^2 = 169 \).
Calculăm suma pătratelor celorlalte două laturi: \( 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \).
Deoarece \( 169 = 169 \), conform reciprocei teoremei lui Pitagora, triunghiul este dreptunghic.
Calculăm suma pătratelor celorlalte două laturi: \( 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \).
Deoarece \( 169 = 169 \), conform reciprocei teoremei lui Pitagora, triunghiul este dreptunghic.
Trigonometria studiază relațiile dintre laturile și unghiurile unui triunghi. Într-un triunghi dreptunghic, pentru un unghi ascuțit \( x \), definim următoarele rapoarte constante:
\[ \sin x = \frac{\text{cateta opusă}}{\text{ipotenuză}} \quad \quad \cos x = \frac{\text{cateta alăturată}}{\text{ipotenuză}} \]
\[ \text{tg } x = \frac{\text{cateta opusă}}{\text{cateta alăturată}} \quad \quad \text{ctg } x = \frac{\text{cateta alăturată}}{\text{cateta opusă}} \]
Relații fundamentale:
- Formula fundamentală a trigonometriei: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \)
- \( \text{tg } x = \frac{\sin x}{\cos x} \); \( \text{ctg } x = \frac{\cos x}{\sin x} \)
- Pentru unghiuri complementare (\( x \) și \( 90^\circ - x \)): \( \sin x = \cos(90^\circ - x) \) și \( \text{tg } x = \text{ctg}(90^\circ - x) \)
- Formula unghiului dublu (utilă în aplicații): \( \sin 2x = 2 \cdot \sin x \cdot \cos x \)
Tabelul valorilor trigonometrice uzuale:
| Unghi | \( 30^\circ \) | \( 45^\circ \) | \( 60^\circ \) |
|---|---|---|---|
| sin | \( \frac{1}{2} \) | \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) |
| cos | \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( \frac{1}{2} \) |
| tg | \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) | \( 1 \) | \( \sqrt{3} \) |
| ctg | \( \sqrt{3} \) | \( 1 \) | \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) |
Aria unui triunghi oarecare se poate calcula folosind lungimile a două laturi și sinusul unghiului dintre ele.
\[ \mathcal{A} = \frac{b \cdot c \cdot \sin A}{2} \]
(unde \( b \) și \( c \) sunt lungimile a două laturi, iar \( A \) este unghiul dintre ele)
Un triunghi are două laturi de \( 4 \) cm și \( 10 \) cm, iar unghiul dintre ele este de \( 30^\circ \). Calculați aria sa.
\( \mathcal{A} = \frac{4 \cdot 10 \cdot \sin 30^\circ}{2} \). Cum \( \sin 30^\circ = 0,5 \), obținem:
\( \mathcal{A} = \frac{40 \cdot 0,5}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ cm}^2 \).
\( \mathcal{A} = \frac{40 \cdot 0,5}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ cm}^2 \).
Apotema (\( a_n \)): Distanța de la centrul cercului circumscris la o latură a poligonului regulat.
Notăm cu \( R \) raza cercului și cu \( l_n \) latura poligonului regulat cu \( n \) laturi.
Latură: \( l_3 = R\sqrt{3} \)
Apotemă: \( a_3 = \frac{R}{2} \)
Arie: \( \mathcal{A}_3 = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4} \)
Apotemă: \( a_3 = \frac{R}{2} \)
Arie: \( \mathcal{A}_3 = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4} \)
Latură: \( l_4 = R\sqrt{2} \)
Apotemă: \( a_4 = \frac{R\sqrt{2}}{2} \)
Arie: \( \mathcal{A}_4 = 2R^2 \)
Apotemă: \( a_4 = \frac{R\sqrt{2}}{2} \)
Arie: \( \mathcal{A}_4 = 2R^2 \)
Latură: \( l_6 = R \)
Apotemă: \( a_6 = \frac{R\sqrt{3}}{2} \)
Arie: \( \mathcal{A}_6 = \frac{3R^2\sqrt{3}}{2} \)
Apotemă: \( a_6 = \frac{R\sqrt{3}}{2} \)
Arie: \( \mathcal{A}_6 = \frac{3R^2\sqrt{3}}{2} \)
Un pătrat este înscris într-un cerc cu raza \( R = 5\sqrt{2} \) cm. Calculați lungimea laturii pătratului.
Folosind formula laturii pătratului: \( l_4 = R\sqrt{2} \).
\( l_4 = (5\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 5 \cdot 2 = 10 \) cm.
\( l_4 = (5\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 5 \cdot 2 = 10 \) cm.
Exerciții
Ușoară: Într-un triunghi dreptunghic, catetele au lungimile de \( 6 \) cm și \( 8 \) cm. Calculați lungimea ipotenuzei și valoarea sinusului celui mai mic unghi ascuțit.
Aplicăm teorema lui Pitagora pentru a afla ipotenuza \( ip \):
\( ip^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \implies ip = 10 \) cm.
Cel mai mic unghi ascuțit se opune catetei celei mai mici (\( 6 \) cm).
\( \sin = \frac{\text{cateta opusă}}{\text{ipotenuză}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} = 0,6 \).
\( ip^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \implies ip = 10 \) cm.
Cel mai mic unghi ascuțit se opune catetei celei mai mici (\( 6 \) cm).
\( \sin = \frac{\text{cateta opusă}}{\text{ipotenuză}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} = 0,6 \).
Medie: Un hexagon regulat are latura \( l_6 = 8 \) cm. Aflați raza cercului circumscris (\( R \)), apotema hexagonului (\( a_6 \)) și aria acestuia.
1. Raza cercului: Pentru hexagon, \( R = l_6 = 8 \) cm.
2. Apotema: \( a_6 = \frac{R\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \) cm.
3. Aria: Formula este \( \mathcal{A}_6 = \frac{3R^2\sqrt{3}}{2} \).
\( \mathcal{A}_6 = \frac{3 \cdot 8^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 64 \cdot \sqrt{3}}{2} = 96\sqrt{3} \text{ cm}^2 \).
2. Apotema: \( a_6 = \frac{R\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \) cm.
3. Aria: Formula este \( \mathcal{A}_6 = \frac{3R^2\sqrt{3}}{2} \).
\( \mathcal{A}_6 = \frac{3 \cdot 8^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 64 \cdot \sqrt{3}}{2} = 96\sqrt{3} \text{ cm}^2 \).
Dificilă: Într-un triunghi dreptunghic \( ABC \) (\( \measuredangle A = 90^\circ \)), înălțimea \( AD \) împarte ipotenuza \( BC \) în două segmente: \( BD = 3 \) cm și \( DC = 12 \) cm. Calculați:
a) Înălțimea \( AD \) și catetele \( AB \), \( AC \).
b) Aria triunghiului \( ABC \).
c) Valoarea pentru \( \text{tg}(\measuredangle ACB) \).
a) Înălțimea \( AD \) și catetele \( AB \), \( AC \).
b) Aria triunghiului \( ABC \).
c) Valoarea pentru \( \text{tg}(\measuredangle ACB) \).
a) \( BC = BD + DC = 3 + 12 = 15 \) cm.
Teorema înălțimii: \( AD^2 = BD \cdot DC = 3 \cdot 12 = 36 \implies AD = 6 \) cm.
Teorema catetei pentru AB: \( AB^2 = BD \cdot BC = 3 \cdot 15 = 45 \implies AB = 3\sqrt{5} \) cm.
Teorema catetei pentru AC: \( AC^2 = DC \cdot BC = 12 \cdot 15 = 180 \implies AC = 6\sqrt{5} \) cm.
b) \( \mathcal{A}_{ABC} = \frac{AB \cdot AC}{2} = \frac{3\sqrt{5} \cdot 6\sqrt{5}}{2} = \frac{18 \cdot 5}{2} = 45 \text{ cm}^2 \).
c) În \( \triangle ABC \): \( \text{tg}(\measuredangle ACB) = \frac{\text{cateta opusă (AB)}}{\text{cateta alăturată (AC)}} = \frac{3\sqrt{5}}{6\sqrt{5}} = \frac{1}{2} \).
Teorema înălțimii: \( AD^2 = BD \cdot DC = 3 \cdot 12 = 36 \implies AD = 6 \) cm.
Teorema catetei pentru AB: \( AB^2 = BD \cdot BC = 3 \cdot 15 = 45 \implies AB = 3\sqrt{5} \) cm.
Teorema catetei pentru AC: \( AC^2 = DC \cdot BC = 12 \cdot 15 = 180 \implies AC = 6\sqrt{5} \) cm.
b) \( \mathcal{A}_{ABC} = \frac{AB \cdot AC}{2} = \frac{3\sqrt{5} \cdot 6\sqrt{5}}{2} = \frac{18 \cdot 5}{2} = 45 \text{ cm}^2 \).
c) În \( \triangle ABC \): \( \text{tg}(\measuredangle ACB) = \frac{\text{cateta opusă (AB)}}{\text{cateta alăturată (AC)}} = \frac{3\sqrt{5}}{6\sqrt{5}} = \frac{1}{2} \).
