Cele mai importante aspecte ale lecției
Media aritmetică (\( m_a \)) se calculează adunând toate valorile și împărțind rezultatul la numărul total de valori: \( m_a = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \).
Media aritmetică ponderată (\( m_p \)) se folosește când valorile au cantități/importanțe (ponderi) diferite. Se înmulțește fiecare valoare cu ponderea ei, se adună rezultatele și se împarte la suma ponderilor: \( m_p = \frac{p_1 a_1 + p_2 a_2 + \dots + p_n a_n}{p_1 + p_2 + \dots + p_n} \).
Media aritmetică ponderată (\( m_p \)) se folosește când valorile au cantități/importanțe (ponderi) diferite. Se înmulțește fiecare valoare cu ponderea ei, se adună rezultatele și se împarte la suma ponderilor: \( m_p = \frac{p_1 a_1 + p_2 a_2 + \dots + p_n a_n}{p_1 + p_2 + \dots + p_n} \).
Se numește media aritmetică a \( n \) numere reale (\( n \ge 2 \)) raportul dintre suma acestor numere și numărul lor (adică \( n \)).
\[ m_a = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \]
unde \( a_1, a_2, \dots, a_n \) sunt numerele reale date, iar \( n \) este numărul lor.
Media aritmetică a două sau mai multor numere reale distincte este întotdeauna cuprinsă între cel mai mic și cel mai mare dintre aceste numere.
Dacă \( a_1 < a_2 < \dots < a_n \), atunci: \[ a_1 < m_a < a_n \]
Dacă \( a_1 < a_2 < \dots < a_n \), atunci: \[ a_1 < m_a < a_n \]
Pentru a calcula prețul mediu pe care o persoană l-a plătit pentru un kilogram de legume, știind că a cumpărat 1 kg de mazăre cu 4,20 lei și 1 kg de fasole cu 5,80 lei, se calculează media aritmetică a celor două prețuri:
\[ m_a = \frac{4,20 + 5,80}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ lei} \]
Calculați media aritmetică a numerelor reale \( 2\sqrt{5} \), \( 3\sqrt{5} \) și \( 7\sqrt{5} \).
Având 3 numere, formula este \( m_a = \frac{a_1 + a_2 + a_3}{3} \).
\[ m_a = \frac{2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} + 7\sqrt{5}}{3} = \frac{12\sqrt{5}}{3} = 4\sqrt{5} \]
Se numește media aritmetică ponderată a numerelor \( a_1, a_2, \dots, a_n \) cu ponderile (frecvențele sau importanța) \( p_1, p_2, \dots, p_n \) numărul obținut prin împărțirea sumei produselor dintre fiecare număr și ponderea sa la suma tuturor ponderilor.
\[ m_p = \frac{p_1 \cdot a_1 + p_2 \cdot a_2 + \dots + p_n \cdot a_n}{p_1 + p_2 + \dots + p_n} \]
Media aritmetică ponderată se utilizează în situații practice atunci când anumite valori se repetă de un număr de ori (ponderea reprezintă cantitatea sau numărul de repetări) sau când anumite valori au o importanță mai mare decât altele.
Calculați media aritmetică ponderată a numerelor \( 10 \) și \( 15 \), având ponderile \( 3 \), respectiv \( 2 \).
Aplicăm formula cu \( a_1 = 10, p_1 = 3 \) și \( a_2 = 15, p_2 = 2 \):
\[ m_p = \frac{3 \cdot 10 + 2 \cdot 15}{3 + 2} = \frac{30 + 30}{5} = \frac{60}{5} = 12 \]
Probleme practice
Ușoară: Calculați media aritmetică a numerelor: \( x = 7 - 2\sqrt{2} \) și \( y = 3 + 2\sqrt{2} \).
Folosim formula mediei aritmetice pentru două numere:
\[ m_a = \frac{x + y}{2} \]
\[ m_a = \frac{(7 - 2\sqrt{2}) + (3 + 2\sqrt{2})}{2} = \frac{7 + 3 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]
Medie: Media aritmetică a trei numere reale este \( 14 \). Suma primelor două numere este \( 25 \). Determinați al treilea număr.
Fie numerele \( a, b \) și \( c \).
Știm că \( \frac{a + b + c}{3} = 14 \), ceea ce înseamnă că suma lor totală este: \[ a + b + c = 14 \cdot 3 = 42 \] De asemenea, știm că \( a + b = 25 \). Înlocuind în relația de mai sus, obținem: \[ 25 + c = 42 \Rightarrow c = 42 - 25 = 17 \] Al treilea număr este \( 17 \).
Știm că \( \frac{a + b + c}{3} = 14 \), ceea ce înseamnă că suma lor totală este: \[ a + b + c = 14 \cdot 3 = 42 \] De asemenea, știm că \( a + b = 25 \). Înlocuind în relația de mai sus, obținem: \[ 25 + c = 42 \Rightarrow c = 42 - 25 = 17 \] Al treilea număr este \( 17 \).
Dificilă: Un cofetar realizează un amestec din 2 kg de bomboane care costă 30 lei/kg și 3 kg de bomboane care costă 40 lei/kg. Care va fi prețul mediu (corect) pentru un kilogram din acest amestec?
Aici trebuie să folosim media aritmetică ponderată, deoarece cantitățile (ponderile) sunt diferite.
- \( a_1 = 30 \) (prețul 1) cu ponderea \( p_1 = 2 \) (cantitatea 1)
- \( a_2 = 40 \) (prețul 2) cu ponderea \( p_2 = 3 \) (cantitatea 2)
