Cele mai importante aspecte ale lecției
Radicalul la putere: Radicalul dispare când este ridicat la puterea a doua: \( (\sqrt{a})^2 = a \).
Exponent negativ: Inversează baza: \( x^{-n} = \frac{1}{x^n} \). Exemplu: \( (\sqrt{2})^{-2} = \frac{1}{2} \).
Proprietatea puterii unui produs: \( (x\sqrt{a})^n = x^n \cdot (\sqrt{a})^n \). Exemplu: \( (2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20 \).
Ierarhia operațiilor: 1. Puteri \( \rightarrow \) 2. Înmulțiri/Împărțiri \( \rightarrow \) 3. Adunări/Scăderi.
Ierarhia parantezelor: 1. Rotunde
Exponent negativ: Inversează baza: \( x^{-n} = \frac{1}{x^n} \). Exemplu: \( (\sqrt{2})^{-2} = \frac{1}{2} \).
Proprietatea puterii unui produs: \( (x\sqrt{a})^n = x^n \cdot (\sqrt{a})^n \). Exemplu: \( (2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20 \).
Ierarhia operațiilor: 1. Puteri \( \rightarrow \) 2. Înmulțiri/Împărțiri \( \rightarrow \) 3. Adunări/Scăderi.
Ierarhia parantezelor: 1. Rotunde
( ) \( \rightarrow \) 2. Pătrate [ ] \( \rightarrow \) 3. Acolade { }.
Regulile de calcul cu puteri învățate la numerele raționale se păstrează și pentru numerele reale (care conțin radicali).
Dacă \( a \in \mathbb{R} \), cu \( a \geq 0 \) și \( n \in \mathbb{N}^* \):
\[ (\sqrt{a})^n = \sqrt{a^n} \]
Pentru cazul particular în care exponentul este 2:
\[ (\sqrt{a})^2 = a \]
Pentru a ridica la putere un număr real de forma \( x\sqrt{a} \), se ridică la acea putere atât factorul rațional (\( x \)), cât și radicalul (\( \sqrt{a} \)).
\[ (x\sqrt{a})^n = x^n(\sqrt{a})^n \]
\( (\sqrt{5})^3 = \sqrt{5^3} = \sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5} \)
\( (2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12 \)
\( (2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12 \)
Calculați \( (3\sqrt{2})^4 \).
Aplicăm regula pentru ridicarea la putere a unui produs:
\( (3\sqrt{2})^4 = 3^4 \cdot (\sqrt{2})^4 \)
\( 3^4 = 81 \)
\( (\sqrt{2})^4 = \sqrt{2^4} = \sqrt{16} = 4 \)
Rezultatul este \( 81 \cdot 4 = 324 \).
\( (3\sqrt{2})^4 = 3^4 \cdot (\sqrt{2})^4 \)
\( 3^4 = 81 \)
\( (\sqrt{2})^4 = \sqrt{2^4} = \sqrt{16} = 4 \)
Rezultatul este \( 81 \cdot 4 = 324 \).
Dacă \( a \in \mathbb{R} \), cu \( a > 0 \) și \( n \in \mathbb{N} \), ridicarea la o putere negativă înseamnă inversarea bazei:
\[ (\sqrt{a})^{-n} = \frac{1}{(\sqrt{a})^n} \]
\( (\sqrt{3})^{-2} = \frac{1}{(\sqrt{3})^2} = \frac{1}{3} \)
\( (\sqrt{2})^{-3} = \frac{1}{(\sqrt{2})^3} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \) (care, prin raționalizare cu \( \sqrt{2} \), devine \( \frac{\sqrt{2}}{4} \))
\( (\sqrt{2})^{-3} = \frac{1}{(\sqrt{2})^3} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \) (care, prin raționalizare cu \( \sqrt{2} \), devine \( \frac{\sqrt{2}}{4} \))
Calculați \( \left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)^{-2} \).
Exponentul negativ inversează fracția:
\( \left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)^{-2} = \left(\frac{\sqrt{7}}{1}\right)^2 = (\sqrt{7})^2 = 7 \).
\( \left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)^{-2} = \left(\frac{\sqrt{7}}{1}\right)^2 = (\sqrt{7})^2 = 7 \).
Într-un exercițiu cu numere reale, regulile pentru ordinea operațiilor sunt aceleași ca la numerele raționale.
Operațiile: Se efectuează mai întâi ridicările la putere, apoi înmulțirile și împărțirile, iar la final adunările și scăderile (în ordinea în care sunt scrise).
Parantezele: Se rezolvă mai întâi calculele din parantezele rotunde
( ), apoi cele din parantezele pătrate [ ], și la final cele din acolade { }.
Calculați: \( 5\sqrt{2} + (\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{8} \)
1. Ridicarea la putere și scoaterea factorilor: \( (\sqrt{3})^2 = 3 \) și \( \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)
2. Înmulțirea: \( 3 \cdot 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \)
3. Adunarea: \( 5\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 11\sqrt{2} \)
1. Ridicarea la putere și scoaterea factorilor: \( (\sqrt{3})^2 = 3 \) și \( \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)
2. Înmulțirea: \( 3 \cdot 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \)
3. Adunarea: \( 5\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 11\sqrt{2} \)
Probleme de antrenament
Ușoară: Efectuați calculul: \( (-\sqrt{7})^2 + (\sqrt{3})^4 \).
Calculăm fiecare putere în parte:
\( (-\sqrt{7})^2 = 7 \) (orice număr negativ ridicat la o putere pară devine pozitiv).
\( (\sqrt{3})^4 = \sqrt{3^4} = \sqrt{81} = 9 \).
Adunăm rezultatele: \( 7 + 9 = 16 \).
Răspuns: 16
\( (-\sqrt{7})^2 = 7 \) (orice număr negativ ridicat la o putere pară devine pozitiv).
\( (\sqrt{3})^4 = \sqrt{3^4} = \sqrt{81} = 9 \).
Adunăm rezultatele: \( 7 + 9 = 16 \).
Răspuns: 16
Medie: Calculați, respectând ordinea operațiilor: \( \left(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}\right)^3 + (2\sqrt{5})^2 \).
Efectuăm operația din paranteză:
\( \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3 \).
Ridicăm la putere:
\( 3^3 = 27 \).
\( (2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20 \).
Adunăm rezultatele:
\( 27 + 20 = 47 \).
Răspuns: 47
\( \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3 \).
Ridicăm la putere:
\( 3^3 = 27 \).
\( (2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20 \).
Adunăm rezultatele:
\( 27 + 20 = 47 \).
Răspuns: 47
Dificilă: Calculați: \( \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}} \cdot (2\sqrt{2})^2 - \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{-2} \).
1. Rezolvăm împărțirea radicalilor: \( \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}} = \sqrt{9} = 3 \).
2. Calculăm puterea: \( (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8 \).
3. Rezolvăm puterea cu exponent negativ (inversăm baza): \( \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{-2} = (\sqrt{5})^2 = 5 \).
4. Reconstituim exercițiul conform ordinii operațiilor (întâi înmulțirea, apoi scăderea):
\( 3 \cdot 8 - 5 = 24 - 5 = 19 \).
Răspuns: 19
2. Calculăm puterea: \( (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8 \).
3. Rezolvăm puterea cu exponent negativ (inversăm baza): \( \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{-2} = (\sqrt{5})^2 = 5 \).
4. Reconstituim exercițiul conform ordinii operațiilor (întâi înmulțirea, apoi scăderea):
\( 3 \cdot 8 - 5 = 24 - 5 = 19 \).
Răspuns: 19
Dificilă (avansați): Determinați rezultatul calculului: \( (3\sqrt{2} - \sqrt{18} - \sqrt{50})^3 : \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{-3} \).
1. Scoatem factorii de sub radical pentru a efectua calculele din prima paranteză:
\( \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \) și \( \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \).
2. Calculăm interiorul primei paranteze: \( 3\sqrt{2} - 3\sqrt{2} - 5\sqrt{2} = -5\sqrt{2} \).
3. Ridicăm rezultatul la puterea a 3-a: \( (-5\sqrt{2})^3 = (-5)^3 \cdot (\sqrt{2})^3 = -125 \cdot 2\sqrt{2} = -250\sqrt{2} \).
4. Calculăm împărțitorul, inversând baza din cauza exponentului negativ: \( \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{-3} = (\sqrt{2})^3 = 2\sqrt{2} \).
5. Efectuăm împărțirea finală:
\( -250\sqrt{2} : 2\sqrt{2} = -250 : 2 = -125 \).
Răspuns: -125
\( \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \) și \( \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \).
2. Calculăm interiorul primei paranteze: \( 3\sqrt{2} - 3\sqrt{2} - 5\sqrt{2} = -5\sqrt{2} \).
3. Ridicăm rezultatul la puterea a 3-a: \( (-5\sqrt{2})^3 = (-5)^3 \cdot (\sqrt{2})^3 = -125 \cdot 2\sqrt{2} = -250\sqrt{2} \).
4. Calculăm împărțitorul, inversând baza din cauza exponentului negativ: \( \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{-3} = (\sqrt{2})^3 = 2\sqrt{2} \).
5. Efectuăm împărțirea finală:
\( -250\sqrt{2} : 2\sqrt{2} = -250 : 2 = -125 \).
Răspuns: -125
