Alege rezolvarea exercițiului:
Exercițiul 1 (gratuit)
Rezolvare scurtă
\( ST = 30 \text{ cm} \)
\( \frac{US}{TU} = \frac{3}{2} \)
Cazul 1: \( U \in [ST] \) (interior)
\( US + UT = ST = 30 \) \( \frac{US}{UT} = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{US + UT}{UT} = \frac{3 + 2}{2} \) \( \frac{30}{UT} = \frac{5}{2} \Rightarrow UT = \frac{30 \cdot 2}{5} = \frac{\cancel{30}^6 \cdot 2}{\cancel{5}_1} = 12 \text{ cm} \) \( US = 30 - 12 = 18 \text{ cm} \)Cazul 2: \( U \notin [ST] \) (exterior)
Conform figurii, \( S - T - U \), deci \( US - UT = ST = 30 \) \( \frac{US}{UT} = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{US - UT}{UT} = \frac{3 - 2}{2} \) \( \frac{30}{UT} = \frac{1}{2} \Rightarrow UT = 30 \cdot 2 = 60 \text{ cm} \) \( US = 30 + 60 = 90 \text{ cm} \)Rezolvare detaliată
Pasul 1: Analiza problemei
Avem un segment \( ST \) cu lungimea de \( 30 \text{ cm} \). Punctul \( U \) aparține dreptei \( ST \) și împarte segmentul în raportul \( \frac{US}{TU} = \frac{3}{2} \). Există două poziții posibile pentru punctul \( U \): una în interiorul segmentului \( ST \) (notată \( U_1 \) în figură) și una în exteriorul segmentului \( ST \) (notată \( U_2 \) în figură).Pasul 2: Cazul 1 - Punctul \( U \) este în interiorul segmentului \( ST \)
Dacă \( U \) se află între \( S \) și \( T \), atunci suma lungimilor segmentelor formate este egală cu lungimea întregului segment: \[ US + UT = ST = 30 \text{ cm} \] Știm că \( \frac{US}{UT} = \frac{3}{2} \). Folosind proprietatea proporțiilor derivate (adunăm numitorul la numărător), obținem: \[ \frac{US + UT}{UT} = \frac{3 + 2}{2} \] \[ \frac{30}{UT} = \frac{5}{2} \] De aici, calculăm \( UT \): \[ UT = \frac{30 \cdot 2}{5} = \frac{\cancel{30}^6 \cdot 2}{\cancel{5}_1} = 12 \text{ cm} \] Apoi determinăm \( US \): \[ US = 30 - 12 = 18 \text{ cm} \]Pasul 3: Cazul 2 - Punctul \( U \) este în exteriorul segmentului \( ST \)
Conform figurii, \( U \) se află la dreapta punctului \( T \). În acest caz, lungimea segmentului \( US \) este suma lungimilor \( ST \) și \( TU \): \[ US = ST + UT \Rightarrow US - UT = ST = 30 \text{ cm} \] Folosim din nou raportul \( \frac{US}{UT} = \frac{3}{2} \) și aplicăm proprietatea proporțiilor derivate (scădem numitorul din numărător): \[ \frac{US - UT}{UT} = \frac{3 - 2}{2} \] \[ \frac{30}{UT} = \frac{1}{2} \] Calculăm \( UT \): \[ UT = 30 \cdot 2 = 60 \text{ cm} \] Determinăm \( US \) folosind relația \( US = ST + UT \): \[ US = 30 + 60 = 90 \text{ cm} \] Verificăm raportul: \( \frac{90}{60} = \frac{\cancel{90}^3}{\cancel{60}_2} = \frac{3}{2} \), ceea ce este corect.Rezolvare scurtă:
\( ST = 30 \), \( \frac{US}{UT} = \frac{3}{2} \)
1) \( U \in [ST] \): \( US + UT = 30 \Rightarrow \frac{30}{UT} = \frac{5}{2} \Rightarrow UT = 12 \text{ cm}, US = 18 \text{ cm} \)
2) \( U \notin [ST] \): \( US - UT = 30 \Rightarrow \frac{30}{UT} = \frac{1}{2} \Rightarrow UT = 60 \text{ cm}, US = 90 \text{ cm} \)
