Alege rezolvarea exercițiului:
Exercițiul 1 (gratuit)
Rezolvare scurtă
\( \text{Fie } E \text{ mijlocul } AD \text{ și } F \text{ mijlocul } BC \implies EF \text{ linie mijlocie în } ABCD \implies EF \parallel AB \parallel CD \)
a)
\( M, Q \text{ simetrice față de } E \implies E \text{ mijloc } MQ \implies EM = EQ \text{ și } AM = QD, MD = QA \)
\( N, P \text{ simetrice față de } F \implies F \text{ mijloc } NP \implies FN = FP \text{ și } BN = PC, NC = PB \)
\( MN \parallel AB \implies \frac{AM}{MD} = \frac{BN}{NC} \)
\( \frac{QD}{QA} = \frac{PC}{PB} \implies \frac{QA}{QD} = \frac{PB}{PC} \)
\( \text{Din R.T. Thales în trapezul } ABCD \implies PQ \parallel AB \)
b)
\( \text{În trapezul } MNPQ, \text{ laturile neparalele sunt } MQ \text{ și } NP \)
\( E \text{ este mijlocul segmentului } MQ \text{ (din simetrie)} \)
\( F \text{ este mijlocul segmentului } NP \text{ (din simetrie)} \)
\( \text{Linia mijlocie a } MNPQ \text{ este segmentul ce unește mijloacele laturilor neparalele } \implies EF \)
\( \text{Linia mijlocie a } ABCD \text{ este segmentul ce unește mijloacele laturilor neparalele } \implies EF \)
\( \implies \text{Liniile mijlocii coincid.} \)
Rezolvare detaliată
Pasul 1: Analiza poziției punctelor pe laturile neparalele
Fie \( E \) mijlocul laturii \( AD \) și \( F \) mijlocul laturii \( BC \). Segmentul \( EF \) este linia mijlocie a trapezului \( ABCD \), deci \( EF \parallel AB \parallel CD \). Din ipoteză, punctele \( M \) și \( Q \) sunt simetrice față de \( E \). Acest lucru înseamnă că \( E \) este mijlocul segmentului \( MQ \), deci \( EM = EQ \). Analog, deoarece punctele \( N \) și \( P \) sunt simetrice față de \( F \), rezultă că \( F \) este mijlocul segmentului \( NP \), deci \( FN = FP \).Pasul 2: Demonstrarea paralelismului \( PQ \parallel AB \)
Știm că \( MN \parallel AB \). Deoarece \( AB \parallel CD \), rezultă că \( MN \parallel AB \parallel CD \). Într-un trapez, o paralelă la baze determină pe laturile neparalele segmente proporționale (Conform Teoremei lui Thales sau a paralelelor echidistante). Dacă \( MN \parallel AB \), atunci raportul în care \( M \) împarte \( AD \) este egal cu raportul în care \( N \) împarte \( BC \): \[ \frac{AM}{MD} = \frac{BN}{NC} \] Deoarece \( M \) și \( Q \) sunt simetrice față de mijlocul \( E \), avem \( AM = QD \) și \( MD = QA \). Deoarece \( N \) și \( P \) sunt simetrice față de mijlocul \( F \), avem \( BN = PC \) și \( NC = PB \). Înlocuind în raportul de mai sus, obținem: \[ \frac{QD}{QA} = \frac{PC}{PB} \implies \frac{QA}{QD} = \frac{PB}{PC} \] Conform Reciprocei Teoremei lui Thales în trapezul \( ABCD \), dacă \( \frac{AQ}{QD} = \frac{BP}{PC} \), atunci dreapta \( PQ \) este paralelă cu bazele: \[ PQ \parallel AB \]Pasul 3: Coincidența liniilor mijlocii
Linia mijlocie a unui trapez este segmentul care unește mijloacele laturilor neparalele. Pentru trapezul \( ABCD \), laturile neparalele sunt \( AD \) și \( BC \), iar mijloacele lor sunt \( E \), respectiv \( F \). Deci linia mijlocie este \( EF \). Pentru patrulaterul \( MNPQ \), am demonstrat la punctul a) că \( MN \parallel PQ \), deci \( MNPQ \) este un trapez (sau paralelogram). Laturile sale neparalele sunt \( MQ \) și \( NP \). Mijlocul segmentului \( MQ \) este punctul \( E \) (din simetria punctelor \( M \) și \( Q \)). Mijlocul segmentului \( NP \) este punctul \( F \) (din simetria punctelor \( N \) și \( P \)). Prin urmare, linia mijlocie a trapezului \( MNPQ \) este segmentul care unește aceste mijloace, adică tot segmentul \( EF \). Astfel, cele două linii mijlocii coincid.Rezolvare scurtă:
\( E, F \text{ mijloacele } AD, BC \implies EF \text{ l.m. } ABCD. \)
\( M, Q \text{ sim. față de } E \implies AM=QD, MD=QA; \text{ } N, P \text{ sim. față de } F \implies BN=PC, NC=PB. \)
a) \( MN \parallel AB \implies \frac{AM}{MD} = \frac{BN}{NC} \implies \frac{QD}{QA} = \frac{PC}{PB} \implies \frac{QA}{QD} = \frac{PB}{PC} \xrightarrow{R.T.T.} PQ \parallel AB. \)
b) \( E \text{ mijloc } MQ, F \text{ mijloc } NP \implies EF \text{ l.m. } MNPQ. \)
\( \text{Liniile mijlocii coincid, fiind ambele segmentul } EF. \)
