Cele mai importante aspecte ale lecției
Fie două triunghiuri asemenea cu raportul de asemănare \( k \):
• Raportul laturilor omoloage este \( k \).
• Raportul înălțimilor corespunzătoare este \( k \).
• Raportul ariilor este \( k^2 \). (Exemplu: dacă laturile se dublează, aria crește de 4 ori).
• Aplicațiile practice (aflarea înălțimilor și distanțelor) se bazează pe identificarea a două triunghiuri asemenea (de obicei folosind unghiuri drepte și unghiuri formate de linia vizuală sau razele solare) și calcularea elementului necunoscut din proporția laturilor omoloage.
• Raportul laturilor omoloage este \( k \).
• Raportul înălțimilor corespunzătoare este \( k \).
• Raportul ariilor este \( k^2 \). (Exemplu: dacă laturile se dublează, aria crește de 4 ori).
• Aplicațiile practice (aflarea înălțimilor și distanțelor) se bazează pe identificarea a două triunghiuri asemenea (de obicei folosind unghiuri drepte și unghiuri formate de linia vizuală sau razele solare) și calcularea elementului necunoscut din proporția laturilor omoloage.
Raportul înălțimilor corespunzătoare laturilor omoloage a două triunghiuri asemenea este egal cu raportul de asemănare a triunghiurilor.
Dacă \( \Delta ABC \sim \Delta A'B'C' \) și raportul de asemănare este \( \frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{A'C'}{AC} = k \), iar \( AD \perp BC \) și \( A'D' \perp B'C' \), atunci:
\[ \frac{A'D'}{AD} = k \]
Știind că \( \Delta ABC \sim \Delta MNP \), raportul de asemănare este \( \frac{2}{3} \), iar înălțimea din \( A \) a triunghiului \( ABC \) este de \( 12 \text{ cm} \), aflați lungimea înălțimii corespunzătoare din triunghiul \( MNP \).
Deoarece triunghiurile sunt asemenea, raportul înălțimilor este egal cu raportul de asemănare.
Fie \( h_1 \) înălțimea din \( M \). Avem \( \frac{h_1}{12} = \frac{2}{3} \).
\( h_1 = \frac{12 \cdot 2}{3} = \frac{24}{3} = 8 \text{ cm} \).
Fie \( h_1 \) înălțimea din \( M \). Avem \( \frac{h_1}{12} = \frac{2}{3} \).
\( h_1 = \frac{12 \cdot 2}{3} = \frac{24}{3} = 8 \text{ cm} \).
Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este egal cu pătratul raportului de asemănare a triunghiurilor.
Dacă \( \Delta ABC \sim \Delta A'B'C' \) și raportul de asemănare este \( \frac{A'B'}{AB} = k \), atunci:
\[ \frac{\mathcal{A}_{A'B'C'}}{\mathcal{A}_{ABC}} = k^2 \]
Dacă laturile unui triunghi sunt de \( 3 \) ori mai mari decât laturile altui triunghi asemenea cu el (\( k = 3 \)), atunci aria sa va fi de \( 3^2 = 9 \) ori mai mare.
Asemănarea triunghiurilor se folosește frecvent pentru a măsura indirect distanțe sau înălțimi inaccesibile (ex: înălțimea unui copac, a unei clădiri, lățimea unui râu, adâncimea unei fântâni).
Se transpune situația reală într-o schiță geometrică, identificând două triunghiuri.
Se demonstrează că cele două triunghiuri formate sunt asemenea (de cele mai multe ori se folosește criteriul UU - unghi-unghi, folosind unghiuri drepte și unghiuri comune sau opuse la vârf).
Se scriu rapoartele laturilor omoloage și se calculează elementul necunoscut.
Metoda umbrelor (folosind razele solare):
\[ \frac{\text{Înălțime obiect mare}}{\text{Înălțime obiect mic}} = \frac{\text{Lungime umbră obiect mare}}{\text{Lungime umbră obiect mic}} \]
Exerciții
Ușoară: Se dau două triunghiuri asemenea, \( \Delta ABC \sim \Delta DEF \). Dacă raportul laturilor omoloage este \( \frac{AB}{DE} = \frac{1}{4} \), care este valoarea raportului ariilor celor două triunghiuri?
Notăm raportul de asemănare \( k = \frac{AB}{DE} = \frac{1}{4} \).
Conform teoremei raportului ariilor, avem: \[ \frac{\mathcal{A}_{ABC}}{\mathcal{A}_{DEF}} = k^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} \]
Conform teoremei raportului ariilor, avem: \[ \frac{\mathcal{A}_{ABC}}{\mathcal{A}_{DEF}} = k^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} \]
Medie: Ariile a două triunghiuri asemenea sunt de \( 25 \text{ cm}^2 \) și \( 49 \text{ cm}^2 \). Știind că o latură a primului triunghi are lungimea de \( 10 \text{ cm} \), determinați lungimea laturii omoloage din cel de-al doilea triunghi.
Fie \( k \) raportul de asemănare al celor două triunghiuri. Raportul ariilor este \( k^2 \).
\[ k^2 = \frac{25}{49} \implies k = \sqrt{\frac{25}{49}} = \frac{5}{7} \]
Fie \( x \) latura căutată din al doilea triunghi. Raportul laturilor omoloage este egal cu \( k \):
\[ \frac{10}{x} = \frac{5}{7} \]
\[ x = \frac{10 \cdot 7}{5} = \frac{70}{5} = 14 \text{ cm} \]
Dificilă (Situație practică): Un stâlp de iluminat proiectează pe sol o umbră cu lungimea de \( 6 \text{ m} \). În același timp, un copil cu înălțimea de \( 1,5 \text{ m} \), așezat vertical pe sol, proiectează o umbră de \( 1,2 \text{ m} \). Calculați înălțimea stâlpului.
Stâlpul și copilul sunt perpendiculari pe sol (formează unghiuri de \( 90^\circ \)). Razele soarelui formează unghiuri congruente cu solul în ambele cazuri.
Se formează două triunghiuri dreptunghice asemenea (criteriul UU).
Fie \( h \) înălțimea stâlpului. Raportul laturilor omoloage este: \[ \frac{\text{Înălțime stâlp}}{\text{Înălțime copil}} = \frac{\text{Umbră stâlp}}{\text{Umbră copil}} \] \[ \frac{h}{1,5} = \frac{6}{1,2} \] \[ h = \frac{1,5 \cdot 6}{1,2} = \frac{9}{1,2} = 7,5 \text{ m} \]
Se formează două triunghiuri dreptunghice asemenea (criteriul UU).
Fie \( h \) înălțimea stâlpului. Raportul laturilor omoloage este: \[ \frac{\text{Înălțime stâlp}}{\text{Înălțime copil}} = \frac{\text{Umbră stâlp}}{\text{Umbră copil}} \] \[ \frac{h}{1,5} = \frac{6}{1,2} \] \[ h = \frac{1,5 \cdot 6}{1,2} = \frac{9}{1,2} = 7,5 \text{ m} \]
