Cele mai importante aspecte ale lecției
Segmentele sunt proporționale atunci când raportul lungimilor lor este constant. Ne putem folosi de proprietatea rapoartelor egale: \( \frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{a+b}{x+y} \).
Teorema paralelelor echidistante ne arată că dacă un set de drepte paralele taie o secantă în segmente egale, ele vor tăia absolut orice altă secantă tot în segmente egale între ele. Această teoremă stă la baza împărțirii unui segment oarecare într-un număr dorit de segmente congruente cu ajutorul compasului și riglei.
Teorema paralelelor echidistante ne arată că dacă un set de drepte paralele taie o secantă în segmente egale, ele vor tăia absolut orice altă secantă tot în segmente egale între ele. Această teoremă stă la baza împărțirii unui segment oarecare într-un număr dorit de segmente congruente cu ajutorul compasului și riglei.
Două sau mai multe segmente sunt proporționale cu alte segmente dacă lungimile lor, exprimate în aceeași unitate de măsură, formează un șir de rapoarte egale.
Fie segmentele \( AB, CD, EF \) și segmentele \( A'B', C'D', E'F' \). Ele sunt proporționale dacă:
\[ \frac{AB}{A'B'} = \frac{CD}{C'D'} = \frac{EF}{E'F'} \]
Proprietatea fundamentală a șirului de rapoarte egale: Raportul obținut prin adunarea numărătorilor și a numitorilor este egal cu fiecare raport din șir.
\[ \frac{AB}{A'B'} = \frac{CD}{C'D'} = \frac{EF}{E'F'} = \frac{AB + CD + EF}{A'B' + C'D' + E'F'} \]
Dacă avem un triunghi cu laturile \( a = 3 \text{ cm}, b = 4 \text{ cm}, c = 5 \text{ cm} \) și un alt triunghi cu laturile \( a' = 6 \text{ cm}, b' = 8 \text{ cm}, c' = 10 \text{ cm} \), laturile lor sunt proporționale deoarece:
\[ \frac{3}{6} = \frac{4}{8} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \]
Segmentele \( AB \) și \( CD \) sunt proporționale cu numerele \( 2 \) și \( 5 \). Știind că \( AB = 4 \text{ cm} \), aflați lungimea segmentului \( CD \).
Scriem proporția: \( \frac{AB}{2} = \frac{CD}{5} \).
Înlocuim \( AB \): \( \frac{4}{2} = \frac{CD}{5} \Rightarrow 2 = \frac{CD}{5} \).
Rezultă \( CD = 2 \cdot 5 = 10 \text{ cm} \).
Înlocuim \( AB \): \( \frac{4}{2} = \frac{CD}{5} \Rightarrow 2 = \frac{CD}{5} \).
Rezultă \( CD = 2 \cdot 5 = 10 \text{ cm} \).
Mai multe drepte paralele situate la aceeași distanță una față de cealaltă se numesc drepte paralele echidistante.
Dacă trei sau mai multe drepte paralele determină pe o secantă segmente congruente (egale), atunci ele determină pe orice altă secantă segmente congruente.
Afirmația este valabilă și invers: dacă mai multe drepte paralele determină pe orice secantă segmente congruente, atunci dreptele sunt paralele echidistante.
Patru drepte paralele echidistante intersectează o secantă formând trei segmente consecutive egale, fiecare având \( 3 \text{ cm} \). Aceleași drepte taie o altă secantă. Dacă lungimea unuia dintre segmentele formate pe a doua secantă este de \( 4 \text{ cm} \), care este lungimea totală a segmentului cuprins între prima și ultima dreaptă paralelă pe a doua secantă?
Conform Teoremei paralelelor echidistante, deoarece dreptele paralele determină segmente egale pe prima secantă, vor determina segmente egale și pe a doua secantă.
Avem 4 drepte, deci se formează 3 segmente pe fiecare secantă.
Pe a doua secantă, fiecare segment va avea \( 4 \text{ cm} \).
Lungimea totală = \( 3 \text{ segmente} \cdot 4 \text{ cm} = 12 \text{ cm} \).
Avem 4 drepte, deci se formează 3 segmente pe fiecare secantă.
Pe a doua secantă, fiecare segment va avea \( 4 \text{ cm} \).
Lungimea totală = \( 3 \text{ segmente} \cdot 4 \text{ cm} = 12 \text{ cm} \).
Teorema paralelelor echidistante este extrem de utilă în desenul tehnic și geometrie pentru a împărți un segment oarecare într-un număr exact de părți egale, folosind doar rigla negradată și compasul.
Se dă segmentul \( AB \). Construim o semidreaptă ajutătoare \( AX \) care face un unghi oarecare cu \( AB \).
Pe semidreapta \( AX \), folosind compasul cu o deschidere oarecare, marcăm \( n \) segmente egale consecutive: \( AA_1 = A_1A_2 = \dots = A_{n-1}A_n \).
Unim ultimul punct marcat (\( A_n \)) cu extremitatea \( B \) a segmentului inițial.
Prin celelalte puncte (\( A_1, A_2, \dots \)) construim drepte paralele la dreapta \( A_nB \).
Aceste paralele vor tăia segmentul \( AB \) în \( n \) segmente perfect congruente (conform teoremei paralelelor echidistante).
Probleme de antrenament
Ușoară: Segmentele \( MN \) și \( PQ \) sunt proporționale cu numerele \( 3 \) și \( 7 \). Știind că \( MN = 15 \text{ cm} \), calculați lungimea segmentului \( PQ \).
Din proporționalitate obținem: \( \frac{MN}{3} = \frac{PQ}{7} \).
Înlocuind \( MN \): \( \frac{15}{3} = \frac{PQ}{7} \).
\( 5 = \frac{PQ}{7} \Rightarrow PQ = 5 \cdot 7 = 35 \text{ cm} \).
Înlocuind \( MN \): \( \frac{15}{3} = \frac{PQ}{7} \).
\( 5 = \frac{PQ}{7} \Rightarrow PQ = 5 \cdot 7 = 35 \text{ cm} \).
Medie: Trei drepte paralele și echidistante \( d_1, d_2, d_3 \) taie secanta \( a \) în punctele \( A, B, C \) și secanta \( b \) în punctele \( M, N, P \). Știind că \( AC = 18 \text{ cm} \) și \( NP = 7,5 \text{ cm} \), calculați lungimile segmentelor \( AB \) și \( MP \).
Deoarece dreptele sunt paralele echidistante, segmentele de pe aceeași secantă sunt congruente: \( AB = BC \) și \( MN = NP \).
Pe secanta \( a \): \( AC = AB + BC = 2 \cdot AB \). Deci \( 18 = 2 \cdot AB \Rightarrow AB = 9 \text{ cm} \).
Pe secanta \( b \): Deoarece \( NP = 7,5 \text{ cm} \), atunci și \( MN = 7,5 \text{ cm} \).
Lungimea totală \( MP = MN + NP = 7,5 + 7,5 = 15 \text{ cm} \).
Pe secanta \( a \): \( AC = AB + BC = 2 \cdot AB \). Deci \( 18 = 2 \cdot AB \Rightarrow AB = 9 \text{ cm} \).
Pe secanta \( b \): Deoarece \( NP = 7,5 \text{ cm} \), atunci și \( MN = 7,5 \text{ cm} \).
Lungimea totală \( MP = MN + NP = 7,5 + 7,5 = 15 \text{ cm} \).
Dificilă: Laturile unui triunghi \( ABC \) sunt proporționale cu numerele \( 4, 5 \) și \( 6 \). Un alt triunghi, \( A'B'C' \), are laturile proporționale cu ale triunghiului \( ABC \). Dacă diferența dintre cea mai mare și cea mai mică latură a triunghiului \( A'B'C' \) este de \( 12 \text{ cm} \), aflați perimetrul triunghiului \( A'B'C' \).
Fie laturile triunghiului \( A'B'C' \) notate cu \( x \) (cea mai mică), \( y \) (mijlocia) și \( z \) (cea mai mare).
Deoarece sunt proporționale cu \( 4, 5, 6 \), putem scrie: \( \frac{x}{4} = \frac{y}{5} = \frac{z}{6} = k \), unde \( k \) este o constantă de proporționalitate.
Rezultă: \( x = 4k \), \( y = 5k \), \( z = 6k \).
Se dă că diferența dintre cea mai mare și cea mai mică latură este 12: \( z - x = 12 \).
Înlocuim: \( 6k - 4k = 12 \Rightarrow 2k = 12 \Rightarrow k = 6 \).
Laturile sunt: \( x = 4 \cdot 6 = 24 \text{ cm} \), \( y = 5 \cdot 6 = 30 \text{ cm} \), \( z = 6 \cdot 6 = 36 \text{ cm} \).
Perimetrul este: \( P = x + y + z = 24 + 30 + 36 = 90 \text{ cm} \).
Deoarece sunt proporționale cu \( 4, 5, 6 \), putem scrie: \( \frac{x}{4} = \frac{y}{5} = \frac{z}{6} = k \), unde \( k \) este o constantă de proporționalitate.
Rezultă: \( x = 4k \), \( y = 5k \), \( z = 6k \).
Se dă că diferența dintre cea mai mare și cea mai mică latură este 12: \( z - x = 12 \).
Înlocuim: \( 6k - 4k = 12 \Rightarrow 2k = 12 \Rightarrow k = 6 \).
Laturile sunt: \( x = 4 \cdot 6 = 24 \text{ cm} \), \( y = 5 \cdot 6 = 30 \text{ cm} \), \( z = 6 \cdot 6 = 36 \text{ cm} \).
Perimetrul este: \( P = x + y + z = 24 + 30 + 36 = 90 \text{ cm} \).
