8.7. Exersezi Și Progresezi

Rezolvare: Pasul 1: Analiza poziției punctelor pe laturile neparalele Fie \( E \) mijlocul laturii \( AD \) și \( F \) mijlocul laturii \( BC \). Segmentul \( EF \) este linia mijlocie a trapezului \( ABCD \), deci \( EF \parallel AB \parallel CD \). Din ipoteză, punctele \( M \) și \( Q \) sunt simetrice față de \( E \). Acest lucru înseamnă că \( E \) este mijlocul segmentului \( MQ \), deci \( EM = EQ \). Analog, deoarece punctele \( N \) și \( P \) sunt simetrice față de \( F \), rezultă că \( F \) este mijlocul segmentului \( NP \), deci \( FN = FP \). Pasul 2: Demonstrarea paralelismului \( PQ \parallel AB \) Știm că \( MN \parallel AB \). Deoarece \( AB \parallel CD \), rezultă că \( MN \parallel AB \parallel CD \). Într-un trapez, o paralelă la baze determină pe laturile neparalele segmente proporționale (Conform Teoremei lui Thales sau a paralelelor echidistante). Dacă \( MN \parallel AB \), atunci raportul în care \( M \) împarte \( AD \) este egal cu raportul în care \( N \) împarte \( BC \): \[ \frac{AM}{MD} = \frac{BN}{NC} \] Deoarece \( M \) și \( Q \) sunt simetrice față de mijlocul \( E \), avem \( AM = QD \) și \( MD = QA \). Deoarece \( N \) și \( P \) sunt simetrice față de mijlocul \( F \), avem \( BN = PC \) și \( NC = PB \). Înlocuind în raportul de mai sus, obținem: \[ \frac{QD}{QA} = \frac{PC}{PB} \implies \frac{QA}{QD} = \frac{PB}{PC} \] Conform Reciprocei Teoremei lui Thales în trapezul \( ABCD \), dacă \( \frac{AQ}{QD} = \frac{BP}{PC} \), atunci dreapta \( PQ \) este paralelă cu bazele: \[ PQ \parallel AB \] Pasul 3: Coincidența liniilor mijlocii Linia mij…