8.5. Recapitulare

Rezolvare: Pasul 1: Analiza problemei Avem un segment \( ST \) cu lungimea de \( 30 \text{ cm} \). Punctul \( U \) aparține dreptei \( ST \) și împarte segmentul în raportul \( \frac{US}{TU} = \frac{3}{2} \). Există două poziții posibile pentru punctul \( U \): una în interiorul segmentului \( ST \) (notată \( U_1 \) în figură) și una în exteriorul segmentului \( ST \) (notată \( U_2 \) în figură). Pasul 2: Cazul 1 - Punctul \( U \) este în interiorul segmentului \( ST \) Dacă \( U \) se află între \( S \) și \( T \), atunci suma lungimilor segmentelor formate este egală cu lungimea întregului segment: \[ US + UT = ST = 30 \text{ cm} \] Știm că \( \frac{US}{UT} = \frac{3}{2} \). Folosind proprietatea proporțiilor derivate (adunăm numitorul la numărător), obținem: \[ \frac{US + UT}{UT} = \frac{3 + 2}{2} \] \[ \frac{30}{UT} = \frac{5}{2} \] De aici, calculăm \( UT \): \[ UT = \frac{30 \cdot 2}{5} = \frac{\cancel{30}^6 \cdot 2}{\cancel{5}_1} = 12 \text{ cm} \] Apoi determinăm \( US \): \[ US = 30 - 12 = 18 \text{ cm} \] Pasul 3: Cazul 2 - Punctul \( U \) este în exteriorul segmentului \( ST \) Conform figurii, \( U \) se află la dreapta punctului \( T \). În acest caz, lungimea segmentului \( US \) este suma lungimilor \( ST \) și \( TU \): \[ US = ST + UT \Rightarrow US - UT = ST = 30 \text{ cm} \] Folosim din nou raportul \( \frac{US}{UT} = \frac{3}{2} \) și aplicăm proprietatea proporțiilor derivate (scădem numitorul din numărător): \[ \frac{US - UT}{UT} = \frac{3 - 2}{2} \] \[ \frac{30}{UT} = \frac{1}{2} \] Calculăm \( UT \): \[ UT = 30 \cdot 2 = 60 \text{ cm} \] Determinăm \( US \…