Cele mai importante aspecte ale lecției
Paralelogramul este patrulaterul cu laturile opuse paralele și egale două câte două (\(AB \parallel CD, AD \parallel BC\) și \(AB = CD, AD = BC\)). Unghiurile sale pot fi ascuțite sau obtuze.
Dreptunghiul este un paralelogram particular care are toate cele patru unghiuri drepte (\(90^\circ\)).
Relație cheie: Toate dreptunghiurile sunt paralelograme, dar nu toate paralelogramele sunt dreptunghiuri. Ambele au laturile opuse egale și paralele.
Dreptunghiul este un paralelogram particular care are toate cele patru unghiuri drepte (\(90^\circ\)).
Relație cheie: Toate dreptunghiurile sunt paralelograme, dar nu toate paralelogramele sunt dreptunghiuri. Ambele au laturile opuse egale și paralele.
Paralelogramul este poligonul (patrulaterul) care are laturile opuse paralele și de aceeași lungime.
Un paralelogram cu vârfurile \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) se notează \(ABCD\).
Proprietățile paralelogramului ABCD:
- Laturi opuse paralele: \(AB \parallel CD\) și \(AD \parallel BC\)
- Laturi opuse egale (congruente): \(AB = CD\) și \(AD = BC\)
- Unghiuri: Are două unghiuri ascuțite (mai mici de \(90^\circ\)) și două unghiuri obtuze (mai mari de \(90^\circ\)).
Dacă într-un paralelogram \(ABCD\) cunoaștem lungimea laturii \(AB = 10\text{ cm}\) și a laturii \(AD = 6\text{ cm}\), atunci automat laturile opuse lor vor avea aceleași lungimi: \(CD = 10\text{ cm}\) și \(BC = 6\text{ cm}\).
Dreptunghiul este un paralelogram care are toate unghiurile drepte (măsura fiecărui unghi interior este de \(90^\circ\)).
Proprietățile dreptunghiului EFGH:
- Fiind un paralelogram particular, are laturile opuse paralele și egale: \(EF \parallel HG\), \(EH \parallel FG\) și \(EF = HG\), \(EH = FG\).
- Toate cele patru unghiuri sunt drepte: \(\sphericalangle E = \sphericalangle F = \sphericalangle G = \sphericalangle H = 90^\circ\).
Orice dreptunghi este un paralelogram (deoarece are laturile opuse paralele și egale), dar nu orice paralelogram este dreptunghi (un paralelogram oarecare nu are unghiurile de \(90^\circ\)). Spunem că dreptunghiul este un caz particular de paralelogram.
Pentru a înțelege mai bine asemănările și deosebirile dintre cele două figuri geometrice, putem analiza tabelul de mai jos:
| Proprietate | Paralelogram oarecare | Dreptunghi |
|---|---|---|
| Laturi opuse paralele | Da (\(AB \parallel CD, AD \parallel BC\)) | Da (\(EF \parallel HG, EH \parallel FG\)) |
| Laturi opuse egale | Da (\(AB = CD, AD = BC\)) | Da (\(EF = HG, EH = FG\)) |
| Tipul unghiurilor | Două unghiuri ascuțite și două unghiuri obtuze | Toate cele patru unghiuri sunt drepte (\(90^\circ\)) |
Probleme propuse
Problema 1 (Ușoară): Un paralelogram \(ABCD\) are latura \(AB = 12\text{ cm}\) și latura \(BC = 7\text{ cm}\). Calculați lungimile laturilor \(CD\) și \(AD\).
Într-un paralelogram, laturile opuse sunt egale ca lungime două câte două.
- Latura opusă lui \(AB\) este \(CD\), deci \(CD = AB = 12\text{ cm}\).
- Latura opusă lui \(BC\) este \(AD\), deci \(AD = BC = 7\text{ cm}\).
Problema 2 (Medie): Un dreptunghi \(EFGH\) are perimetrul (suma lungimilor tuturor laturilor) egal cu \(40\text{ cm}\). Știind că lungimea laturii \(EF\) este de \(13\text{ cm}\), calculați lungimea laturii \(FG\).
Într-un dreptunghi, laturile opuse sunt egale:
- \(GH = EF = 13\text{ cm}\)
- \(EH = FG\)
Problema 3 (Dificilă): Andrei dorește să construiască un gard în jurul unui teren în formă de paralelogram \(ABCD\). El știe că latura \(AB\) este de două ori mai mare decât latura \(AD\). Dacă pentru a înconjura complet terenul cu un singur rând de sârmă are nevoie de \(120\text{ m}\) de sârmă, aflați lungimile tuturor laturilor terenului.
Lungimea sârmei reprezintă perimetrul paralelogramului, adică:
\[ P = AB + BC + CD + AD = 120\text{ m} \]
Deoarece \(ABCD\) este paralelogram, avem \(CD = AB\) și \(BC = AD\). Astfel, formula perimetrului devine:
\[ P = 2 \cdot AB + 2 \cdot AD = 120\text{ m} \]
Din enunț știm că \(AB = 2 \cdot AD\). Înlocuim \(AB\) în formula perimetrului:
\[ 2 \cdot (2 \cdot AD) + 2 \cdot AD = 120\text{ m} \]
\[ 4 \cdot AD + 2 \cdot AD = 120\text{ m} \]
\[ 6 \cdot AD = 120\text{ m} \]
\[ AD = 120 : 6 = 20\text{ m} \]
Acum aflăm latura \(AB\):
\[ AB = 2 \cdot 20 = 40\text{ m} \]
Laturile opuse sunt egale cu acestea:
\[ CD = AB = 40\text{ m} \]
\[ BC = AD = 20\text{ m} \]
Răspuns: Laturile au lungimile: \(AB = 40\text{ m}\), \(BC = 20\text{ m}\), \(CD = 40\text{ m}\), \(AD = 20\text{ m}\).
