Cele mai importante aspecte ale lecției
Ordinea operațiilor: Paranteze rotunde \(( )\) \(\rightarrow\) Paranteze pătrate \([ ]\). Ordinea operațiilor: înmulțire/împărțire, apoi adunare/scădere.
Metoda grafică: Ideală pentru probleme cu sume, diferențe și rapoarte. Folosește segmente pentru a egala mărimile.
Metoda comparației: Elimină una dintre necunoscute prin înlocuirea ei sau prin scădere directă (atunci când așezăm datele comparativ).
Metoda mersului invers: Pornește de la rezultatul final și folosește operațiile inverse pentru a afla numărul inițial (ex: adunarea devine scădere, înmulțirea devine împărțire).
Metoda grafică: Ideală pentru probleme cu sume, diferențe și rapoarte. Folosește segmente pentru a egala mărimile.
Metoda comparației: Elimină una dintre necunoscute prin înlocuirea ei sau prin scădere directă (atunci când așezăm datele comparativ).
Metoda mersului invers: Pornește de la rezultatul final și folosește operațiile inverse pentru a afla numărul inițial (ex: adunarea devine scădere, înmulțirea devine împărțire).
Operațiile matematice sunt clasificate pe ordine: operații de ordinul I (adunarea și scăderea) și operații de ordinul al II-lea (înmulțirea și împărțirea).
Într-un exercițiu cu paranteze, se respectă următoarea ordine:
- Se efectuează mai întâi operațiile din parantezele rotunde ( ).
- Se efectuează apoi operațiile din parantezele pătrate [ ].
- În interiorul oricărei paranteze (sau în absența lor), se rezolvă întâi operațiile de ordinul al II-lea (înmulțirea și împărțirea), apoi cele de ordinul I (adunarea și scăderea), în ordinea în care sunt scrise (de la stânga la dreapta).
Pe măsură ce efectuăm toate calculele dintr-o paranteză rotundă și o eliminăm, parantezele pătrate [ ] din exteriorul ei se transformă în paranteze rotunde ( ).
Calculul expresiei: \( 50 - [(12 + 3 \times 12) : 2] \)
\[ 50 - [(12 + 3 \times 12) : 2] = \]
\[ = 50 - [(12 + 36) : 2] = \]
\[ = 50 - (48 : 2) = \]
\[ = 50 - 24 = 26 \]
Calculați valoarea expresiei: \( [(12 \times 3 + 24) \times 8 - 180] : 100 \).
Urmăm ordinea operațiilor:
1. Calculăm în paranteza rotundă: \( 12 \times 3 + 24 = 36 + 24 = 60 \).
2. Înlocuim și transformăm paranteza pătrată în rotundă:
\( (60 \times 8 - 180) : 100 = \)
\( = (480 - 180) : 100 = \)
\( = 300 : 100 = 3 \).
Răspuns: 3
1. Calculăm în paranteza rotundă: \( 12 \times 3 + 24 = 36 + 24 = 60 \).
2. Înlocuim și transformăm paranteza pătrată în rotundă:
\( (60 \times 8 - 180) : 100 = \)
\( = (480 - 180) : 100 = \)
\( = 300 : 100 = 3 \).
Răspuns: 3
Metoda grafică constă în reprezentarea mărimilor necunoscute prin segmente de dreaptă sau alte elemente vizuale (căsuțe, blocuri) pentru a evidenția mai ușor relațiile matematice dintre ele (sumă, diferență sau raport).
Când cunoaștem suma și de câte ori o mărime este mai mare decât cealaltă:
- Reprezentăm mărimea mai mică printr-un segment (o parte).
- Reprezentăm mărimea mai mare prin numărul corespunzător de segmente egale.
- Împărțim suma totală la numărul total de părți egale pentru a afla mărimea mică (valoarea unui segment).
La o școală s-au adus 192 de bănci și scaune. Numărul de scaune este de 3 ori mai mare decât cel al băncilor. Câte bănci și câte scaune s-au adus?
- Numărul total de părți egale: \( 1 + 3 = 4 \)
- Numărul de bănci (o parte): \( 192 : 4 = 48 \)
- Numărul de scaune: \( 48 \times 3 = 144 \)
Când cunoaștem suma și cu cât o mărime este mai mare decât cealaltă:
- Reprezentăm mărimile prin segmente, adăugând diferența la mărimea mai mare.
- Scădem diferența din suma totală pentru a obține o sumă formată doar din părți egale.
- Împărțim rezultatul la numărul de segmente egale pentru a afla mărimea mai mică.
Ion și Adina au împreună 56 de jetoane. Adina are cu 4 jetoane mai mult decât Ion. Câte jetoane are fiecare?
- Suma părților egale: \( 56 - 4 = 52 \)
- Numărul de jetoane ale lui Ion: \( 52 : 2 = 26 \)
- Numărul de jetoane ale Adinei: \( 26 + 4 = 30 \)
Metoda comparației se folosește în probleme în care valorile a două mărimi sunt comparate în situații diferite. Scopul este eliminarea uneia dintre necunoscute pentru a o putea calcula pe cealaltă.
Dacă una dintre mărimi este exprimată direct în funcție de cealaltă (de exemplu: un produs costă cât mai multe produse de alt tip), înlocuim acea mărime în relația de bază.
Pentru 5 penare și un ghiozdan s-au plătit 315 lei. Un ghiozdan costă cât 4 penare. Cât costă un penar?
Rezolvare:
Înlocuim 1 ghiozdan cu 4 penare în prima relație: \[ 5 \text{ penare} + 4 \text{ penare} = 9 \text{ penare} \] \[ 9 \text{ penare} = 315 \text{ lei} \] \[ 1 \text{ penar} = 315 : 9 = 35 \text{ lei} \] \[ 1 \text{ ghiozdan} = 35 \times 4 = 140 \text{ lei} \]
Rezolvare:
Înlocuim 1 ghiozdan cu 4 penare în prima relație: \[ 5 \text{ penare} + 4 \text{ penare} = 9 \text{ penare} \] \[ 9 \text{ penare} = 315 \text{ lei} \] \[ 1 \text{ penar} = 315 : 9 = 35 \text{ lei} \] \[ 1 \text{ ghiozdan} = 35 \times 4 = 140 \text{ lei} \]
Dacă avem cantități diferite din ambele produse în două situații, așezăm datele unele sub altele și le scădem pentru a elimina mărimea care are aceeași cantitate în ambele rânduri.
Pentru 3 cărți și 9 caiete s-au plătit 138 de lei, iar pentru 3 cărți și 5 caiete s-au plătit 126 de lei. Cât costă o carte și cât costă un caiet?
Rezolvare:
Scriem relațiile comparativ:
3 cărți ........................ 9 caiete ........................ 138 lei
3 cărți ........................ 5 caiete ........................ 126 lei
Scăzând cele două rânduri, cărțile se elimină (\(3 - 3 = 0\)): \[ (9 - 5) \text{ caiete} = 138 - 126 \text{ lei} \] \[ 4 \text{ caiete} = 12 \text{ lei} \] \[ 1 \text{ caiet} = 12 : 4 = 3 \text{ lei} \]
Aflăm prețul cărților folosind a doua relație: \[ 3 \text{ cărți} + 5 \times 3 \text{ lei} = 126 \text{ lei} \] \[ 3 \text{ cărți} = 126 - 15 = 111 \text{ lei} \] \[ 1 \text{ carte} = 111 : 3 = 37 \text{ lei} \]
Rezolvare:
Scriem relațiile comparativ:
3 cărți ........................ 9 caiete ........................ 138 lei
3 cărți ........................ 5 caiete ........................ 126 lei
Scăzând cele două rânduri, cărțile se elimină (\(3 - 3 = 0\)): \[ (9 - 5) \text{ caiete} = 138 - 126 \text{ lei} \] \[ 4 \text{ caiete} = 12 \text{ lei} \] \[ 1 \text{ caiet} = 12 : 4 = 3 \text{ lei} \]
Aflăm prețul cărților folosind a doua relație: \[ 3 \text{ cărți} + 5 \times 3 \text{ lei} = 126 \text{ lei} \] \[ 3 \text{ cărți} = 126 - 15 = 111 \text{ lei} \] \[ 1 \text{ carte} = 111 : 3 = 37 \text{ lei} \]
Metoda mersului invers se aplică în exercițiile sau problemele în care operațiile se efectuează succesiv asupra unui număr necunoscut, obținându-se un rezultat final cunoscut. Rezolvarea se face de la sfârșit la început, aplicând de fiecare dată operația inversă.
Tabelul operațiilor inverse:
- Adunarea \((+)\) are ca inversă scăderea \((-)\)
- Scăderea \((-)\) are ca inversă adunarea \((+)\)
- Înmulțirea \((\times)\) are ca inversă împărțirea \((:)\)
- Împărțirea \((:)\) are ca inversă înmulțirea \((\times)\)
Mă gândesc la un număr. Îl înmulțesc cu 9, apoi îl împart la 3. Rezultatul îl adun cu 2 464 și obțin 2 500. Care este numărul?
Rezolvare algebrică: \[ a \times 9 : 3 + 2\,464 = 2\,500 \] \[ a \times 9 : 3 = 2\,500 - 2\,464 \] \[ a \times 9 : 3 = 36 \] \[ a \times 9 = 36 \times 3 \] \[ a \times 9 = 108 \] \[ a = 108 : 9 = 12 \]
Rezolvare algebrică: \[ a \times 9 : 3 + 2\,464 = 2\,500 \] \[ a \times 9 : 3 = 2\,500 - 2\,464 \] \[ a \times 9 : 3 = 36 \] \[ a \times 9 = 36 \times 3 \] \[ a \times 9 = 108 \] \[ a = 108 : 9 = 12 \]
Aflați numărul necunoscut \( x \): \( (x - 10) \times 5 = 100 \).
Mergem invers:
1. Scăpăm de înmulțirea cu 5 prin împărțire:
\( x - 10 = 100 : 5 \)
\( x - 10 = 20 \)
2. Scăpăm de scăderea lui 10 prin adunare:
\( x = 20 + 10 \)
\( x = 30 \)
Răspuns: 30
1. Scăpăm de înmulțirea cu 5 prin împărțire:
\( x - 10 = 100 : 5 \)
\( x - 10 = 20 \)
2. Scăpăm de scăderea lui 10 prin adunare:
\( x = 20 + 10 \)
\( x = 30 \)
Răspuns: 30
Jumătatea unui număr: reprezintă numărul împărțit la 2 (\( x : 2 \)).
Sfertul unui număr: reprezintă numărul împărțit la 4 (\( x : 4 \)).
Diferența: este rezultatul operației de scădere.
Suma: este rezultatul operației de adunare.
Câtul: este rezultatul operației de împărțire.
Produsul: este rezultatul operației de înmulțire.
- Cel mai mare număr natural de trei cifre diferite: 987.
- Cel mai mic număr natural de trei cifre diferite: 102.
Probleme propuse
Problemă 1 (Ușoară): Calculează valoarea expresiei:
\[ 120 - [40 + (15 - 3 \times 4) \times 5] \]
Efectuăm operațiile în ordinea corectă:
1. În paranteza rotundă calculăm mai întâi înmulțirea, apoi scăderea:
\( 15 - 3 \times 4 = 15 - 12 = 3 \)
2. Înlocuim în paranteza pătrată, care devine rotundă:
\( 120 - (40 + 3 \times 5) = \)
\( = 120 - (40 + 15) = \)
\( = 120 - 55 = 65 \)
Răspuns: 65
1. În paranteza rotundă calculăm mai întâi înmulțirea, apoi scăderea:
\( 15 - 3 \times 4 = 15 - 12 = 3 \)
2. Înlocuim în paranteza pătrată, care devine rotundă:
\( 120 - (40 + 3 \times 5) = \)
\( = 120 - (40 + 15) = \)
\( = 120 - 55 = 65 \)
Răspuns: 65
Problemă 2 (Medie): Doi frați au strâns împreună 150 de lei. Primul frate are de 4 ori mai mulți lei decât al doilea. Câți lei are fiecare frate? Rezolvă folosind metoda grafică.
Reprezentăm grafic sumele celor doi frați:
Fratele al doilea (mai mic): |---| (1 segment)
Fratele primul (mai mare): |---|---|---|---| (4 segmente egale)
Suma totală: 150 de lei.
1. Aflăm numărul total de părți egale:
\( 1 + 4 = 5 \) părți
2. Aflăm suma fratelui al doilea (valoarea unei părți):
\( 150 : 5 = 30 \) lei
3. Aflăm suma primului frate:
\( 30 \times 4 = 120 \) lei
Răspuns: Primul are 120 lei, iar al doilea are 30 lei.
Fratele al doilea (mai mic): |---| (1 segment)
Fratele primul (mai mare): |---|---|---|---| (4 segmente egale)
Suma totală: 150 de lei.
1. Aflăm numărul total de părți egale:
\( 1 + 4 = 5 \) părți
2. Aflăm suma fratelui al doilea (valoarea unei părți):
\( 150 : 5 = 30 \) lei
3. Aflăm suma primului frate:
\( 30 \times 4 = 120 \) lei
Răspuns: Primul are 120 lei, iar al doilea are 30 lei.
Problemă 3 (Dificilă): Un călător parcurge un drum în trei zile. În prima zi parcurge jumătate din drum, a doua zi parcurge jumătate din distanța rămasă, iar a treia zi parcurge ultimii 15 km. Câți kilometri are întregul drum? Rezolvă prin metoda mersului invers cu reprezentare grafică.
Reprezentăm drumul prin segmente:
Drumul total este format din două jumătăți:
|-------------------|-------------------|
[ Ziua I ][ Restul ]
Restul de drum este împărțit din nou în două jumătăți:
|---------|---------|
[ Ziua II ][Ziua III]
Știm că distanța din a treia zi este de 15 km.
1. Distanța parcursă a doua zi este egală cu cea din a treia zi (deoarece reprezintă cealaltă jumătate a restului):
\( \text{Distanța a doua zi} = 15 \text{ km} \)
2. Restul de după prima zi este:
\( 15 \times 2 = 30 \text{ km} \)
3. Deoarece în prima zi s-a parcurs jumătate din drumul total, restul de 30 km reprezintă cealaltă jumătate a drumului:
\( \text{Drumul total} = 30 \times 2 = 60 \text{ km} \)
Răspuns: Întregul drum are 60 km.
Drumul total este format din două jumătăți:
|-------------------|-------------------|
[ Ziua I ][ Restul ]
Restul de drum este împărțit din nou în două jumătăți:
|---------|---------|
[ Ziua II ][Ziua III]
Știm că distanța din a treia zi este de 15 km.
1. Distanța parcursă a doua zi este egală cu cea din a treia zi (deoarece reprezintă cealaltă jumătate a restului):
\( \text{Distanța a doua zi} = 15 \text{ km} \)
2. Restul de după prima zi este:
\( 15 \times 2 = 30 \text{ km} \)
3. Deoarece în prima zi s-a parcurs jumătate din drumul total, restul de 30 km reprezintă cealaltă jumătate a drumului:
\( \text{Drumul total} = 30 \times 2 = 60 \text{ km} \)
Răspuns: Întregul drum are 60 km.
