Cele mai importante aspecte ale lecției
Adunarea și scăderea fracțiilor cu numitori diferiți: Se aduc fracțiile la același numitor comun folosind cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.), se amplifică corespunzător, apoi se adună/scad doar numărătorii. Exemplu: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \).
Proprietăți: Adunarea fracțiilor este comutativă (\(a+b=b+a\)), asociativă (\((a+b)+c=a+(b+c)\)) și are pe 0 ca element neutru. Scăderea nu respectă aceste proprietăți.
Recomandare: Simplificați întotdeauna fracțiile înainte de a calcula numitorul comun și scrieți rezultatul final sub formă de fracție ireductibilă!
Proprietăți: Adunarea fracțiilor este comutativă (\(a+b=b+a\)), asociativă (\((a+b)+c=a+(b+c)\)) și are pe 0 ca element neutru. Scăderea nu respectă aceste proprietăți.
Recomandare: Simplificați întotdeauna fracțiile înainte de a calcula numitorul comun și scrieți rezultatul final sub formă de fracție ireductibilă!
Pentru a aduna sau a scădea două fracții cu numitori diferiți, trebuie mai întâi să le aducem la același numitor (prin amplificare), iar apoi să adunăm sau să scădem numărătorii, păstrând numitorul comun.
Aflăm cel mai mic multiplu comun al numitorilor (numitorul comun).
Amplificăm fiecare fracție pentru a obține numitorul comun la toate fracțiile.
Efectuăm adunarea sau scăderea numărătorilor, păstrând numitorul comun neschimbat.
Dacă este posibil, simplificăm fracția rezultată pentru a o aduce la forma ireductibilă.
Să calculăm suma și diferența fracțiilor \( \frac{11}{10} \) și \( \frac{7}{15} \).
Mai întâi, aflăm cel mai mic multiplu comun al numitorilor: \( [10, 15] = 30 \).
Mai întâi, aflăm cel mai mic multiplu comun al numitorilor: \( [10, 15] = 30 \).
- Amplificăm prima fracție cu \( 30 : 10 = 3 \): \[ \overset{3)}{\frac{11}{10}} = \frac{33}{30} \]
- Amplificăm a doua fracție cu \( 30 : 15 = 2 \): \[ \overset{2)}{\frac{7}{15}} = \frac{14}{30} \]
- Suma: \( \frac{11}{10} + \frac{7}{15} = \frac{33}{30} + \frac{14}{30} = \frac{33 + 14}{30} = \frac{47}{30} \)
- Diferența: \( \frac{11}{10} - \frac{7}{15} = \frac{33}{30} - \frac{14}{30} = \frac{33 - 14}{30} = \frac{19}{30} \)
Calculați suma: \( \frac{1}{5} + \frac{1}{3} \).
Numitorul comun pentru 5 și 3 este \( [5, 3] = 15 \).
Amplificăm prima fracție cu 3 și pe a doua cu 5: \[ \overset{3)}{\frac{1}{5}} + \overset{5)}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{15} + \frac{5}{15} = \frac{8}{15} \]
Amplificăm prima fracție cu 3 și pe a doua cu 5: \[ \overset{3)}{\frac{1}{5}} + \overset{5)}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{15} + \frac{5}{15} = \frac{8}{15} \]
Dacă fracțiile pe care le adunăm sau le scădem nu sunt ireductibile, este de preferat să le simplificăm mai întâi, iar abia apoi să le aducem la același numitor. Rezultatul final trebuie întotdeauna exprimat ca fracție ireductibilă!
Adunarea / scăderea unui număr natural cu o fracție
\[ n + \frac{a}{b} = \frac{n \cdot b + a}{b} \]
\[ n - \frac{a}{b} = \frac{n \cdot b - a}{b} \]
Sfat: Scrieți numărul natural ca o fracție cu numitorul 1: \( n = \frac{n}{1} \).
Introducerea întregilor în fracție (pentru fracții mixte)
\[ a \frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c} \]
Să calculăm: \( 6 \frac{1}{4} + 5 \frac{2}{3} + 1 \frac{17}{24} \)
- Introducem întregii în fracție: \[ 6 \frac{1}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{25}{4} \] \[ 5 \frac{2}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{17}{3} \] \[ 1 \frac{17}{24} = \frac{1 \cdot 24 + 17}{24} = \frac{41}{24} \]
- Aducem la numitorul comun (care este 24) și adunăm: \[ \overset{6)}{\frac{25}{4}} + \overset{8)}{\frac{17}{3}} + \frac{41}{24} = \frac{150}{24} + \frac{136}{24} + \frac{41}{24} = \frac{327}{24} \]
- Simplificăm rezultatul prin 3 pentru a obține o fracție ireductibilă: \[ \frac{327^{(3}}{24} = \frac{109}{8} = 13 \frac{5}{8} \]
Calculați: \( 2 - \frac{3}{4} \).
Scriem numărul întreg 2 ca fracție cu numitorul 1 și apoi amplificăm cu 4:
\[ \overset{4)}{\frac{2}{1}} - \frac{3}{4} = \frac{8}{4} - \frac{3}{4} = \frac{5}{4} \left(\text{sau } 1 \frac{1}{4}\right) \]
1. Comutativitatea: Termenii pot fi adunați în orice ordine, iar rezultatul nu se modifică.
\[ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{c}{d} + \frac{a}{b} \]
2. Asociativitatea: Termenii pot fi grupați în moduri diferite, fără ca rezultatul să se modifice.
\[ \left(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}\right) + \frac{e}{f} = \frac{a}{b} + \left(\frac{c}{d} + \frac{e}{f}\right) \]
3. Elementul neutru: Numărul \(0\) este element neutru la adunarea fracțiilor (nu modifică rezultatul adunării).
\[ \frac{a}{b} + 0 = \frac{a}{b} \]
Proprietățile adunării nu sunt valabile pentru operația de scădere!
Calculați rapid, grupând convenabil termenii: \( \frac{1}{5} + \frac{3}{7} + \frac{4}{5} \).
Folosind comutativitatea și asociativitatea, grupăm mai întâi fracțiile care au același numitor:
\[ \left(\frac{1}{5} + \frac{4}{5}\right) + \frac{3}{7} = \frac{5}{5} + \frac{3}{7} = 1 + \frac{3}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{10}{7} \]
Probleme propuse
Problemă ușoară: Efectuați calculul și exprimați rezultatul sub formă de fracție ireductibilă:
\[ \frac{2}{3} + \frac{5}{2} \]
Numitorul comun al numerelor 3 și 2 este 6.
Amplificăm prima fracție cu 2 și pe a doua cu 3: \[ \overset{2)}{\frac{2}{3}} + \overset{3)}{\frac{5}{2}} = \frac{4}{6} + \frac{15}{6} = \frac{19}{6} \] Deoarece 19 și 6 nu au divizori comuni în afară de 1, fracția este deja ireductibilă.
Amplificăm prima fracție cu 2 și pe a doua cu 3: \[ \overset{2)}{\frac{2}{3}} + \overset{3)}{\frac{5}{2}} = \frac{4}{6} + \frac{15}{6} = \frac{19}{6} \] Deoarece 19 și 6 nu au divizori comuni în afară de 1, fracția este deja ireductibilă.
Problemă medie: Aflați numărul necunoscut \(x\) din următoarea egalitate:
\[ x + \frac{3}{48} = \frac{23}{24} \]
Indiciu: Simplificați mai întâi fracțiile acolo unde este posibil!
Mai întâi, observăm că fracția \( \frac{3}{48} \) se poate simplifica prin 3:
\[ \frac{3^{(3}}{48} = \frac{1}{16} \]
Ecuția devine:
\[ x + \frac{1}{16} = \frac{23}{24} \Rightarrow x = \frac{23}{24} - \frac{1}{16} \]
Numitorul comun pentru 24 și 16 este 48 (deoarece \( [24, 16] = 48 \)).
Amplificăm prima fracție cu 2 și pe a doua cu 3: \[ x = \overset{2)}{\frac{23}{24}} - \overset{3)}{\frac{1}{16}} = \frac{46}{48} - \frac{3}{48} = \frac{43}{48} \] Fracția \( \frac{43}{48} \) este ireductibilă.
Amplificăm prima fracție cu 2 și pe a doua cu 3: \[ x = \overset{2)}{\frac{23}{24}} - \overset{3)}{\frac{1}{16}} = \frac{46}{48} - \frac{3}{48} = \frac{43}{48} \] Fracția \( \frac{43}{48} \) este ireductibilă.
Problemă dificilă: Calculați valoarea expresiei:
\[ \left( 3 \frac{1}{2} - 1 \frac{1}{3} \right) + \frac{5}{6} \]
Pasul 1: Introducem întregii în fracțiile mixte din paranteză:
\[ 3 \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2} \]
\[ 1 \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3} \]
Pasul 2: Rezolvăm operația din paranteză, aducând la numitorul comun 6:
\[ \frac{7}{2} - \frac{4}{3} = \overset{3)}{\frac{7}{2}} - \overset{2)}{\frac{4}{3}} = \frac{21}{6} - \frac{8}{6} = \frac{13}{6} \]
Pasul 3: Adunăm rezultatul parantezei cu ultima fracție:
\[ \frac{13}{6} + \frac{5}{6} = \frac{18}{6} \]
Pasul 4: Simplificăm rezultatul final:
\[ \frac{18}{6} = 3 \]
Răspuns final: 3
Răspuns final: 3
