Cele mai importante aspecte ale lecției
Împărțirea cu rezultat fracție zecimală: Se continuă împărțirea adăugând virgulă la cât și zerouri la resturi.
Tipuri de fracții:
Media aritmetică: \(m_a = \frac{\text{Suma numerelor}}{\text{Numărul de numere}}\) (ex: media numerelor \(17\) și \(25\) este \(\frac{17+25}{2}=21\)).
Tipuri de fracții:
- Finite: număr limitat de zecimale (ex: \(17:8 = 2,125\)).
- Periodice simple: perioada începe imediat după virgulă (ex: \(\frac{14}{11} = 1,(27)\)).
- Periodice mixte: au cifre între virgulă și perioadă (ex: \(19:6 = 3,1(6)\)).
Media aritmetică: \(m_a = \frac{\text{Suma numerelor}}{\text{Numărul de numere}}\) (ex: media numerelor \(17\) și \(25\) este \(\frac{17+25}{2}=21\)).
Când împărțim două numere naturale nenule și rezultatul nu este un număr întreg, continuăm împărțirea pentru a obține o fracție zecimală (cu virgulă).
Efectuăm împărțirea normală a numerelor naturale.
Dacă obținem un rest diferit de \(0\), scriem o virgulă după deîmpărțit și adăugăm un zero (\(0\)) la dreapta restului.
Punem virgulă la cât și continuăm împărțirea noului număr obținut.
Adăugăm câte un zero la fiecare rest obținut și continuăm împărțirea până când obținem restul \(0\) sau când cifrele de la cât încep să se repete.
Să calculăm \(17 : 8\):
\[ 17 : 8 = 2,125 \]
Să calculăm \(19 : 6\):
\[ 19 : 6 = 3,166... \] (cifra 6 se va repeta la nesfârșit)
Calculați câtul împărțirii \(39 : 4\).
Efectuăm împărțirea:
1. \(39 : 4 = 9\) rest \(3\).
2. Punem virgulă la cât: \(9,\) și adăugăm un \(0\) la rest: restul devine \(30\).
3. \(30 : 4 = 7\) rest \(2\). Câtul devine \(9,7\).
4. Adăugăm un \(0\) la rest: restul devine \(20\).
5. \(20 : 4 = 5\) rest \(0\). Câtul final este \(9,75\).
Răspuns: \(39 : 4 = 9,75\).
1. \(39 : 4 = 9\) rest \(3\).
2. Punem virgulă la cât: \(9,\) și adăugăm un \(0\) la rest: restul devine \(30\).
3. \(30 : 4 = 7\) rest \(2\). Câtul devine \(9,7\).
4. Adăugăm un \(0\) la rest: restul devine \(20\).
5. \(20 : 4 = 5\) rest \(0\). Câtul final este \(9,75\).
Răspuns: \(39 : 4 = 9,75\).
Fracția zecimală finită are un număr determinat (finit) de cifre după virgulă. Exemplu: \(7,25\) sau \(2,125\).
Fracția zecimală periodică are o cifră sau un grup de cifre de după virgulă care se repetă la nesfârșit. Cifra sau grupul de cifre care se repetă se numește perioadă și se scrie între paranteze rotunde.
Fracție periodică simplă: perioada începe imediat după virgulă.
Exemple: \(1,(2)\); \(0,(314)\); \(14,(27)\).
Exemple: \(1,(2)\); \(0,(314)\); \(14,(27)\).
Fracție periodică mixtă: între virgulă și perioadă există una sau mai multe cifre care nu se repetă (numite parte neperiodică).
Exemple: \(6,4(25)\); \(3,1(6)\).
Exemple: \(6,4(25)\); \(3,1(6)\).
Determinați tipul următoarelor fracții zecimale și identificați perioada și partea neperiodică acolo unde este cazul:
a) \(3,12(5)\)
b) \(0,(72)\)
a) \(3,12(5)\) este o fracție zecimală periodică mixtă.
Partea întreagă: \(3\)
Partea neperiodică: \(12\)
Perioada: \(5\)
b) \(0,(72)\) este o fracție zecimală periodică simplă.
Partea întreagă: \(0\)
Perioada: \(72\) (nu are parte neperiodică)
Partea întreagă: \(3\)
Partea neperiodică: \(12\)
Perioada: \(5\)
b) \(0,(72)\) este o fracție zecimală periodică simplă.
Partea întreagă: \(0\)
Perioada: \(72\) (nu are parte neperiodică)
Pentru a transforma o fracție ordinară \(\frac{a}{b}\) într-o fracție zecimală, se împarte numărătorul \(a\) la numitorul \(b\).
\[ \frac{a}{b} = a : b \]
Să transformăm fracția ordinară \(\frac{14}{11}\) în fracție zecimală.
Efectuăm împărțirea \(14 : 11\): \[ 14 : 11 = 1,272727... = 1,(27) \] Prin urmare, \(\frac{14}{11} = 1,(27)\) (fracție periodică simplă).
Efectuăm împărțirea \(14 : 11\): \[ 14 : 11 = 1,272727... = 1,(27) \] Prin urmare, \(\frac{14}{11} = 1,(27)\) (fracție periodică simplă).
Transformați în fracție zecimală fracția ordinară \(\frac{13}{4}\).
Împărțim numărătorul la numitor:
\[ 13 : 4 = 3,25 \]
Deoarece restul este \(0\), obținem o fracție zecimală finită.
Răspuns: \(\frac{13}{4} = 3,25\).
Răspuns: \(\frac{13}{4} = 3,25\).
Media aritmetică (\(m_a\)) a două sau mai multor numere este egală cu suma acestor numere împărțită la numărul lor.
Pentru două numere \(a\) și \(b\):
\[ m_a = \frac{a + b}{2} \]
Pentru trei numere \(a\), \(b\) și \(c\):
\[ m_a = \frac{a + b + c}{3} \]
- Media aritmetică a numerelor \(17\) și \(25\) este: \[ m_a = \frac{17 + 25}{2} = \frac{42}{2} = 21 \]
- Media aritmetică a numerelor \(24\), \(62\) și \(91\) este: \[ m_a = \frac{24 + 62 + 91}{3} = \frac{177}{3} = 59 \]
Calculați media aritmetică a numerelor \(12\), \(15\), \(18\) și \(23\).
Sunt 4 numere, deci le adunăm și împărțim suma la 4:
\[ m_a = \frac{12 + 15 + 18 + 23}{4} = \frac{68}{4} = 17 \]
Răspuns: Media aritmetică este \(17\).
Probleme practice
Problema 1 (Ușoară): Transformați fracțiile ordinare \(\frac{7}{5}\) și \(\frac{8}{3}\) în fracții zecimale și precizați tipul fiecăreia.
1. Pentru \(\frac{7}{5}\), calculăm \(7 : 5\):
\[ 7 : 5 = 1,4 \]
Este o fracție zecimală finită.
2. Pentru \(\frac{8}{3}\), calculăm \(8 : 3\): \[ 8 : 3 = 2,666... = 2,(6) \] Este o fracție zecimală periodică simplă.
2. Pentru \(\frac{8}{3}\), calculăm \(8 : 3\): \[ 8 : 3 = 2,666... = 2,(6) \] Este o fracție zecimală periodică simplă.
Problema 2 (Medie): Determinați media aritmetică a trei numere, știind că media aritmetică a primelor două numere este \(47,5\), iar al treilea număr este \(32\).
Fie \(a\), \(b\) și \(c\) cele trei numere. Știm că:
\[ \frac{a + b}{2} = 47,5 \implies a + b = 47,5 \cdot 2 = 95 \]
Al treilea număr este \(c = 32\).
Media aritmetică a celor trei numere este: \[ m_a = \frac{a + b + c}{3} \] Înlocuim suma \((a + b)\) cu \(95\) și pe \(c\) cu \(32\): \[ m_a = \frac{95 + 32}{3} = \frac{127}{3} \] Efectuăm împărțirea \(127 : 3\): \[ 127 : 3 = 42,333... = 42,(3) \] Răspuns: Media aritmetică a celor trei numere este \(42,(3)\).
Media aritmetică a celor trei numere este: \[ m_a = \frac{a + b + c}{3} \] Înlocuim suma \((a + b)\) cu \(95\) și pe \(c\) cu \(32\): \[ m_a = \frac{95 + 32}{3} = \frac{127}{3} \] Efectuăm împărțirea \(127 : 3\): \[ 127 : 3 = 42,333... = 42,(3) \] Răspuns: Media aritmetică a celor trei numere este \(42,(3)\).
Problema 3 (Dificilă): Luca are la geografie notele \(7\), \(6\) și \(8\). Media sa se calculează ca media aritmetică a notelor, rotunjită la cel mai apropiat întreg (de la 0,5 se rotunjește în sus).
Care este nota minimă pe care trebuie să o mai obțină Luca la o ascultare pentru a-și mări media la geografie cu un punct?
1. Calculăm media aritmetică actuală pentru notele \(7\), \(6\) și \(8\):
\[ m_a = \frac{7 + 6 + 8}{3} = \frac{21}{3} = 7 \]
Media actuală a lui Luca este \(7\).
2. Pentru a-și mări media cu un punct, noua sa medie rotunjită la întreg trebuie să fie \(8\).
Pentru ca o medie de 4 note să se rotunjească la \(8\), valoarea sa neconformă (aritmetică) trebuie să fie cel puțin \(7,5\).
Fie \(x\) nota pe care o va obține. Suma celor 4 note va fi \(21 + x\).
Media aritmetică a celor 4 note va fi: \[ \frac{21 + x}{4} \ge 7,5 \] Înmulțim cu \(4\): \[ 21 + x \ge 30 \implies x \ge 9 \] Prin urmare, nota minimă pe care trebuie să o obțină Luca este \(9\).
Răspuns: Nota minimă este \(9\).
2. Pentru a-și mări media cu un punct, noua sa medie rotunjită la întreg trebuie să fie \(8\).
Pentru ca o medie de 4 note să se rotunjească la \(8\), valoarea sa neconformă (aritmetică) trebuie să fie cel puțin \(7,5\).
Fie \(x\) nota pe care o va obține. Suma celor 4 note va fi \(21 + x\).
Media aritmetică a celor 4 note va fi: \[ \frac{21 + x}{4} \ge 7,5 \] Înmulțim cu \(4\): \[ 21 + x \ge 30 \implies x \ge 9 \] Prin urmare, nota minimă pe care trebuie să o obțină Luca este \(9\).
Răspuns: Nota minimă este \(9\).
