Cele mai importante aspecte ale lecției
- Adunarea și scăderea: Necesită numitor comun. Exemplu: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}\).
- Înmulțirea: Se înmulțesc numărătorii între ei și numitorii între ei. Simplificarea pe diagonală înainte de calcul ușurează munca. Exemplu: \(\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{9} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\).
- Întregii în fracție: Se transformă conform formulei \(n\frac{a}{b} = \frac{n \cdot b + a}{b}\). Exemplu: \(2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}\).
- Ordinea operațiilor: Se respectă prioritățile standard (puteri \(\rightarrow\) înmulțiri/împărțiri \(\rightarrow\) adunări/scăderi) și ordinea parantezelor (\(( \ ) \rightarrow [ \ ] \rightarrow \{ \ \}\)).
Pentru a aduna sau a scădea fracții care au același numitor, se adună sau se scad numărătorii, iar numitorul comun se păstrează neschimbat.
\[ \frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{a+b}{n} \quad \text{și} \quad \frac{a}{n} - \frac{b}{n} = \frac{a-b}{n} \quad (a \ge b) \]
Pentru a aduna sau a scădea fracții cu numitori diferiți, acestea se aduc mai întâi la același numitor (de regulă prin calcularea celui mai mic multiplu comun al numitorilor), iar apoi se efectuează operația.
Calculați \(\frac{5}{6} - \frac{1}{4}\):
- Aflăm cel mai mic multiplu comun al numitorilor \(6\) și \(4\), care este \(12\).
- Amplificăm prima fracție cu \(2\) și pe a doua cu \(3\): \[ \overset{2)}{\frac{5}{6}} - \overset{3)}{\frac{1}{4}} = \frac{10}{12} - \frac{3}{12} \]
- Efectuăm scăderea numărătorilor: \[ \frac{10 - 3}{12} = \frac{7}{12} \]
Rezultatul final al oricărui calcul cu fracții trebuie simplificat, dacă este posibil, pentru a obține o fracție ireductibilă.
Produsul a două fracții ordinare este fracția care are numărătorul egal cu produsul numărătorilor și numitorul egal cu produsul numitorilor.
\[ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \]
Înainte de a efectua înmulțirile de la numărător și numitor, este foarte util să simplificați fracțiile pe diagonală (numărătorul unei fracții cu numitorul celeilalte), pentru a lucra cu numere mai mici!
Calculați \(\frac{3}{10} \cdot \frac{5}{9}\):
Simplificăm numărătorul \(3\) cu numitorul \(9\) (prin \(3\)) și numitorul \(10\) cu numărătorul \(5\) (prin \(5\)): \[ \frac{3}{10} \cdot \frac{5}{9} = \frac{\cancel{3}^1}{\cancel{10}_2} \cdot \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{9}_3} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6} \]
Simplificăm numărătorul \(3\) cu numitorul \(9\) (prin \(3\)) și numitorul \(10\) cu numărătorul \(5\) (prin \(5\)): \[ \frac{3}{10} \cdot \frac{5}{9} = \frac{\cancel{3}^1}{\cancel{10}_2} \cdot \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{9}_3} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6} \]
Introducerea întregilor în fracție: Înainte de a efectua orice operație cu numere mixte (fracții cu întregi), acestea trebuie transformate în fracții ordinare.
\[ n\frac{a}{b} = \frac{n \cdot b + a}{b} \]
Transformarea numărului mixt \(3\frac{2}{5}\) în fracție ordinară:
\[ 3\frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{17}{5} \]
Factorul comun: Distributivitatea înmulțirii față de adunare și scădere permite simplificarea calculelor prin extragerea unui factor comun:
\[ a \cdot b \pm a \cdot c = a \cdot (b \pm c) \]
Calculați rapid folosind factorul comun:
\[ \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{7} = \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{5}{7} + \frac{2}{7}\right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{7} = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3} \]
Dacă o expresie conține mai multe tipuri de operații, ordinea priorităților este:
- Ridicarea la putere (dacă există);
- Înmulțirea și împărțirea (în ordinea scrierii, de la stânga la dreapta);
- Adunarea și scăderea (în ordinea scrierii, de la stânga la dreapta).
Dacă expresia conține paranteze, se efectuează mai întâi operațiile din parantezele rotunde \(( \ )\), apoi cele din parantezele pătrate \([ \ ]\) și, la final, cele din acolade \(\{ \ \}\).
Exerciții practice
Exercițiul 1 (Ușor): Calculați valoarea expresiei:
\[ \frac{3}{10} + \frac{2}{5} - \frac{1}{2} \]
Aducem toate fracțiile la numitorul comun \(10\). Amplificăm a doua fracție cu \(2\) și pe a treia cu \(5\):
\[ \frac{3}{10} + \overset{2)}{\frac{2}{5}} - \overset{5)}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{10} + \frac{4}{10} - \frac{5}{10} \]
Efectuăm operațiile de la numărător, păstrând numitorul:
\[ \frac{3 + 4 - 5}{10} = \frac{2}{10} \]
Simplificăm fracția obținută prin \(2\) pentru a obține o fracție ireductibilă:
\[ \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \]
Răspuns: \(\frac{1}{5}\)
Exercițiul 2 (Mediu): Calculați valoarea expresiei folosind factorul comun:
\[ 2\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{7} - \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{3} \]
- Introducem întregii în fracție: \[ 2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3} \]
- Rescriem expresia cu noua fracție: \[ \frac{7}{3} \cdot \frac{5}{7} - \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{3} \]
- Observăm factorul comun \(\frac{5}{7}\) și îl dăm factor comun: \[ \frac{5}{7} \cdot \left( \frac{7}{3} - \frac{1}{3} \right) \]
- Calculăm diferența din paranteză: \[ \frac{7}{3} - \frac{1}{3} = \frac{6}{3} = 2 \]
- Efectuăm înmulțirea finală: \[ \frac{5}{7} \cdot 2 = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} \]
Exercițiul 3 (Dificil): Calculați, respectând ordinea operațiilor:
\[ \left[ \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{5} \cdot \left( 1\frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right) \right] \cdot \frac{4}{3} \]
Rezolvăm expresia pas cu pas:
- Efectuăm ridicarea la putere: \[ \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \]
- Introducem întregii în fracție: \[ 1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3} \]
- Rezolvăm operația din paranteza rotundă prin aducere la numitorul comun \(6\): \[ \frac{4}{3} - \frac{1}{2} = \overset{2)}{\frac{4}{3}} - \overset{3)}{\frac{1}{2}} = \frac{8}{6} - \frac{3}{6} = \frac{5}{6} \]
- Efectuăm înmulțirea din paranteza pătrată (simplificând pe diagonală): \[ \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{\cancel{3}^1}{\cancel{5}_1} \cdot \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{6}_2} = \frac{1}{2} \]
- Adunăm termenii din paranteza pătrată (adusă la numitorul comun \(4\)): \[ \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \overset{2)}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4} \]
- Efectuăm înmulțirea finală în afara parantezei pătrate: \[ \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{\cancel{3}^1}{\cancel{4}_1} \cdot \frac{\cancel{4}^1}{\cancel{3}_1} = 1 \]
