Cele mai importante aspecte ale lecției
- Lungime (pas de \(10\)): Unitatea principală este metrul (\(\text{m}\)). Perimetrul (\(\mathcal{P}\)) reprezintă suma laturilor.
Exemplu: Pătrat cu latura de \(5\text{ cm} \Rightarrow \mathcal{P} = 4 \cdot 5 = 20\text{ cm}\). - Arie (pas de \(100\)): Unitatea principală este metrul pătrat (\(\text{m}^2\)). Pentru terenuri agricole se folosesc arul (\(1\text{ ar} = 100\text{ m}^2\)) și hectarul (\(1\text{ ha} = 10\,000\text{ m}^2\)).
Exemplu: Dreptunghi cu \(L = 4\text{ m}, l = 3\text{ m} \Rightarrow \mathcal{A} = 4 \cdot 3 = 12\text{ m}^2\). - Volum (pas de \(1\,000\)): Unitatea principală este metrul cub (\(\text{m}^3\)). Legătura cu unitățile de capacitate: \(1\text{ dm}^3 = 1\text{ litru}\).
Exemplu: Cub cu latura de \(2\text{ dm} \Rightarrow \mathcal{V} = 2^3 = 8\text{ dm}^3 = 8\text{ litri}\).
Metrul (m) este unitatea principală de măsură pentru lungime în Sistemul Internațional de Unități (SI).
Multiplii metrului (pentru lungimi mari): decametrul (\(\text{dam}\)), hectometrul (\(\text{hm}\)), kilometrul (\(\text{km}\)).
Submultiplii metrului (pentru lungimi mici): decimetrul (\(\text{dm}\)), centimetrul (\(\text{cm}\)), milimetrul (\(\text{mm}\)).
Pentru a transforma o unitate de măsură în alta, înmulțim sau împărțim cu \(10\) la fiecare treaptă:
- De la unitate mai mare la unitate mai mică (coborâm scara): înmulțim cu \(10, 100, 1\,000\) etc.
- De la unitate mai mică la unitate mai mare (urcăm scara): împărțim la \(10, 100, 1\,000\) etc.
Perimetrul (\(\mathcal{P}\)) reprezintă suma lungimilor tuturor laturilor unei figuri geometrice, exprimate în aceeași unitate de măsură.
Semiperimetrul (\(p\)) reprezintă jumătate din perimetrul figurii.
\[ p = \frac{\mathcal{P}}{2} \]
Perimetrul triunghiului:
\[ \mathcal{P} = a + b + c \]
Perimetrul dreptunghiului:
\[ \mathcal{P} = 2 \cdot (L + l) \]
Perimetrul pătratului:
\[ \mathcal{P} = 4 \cdot l \]
unde \(a, b, c\) sunt laturile triunghiului, \(L\) este lungimea, \(l\) este lățimea dreptunghiului, iar \(l\) este latura pătratului.
Calculați perimetrul unui dreptunghi cu lungimea \(L = 12\text{ cm}\) și lățimea \(l = 50\text{ mm}\).
1. Transformăm lățimea în centimetri: \(50\text{ mm} = 5\text{ cm}\).
2. Calculăm perimetrul: \(\mathcal{P} = 2 \cdot (12 + 5) = 2 \cdot 17 = 34\text{ cm}\).
1. Transformăm lățimea în centimetri: \(50\text{ mm} = 5\text{ cm}\).
2. Calculăm perimetrul: \(\mathcal{P} = 2 \cdot (12 + 5) = 2 \cdot 17 = 34\text{ cm}\).
Metrul pătrat (\(\text{m}^2\)) este unitatea principală de măsură pentru arie. Acesta reprezintă aria unui pătrat cu latura de \(1\text{ m}\).
Suprafața este formată din totalitatea punctelor interioare și a laturilor unei figuri. Aria este măsura acestei suprafețe. Două figuri cu arii egale sunt numite echivalente.
Multiplii metrului pătrat: decametrul pătrat (\(\text{dam}^2\) sau ar), hectometrul pătrat (\(\text{hm}^2\) sau hectar, ha), kilometrul pătrat (\(\text{km}^2\)).
Submultiplii metrului pătrat: \(\text{dm}^2\), \(\text{cm}^2\), \(\text{mm}^2\).
Fiecare unitate de arie este de \(100\) de ori (\(10^2\)) mai mare decât cea imediat inferioară și de \(100\) de ori mai mică decât cea imediat superioară.
- \(1\text{ ha} = 1\text{ hm}^2 = 10\,000\text{ m}^2\)
- \(1\text{ ar} = 1\text{ dam}^2 = 100\text{ m}^2\)
Aria pătratului:
\[ \mathcal{A} = l \cdot l = l^2 \]
Aria dreptunghiului:
\[ \mathcal{A} = L \cdot l \]
Aria unui teren în formă de pătrat cu latura de \(30\text{ m}\) este:
\[ \mathcal{A} = 30 \cdot 30 = 900\text{ m}^2 = 9\text{ ari} \]
Metrul cub (\(\text{m}^3\)) este unitatea principală de măsură pentru volum. Reprezintă volumul unui cub cu muchia de \(1\text{ m}\).
Volumul reprezintă spațiul ocupat de un corp (solid sau gol). Capacitatea se referă la cantitatea de substanță pe care un recipient o poate deține.
Relația directă dintre volum și capacitate este:
\[ 1\text{ dm}^3 = 1\text{ litru (l)} \]
Multiplii metrului cub: \(\text{dam}^3\), \(\text{hm}^3\), \(\text{km}^3\).
Submultiplii metrului cub: \(\text{dm}^3\), \(\text{cm}^3\), \(\text{mm}^3\).
Fiecare unitate de volum este de \(1\,000\) de ori (\(10^3\)) mai mare decât cea imediat inferioară și de \(1\,000\) de ori mai mică decât cea imediat superioară.
Volumul cubului:
\[ \mathcal{V} = l^3 \]
Volumul paralelipipedului dreptunghic:
\[ \mathcal{V} = L \cdot l \cdot h \]
unde \(L\) este lungimea, \(l\) este lățimea și \(h\) este înălțimea.
Toate dimensiunile corpului trebuie exprimate în aceeași unitate de măsură înainte de a calcula volumul!
Desenul la scară permite reprezentarea pe hârtie a unor obiecte sau spații reale, prin micșorarea proporțională a dimensiunilor acestora.
La o scară de 100:1 (sau \(1:100\)), \(1\text{ cm}\) pe hârtie reprezintă în realitate \(100\text{ cm}\) (\(1\text{ m}\)).
Astfel, un perete cu lungimea reală de \(4\text{ m}\) (\(400\text{ cm}\)) va fi desenat pe hârtie ca un segment de: \[ 400\text{ cm} : 100 = 4\text{ cm} \]
Astfel, un perete cu lungimea reală de \(4\text{ m}\) (\(400\text{ cm}\)) va fi desenat pe hârtie ca un segment de: \[ 400\text{ cm} : 100 = 4\text{ cm} \]
Atunci când calculăm suprafața pereților ce urmează a fi vopsiți, trebuie să calculăm aria totală a pereților și să scădem suprafețele ocupate de uși și ferestre.
Probleme propuse
Problema 1 (Ușoară): Un teren în formă de pătrat are latura de \(25\text{ m}\). Aflați perimetrul terenului exprimat în decametri (\(\text{dam}\)).
Calculăm perimetrul în metri:
\[ \mathcal{P} = 4 \cdot 25\text{ m} = 100\text{ m} \]
Transformăm metri în decametri:
\[ 100\text{ m} = 10\text{ dam} \]
Răspuns: \(10\text{ dam}\).
Problema 2 (Medie): Un covor dreptunghiular are lungimea de \(3\text{ m}\) și lățimea de \(20\text{ dm}\). Determinați aria covorului în metri pătrați (\(\text{m}^2\)).
Mai întâi exprimăm ambele dimensiuni în metri:
Lungimea: \(L = 3\text{ m}\)
Lățimea: \(l = 20\text{ dm} = 2\text{ m}\)
Calculăm aria: \[ \mathcal{A} = L \cdot l = 3\text{ m} \cdot 2\text{ m} = 6\text{ m}^2 \] Răspuns: \(6\text{ m}^2\).
Lungimea: \(L = 3\text{ m}\)
Lățimea: \(l = 20\text{ dm} = 2\text{ m}\)
Calculăm aria: \[ \mathcal{A} = L \cdot l = 3\text{ m} \cdot 2\text{ m} = 6\text{ m}^2 \] Răspuns: \(6\text{ m}^2\).
Problema 3 (Dificilă): Un vas în formă de paralelipiped dreptunghic are lungimea de \(5\text{ dm}\), lățimea de \(30\text{ cm}\) și înălțimea de \(2\text{ dm}\). Câți litri de apă încap în acest vas dacă îl umplem complet?
Pentru a afla capacitatea în litri, exprimăm toate dimensiunile în decimetri (\(\text{dm}\)), deoarece \(1\text{ dm}^3 = 1\text{ l}\):
Lungimea: \(L = 5\text{ dm}\)
Lățimea: \(l = 30\text{ cm} = 3\text{ dm}\)
Înălțimea: \(h = 2\text{ dm}\)
Calculăm volumul: \[ \mathcal{V} = L \cdot l \cdot h = 5\text{ dm} \cdot 3\text{ dm} \cdot 2\text{ dm} = 30\text{ dm}^3 \] Deoarece \(1\text{ dm}^3 = 1\text{ litru}\), capacitatea vasului este de \(30\text{ litri}\).
Răspuns: \(30\text{ l}\).
Lungimea: \(L = 5\text{ dm}\)
Lățimea: \(l = 30\text{ cm} = 3\text{ dm}\)
Înălțimea: \(h = 2\text{ dm}\)
Calculăm volumul: \[ \mathcal{V} = L \cdot l \cdot h = 5\text{ dm} \cdot 3\text{ dm} \cdot 2\text{ dm} = 30\text{ dm}^3 \] Deoarece \(1\text{ dm}^3 = 1\text{ litru}\), capacitatea vasului este de \(30\text{ litri}\).
Răspuns: \(30\text{ l}\).
