Cele mai importante aspecte ale lecției
Relații metrice în triunghiul dreptunghic:
• T. Pitagora: \( ip^2 = c_1^2 + c_2^2 \)
• T. Înălțimii: \( h^2 = pr_1 \cdot pr_2 \) (produsul proiecțiilor catetelor).
• T. Catetei: \( c^2 = pr_c \cdot ip \)
Trigonometrie: \( \sin = \frac{\text{op}}{\text{ip}} \), \( \cos = \frac{\text{al}}{\text{ip}} \), \( \text{tg} = \frac{\text{op}}{\text{al}} \), \( \text{ctg} = \frac{\text{al}}{\text{op}} \). Relația de bază: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \).
Aria triunghiului: \( \frac{b \cdot c \cdot \sin A}{2} \)
Poligoane regulate (\( \text{funcție de raza } R \)):
• Tr. echilateral: \( l_3 = R\sqrt{3}, a_3 = \frac{R}{2} \)
• Pătrat: \( l_4 = R\sqrt{2}, a_4 = \frac{R\sqrt{2}}{2} \)
• Hexagon: \( l_6 = R, a_6 = \frac{R\sqrt{3}}{2} \)
• T. Pitagora: \( ip^2 = c_1^2 + c_2^2 \)
• T. Înălțimii: \( h^2 = pr_1 \cdot pr_2 \) (produsul proiecțiilor catetelor).
• T. Catetei: \( c^2 = pr_c \cdot ip \)
Trigonometrie: \( \sin = \frac{\text{op}}{\text{ip}} \), \( \cos = \frac{\text{al}}{\text{ip}} \), \( \text{tg} = \frac{\text{op}}{\text{al}} \), \( \text{ctg} = \frac{\text{al}}{\text{op}} \). Relația de bază: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \).
Aria triunghiului: \( \frac{b \cdot c \cdot \sin A}{2} \)
Poligoane regulate (\( \text{funcție de raza } R \)):
• Tr. echilateral: \( l_3 = R\sqrt{3}, a_3 = \frac{R}{2} \)
• Pătrat: \( l_4 = R\sqrt{2}, a_4 = \frac{R\sqrt{2}}{2} \)
• Hexagon: \( l_6 = R, a_6 = \frac{R\sqrt{3}}{2} \)
Proiecția ortogonală a unui punct pe o dreaptă este piciorul perpendicularei duse din acel punct pe dreapta respectivă.
Proiecția ortogonală a unui segment pe o dreaptă este segmentul determinat de proiecțiile ortogonale ale capetelor segmentului pe acea dreaptă. Dacă segmentul este perpendicular pe dreaptă, proiecția sa este un singur punct.
Într-un triunghi dreptunghic \( ABC \) (\( \measuredangle A = 90^\circ \)) cu înălțimea \( AD \perp BC \):
• Proiecția catetei \( AB \) pe ipotenuza \( BC \) este segmentul \( BD \).
• Proiecția catetei \( AC \) pe ipotenuza \( BC \) este segmentul \( DC \).
• Proiecția catetei \( AB \) pe ipotenuza \( BC \) este segmentul \( BD \).
• Proiecția catetei \( AC \) pe ipotenuza \( BC \) este segmentul \( DC \).
Teorema înălțimii: Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este media geometrică a lungimilor segmentelor determinate de ea pe ipotenuză.
\[ AD^2 = BD \cdot DC \quad \text{sau} \quad AD = \sqrt{BD \cdot DC} \]
(unde \( AD \) este înălțimea, iar \( BD \) și \( DC \) sunt proiecțiile catetelor pe ipotenuză)
Teorema catetei: Lungimea unei catete este egală cu media geometrică dintre lungimea ipotenuzei și lungimea proiecției acelei catete pe ipotenuză.
\[ AB^2 = BD \cdot BC \quad \text{și} \quad AC^2 = DC \cdot BC \]
Într-un triunghi dreptunghic \( ABC \) (\( \measuredangle A = 90^\circ \)), înălțimea este \( AD \perp BC \). Știind că \( BD = 4 \) cm și \( DC = 9 \) cm, calculați înălțimea \( AD \) și ipotenuza \( BC \).
Conform teoremei înălțimii: \( AD^2 = BD \cdot DC = 4 \cdot 9 = 36 \). Deci \( AD = \sqrt{36} = 6 \) cm.
Ipotenuza este suma proiecțiilor: \( BC = BD + DC = 4 + 9 = 13 \) cm.
Ipotenuza este suma proiecțiilor: \( BC = BD + DC = 4 + 9 = 13 \) cm.
Teorema lui Pitagora: Pătratul lungimii ipotenuzei unui triunghi dreptunghic este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor.
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \quad \text{(pentru } \measuredangle A = 90^\circ \text{)} \]
Reciproca teoremei lui Pitagora: Dacă pătratul lungimii unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor lungimilor celorlalte două laturi, atunci triunghiul este dreptunghic.
Verificați dacă un triunghi cu laturile de \( 5 \) cm, \( 12 \) cm și \( 13 \) cm este dreptunghic.
Calculăm pătratul laturii celei mai mari: \( 13^2 = 169 \).
Calculăm suma pătratelor celorlalte două laturi: \( 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \).
Deoarece \( 169 = 169 \), conform reciprocei teoremei lui Pitagora, triunghiul este dreptunghic.
Calculăm suma pătratelor celorlalte două laturi: \( 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \).
Deoarece \( 169 = 169 \), conform reciprocei teoremei lui Pitagora, triunghiul este dreptunghic.
Trigonometria studiază relațiile dintre laturile și unghiurile unui triunghi. Într-un triunghi dreptunghic, pentru un unghi ascuțit \( x \), definim următoarele rapoarte constante:
\[ \sin x = \frac{\text{cateta opusă}}{\text{ipotenuză}} \quad \quad \cos x = \frac{\text{cateta alăturată}}{\text{ipotenuză}} \]
\[ \text{tg } x = \frac{\text{cateta opusă}}{\text{cateta alăturată}} \quad \quad \text{ctg } x = \frac{\text{cateta alăturată}}{\text{cateta opusă}} \]
Relații fundamentale:
- Formula fundamentală a trigonometriei: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \)
- \( \text{tg } x = \frac{\sin x}{\cos x} \); \( \text{ctg } x = \frac{\cos x}{\sin x} \)
- Pentru unghiuri complementare (\( x \) și \( 90^\circ - x \)): \( \sin x = \cos(90^\circ - x) \) și \( \text{tg } x = \text{ctg}(90^\circ - x) \)
- Formula unghiului dublu (utilă în aplicații): \( \sin 2x = 2 \cdot \sin x \cdot \cos x \)
Tabelul valorilor trigonometrice uzuale:
| Unghi | \( 30^\circ \) | \( 45^\circ \) | \( 60^\circ \) |
|---|---|---|---|
| sin | \( \frac{1}{2} \) | \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) |
| cos | \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( \frac{1}{2} \) |
| tg | \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) | \( 1 \) | \( \sqrt{3} \) |
| ctg | \( \sqrt{3} \) | \( 1 \) | \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) |
Aria unui triunghi oarecare se poate calcula folosind lungimile a două laturi și sinusul unghiului dintre ele.
\[ \mathcal{A} = \frac{b \cdot c \cdot \sin A}{2} \]
(unde \( b \) și \( c \) sunt lungimile a două laturi, iar \( A \) este unghiul dintre ele)
Un triunghi are două laturi de \( 4 \) cm și \( 10 \) cm, iar unghiul dintre ele este de \( 30^\circ \). Calculați aria sa.
\( \mathcal{A} = \frac{4 \cdot 10 \cdot \sin 30^\circ}{2} \). Cum \( \sin 30^\circ = 0,5 \), obținem:
\( \mathcal{A} = \frac{40 \cdot 0,5}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ cm}^2 \).
\( \mathcal{A} = \frac{40 \cdot 0,5}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ cm}^2 \).
Apotema (\( a_n \)): Distanța de la centrul cercului circumscris la o latură a poligonului regulat.
Notăm cu \( R \) raza cercului și cu \( l_n \) latura poligonului regulat cu \( n \) laturi.
Latură: \( l_3 = R\sqrt{3} \)
Apotemă: \( a_3 = \frac{R}{2} \)
Arie: \( \mathcal{A}_3 = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4} \)
Apotemă: \( a_3 = \frac{R}{2} \)
Arie: \( \mathcal{A}_3 = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4} \)
Latură: \( l_4 = R\sqrt{2} \)
Apotemă: \( a_4 = \frac{R\sqrt{2}}{2} \)
Arie: \( \mathcal{A}_4 = 2R^2 \)
Apotemă: \( a_4 = \frac{R\sqrt{2}}{2} \)
Arie: \( \mathcal{A}_4 = 2R^2 \)
Latură: \( l_6 = R \)
Apotemă: \( a_6 = \frac{R\sqrt{3}}{2} \)
Arie: \( \mathcal{A}_6 = \frac{3R^2\sqrt{3}}{2} \)
Apotemă: \( a_6 = \frac{R\sqrt{3}}{2} \)
Arie: \( \mathcal{A}_6 = \frac{3R^2\sqrt{3}}{2} \)
Un pătrat este înscris într-un cerc cu raza \( R = 5\sqrt{2} \) cm. Calculați lungimea laturii pătratului.
Folosind formula laturii pătratului: \( l_4 = R\sqrt{2} \).
\( l_4 = (5\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 5 \cdot 2 = 10 \) cm.
\( l_4 = (5\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 5 \cdot 2 = 10 \) cm.
Exerciții
Ușoară: Într-un triunghi dreptunghic, catetele au lungimile de \( 6 \) cm și \( 8 \) cm. Calculați lungimea ipotenuzei și valoarea sinusului celui mai mic unghi ascuțit.
Aplicăm teorema lui Pitagora pentru a afla ipotenuza \( ip \):
\( ip^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \implies ip = 10 \) cm.
Cel mai mic unghi ascuțit se opune catetei celei mai mici (\( 6 \) cm).
\( \sin = \frac{\text{cateta opusă}}{\text{ipotenuză}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} = 0,6 \).
\( ip^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \implies ip = 10 \) cm.
Cel mai mic unghi ascuțit se opune catetei celei mai mici (\( 6 \) cm).
\( \sin = \frac{\text{cateta opusă}}{\text{ipotenuză}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} = 0,6 \).
Medie: Un hexagon regulat are latura \( l_6 = 8 \) cm. Aflați raza cercului circumscris (\( R \)), apotema hexagonului (\( a_6 \)) și aria acestuia.
1. Raza cercului: Pentru hexagon, \( R = l_6 = 8 \) cm.
2. Apotema: \( a_6 = \frac{R\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \) cm.
3. Aria: Formula este \( \mathcal{A}_6 = \frac{3R^2\sqrt{3}}{2} \).
\( \mathcal{A}_6 = \frac{3 \cdot 8^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 64 \cdot \sqrt{3}}{2} = 96\sqrt{3} \text{ cm}^2 \).
2. Apotema: \( a_6 = \frac{R\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \) cm.
3. Aria: Formula este \( \mathcal{A}_6 = \frac{3R^2\sqrt{3}}{2} \).
\( \mathcal{A}_6 = \frac{3 \cdot 8^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 64 \cdot \sqrt{3}}{2} = 96\sqrt{3} \text{ cm}^2 \).
Dificilă: Într-un triunghi dreptunghic \( ABC \) (\( \measuredangle A = 90^\circ \)), înălțimea \( AD \) împarte ipotenuza \( BC \) în două segmente: \( BD = 3 \) cm și \( DC = 12 \) cm. Calculați:
a) Înălțimea \( AD \) și catetele \( AB \), \( AC \).
b) Aria triunghiului \( ABC \).
c) Valoarea pentru \( \text{tg}(\measuredangle ACB) \).
a) Înălțimea \( AD \) și catetele \( AB \), \( AC \).
b) Aria triunghiului \( ABC \).
c) Valoarea pentru \( \text{tg}(\measuredangle ACB) \).
a) \( BC = BD + DC = 3 + 12 = 15 \) cm.
Teorema înălțimii: \( AD^2 = BD \cdot DC = 3 \cdot 12 = 36 \implies AD = 6 \) cm.
Teorema catetei pentru AB: \( AB^2 = BD \cdot BC = 3 \cdot 15 = 45 \implies AB = 3\sqrt{5} \) cm.
Teorema catetei pentru AC: \( AC^2 = DC \cdot BC = 12 \cdot 15 = 180 \implies AC = 6\sqrt{5} \) cm.
b) \( \mathcal{A}_{ABC} = \frac{AB \cdot AC}{2} = \frac{3\sqrt{5} \cdot 6\sqrt{5}}{2} = \frac{18 \cdot 5}{2} = 45 \text{ cm}^2 \).
c) În \( \triangle ABC \): \( \text{tg}(\measuredangle ACB) = \frac{\text{cateta opusă (AB)}}{\text{cateta alăturată (AC)}} = \frac{3\sqrt{5}}{6\sqrt{5}} = \frac{1}{2} \).
Teorema înălțimii: \( AD^2 = BD \cdot DC = 3 \cdot 12 = 36 \implies AD = 6 \) cm.
Teorema catetei pentru AB: \( AB^2 = BD \cdot BC = 3 \cdot 15 = 45 \implies AB = 3\sqrt{5} \) cm.
Teorema catetei pentru AC: \( AC^2 = DC \cdot BC = 12 \cdot 15 = 180 \implies AC = 6\sqrt{5} \) cm.
b) \( \mathcal{A}_{ABC} = \frac{AB \cdot AC}{2} = \frac{3\sqrt{5} \cdot 6\sqrt{5}}{2} = \frac{18 \cdot 5}{2} = 45 \text{ cm}^2 \).
c) În \( \triangle ABC \): \( \text{tg}(\measuredangle ACB) = \frac{\text{cateta opusă (AB)}}{\text{cateta alăturată (AC)}} = \frac{3\sqrt{5}}{6\sqrt{5}} = \frac{1}{2} \).
